第1章-晶体学基础-2-倒格子

倒易点阵主讲：张希清11/22/20241为了研究衍射波的特性，1921年德国物理学家厄瓦尔德(P．P．Ewald)引入了倒易点阵的概念。倒易点阵是相对于正空间中的晶体点阵而言的，它是衍射波的方向与强度在空间的分布。由于衍射波是由正空间中的晶体点阵与入射波作用形成的，正空间中的一组平行晶面就可以用倒空间中的一个矢量或阵点来表示。用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚，数学推理简化。可以简单地想象，每一幅单晶的衍射花样就是倒易点阵在该花样平面上的投影。五、倒易点阵2倒易点阵定义假定晶体点阵基矢为a1、a2、a3，倒易点阵基矢为a1*、a2*、a3*，a1*、a2*、a3*

由下式定义：abcc*a*b*a*1=(a2×a3)/[a1·(a2×a3)]=(a2×a3)/V

a*2=(a3×a1)/[a2·(a3×a1)]=(a3×a1)/V

a*3=(a1×a2)/[a3·(a1×a2)]=(a1×a2)/V式中：V——阵胞（a1、a2、a3构成之平行六面体）体积，按矢量混合积几何意义，V=a1

(a2×a3)。

3

倒易点阵参数及

*（a*2与a*3夹角）、

*（a*3与a*1夹角）和

*（a*1与a*2夹角）由正点阵参数表达为

a*1=(a2a3sin

)/V

a*2=(a3a1sin

)/V

a*3=(a1a2sin

)/V

cos

*[=(a*2·a*3)/a*2a*3]=(cos

cos

-cos

)/sin

sin

cos

*[=(a*3·a*1)/a*3a*1]=(cos

cos

-cos

)/sin

sin

cos

*[=(a*1·a*2)/a*1a*2]=(cos

cos

-cos

)/sin

sin

4以立方晶系为例：立方晶系有a=b=c，

=

=

，V=a3；将其代入上式，则有

*=90

同理可得b*、c*、

*、

*，即a*=b*=c*=1/a

*=

*=

*=90

5正点阵和倒易点阵中基本平移矢量之间的关系正点阵基本平移矢量：倒易点阵基本平移矢量：晶胞体积倒易点阵任一基矢和晶体点阵中的两基矢正交。体积互为倒数.·········6倒易基矢垂直于晶面bc*a*b*100001010ac倒易基矢的方向a*

(100)b*

(010)c*

(001)7与正点阵相同，由倒易点阵基矢可以定义倒易点阵矢量（为整数），具有以上形式的矢量称为倒易点阵矢量，同晶体点阵类似，倒易点阵就是由倒易点阵矢量所联系的诸点的列阵。倒易矢量：由倒易点阵的原点O至任一倒易点hkl的矢量为G*由倒格子组成的空间,也叫状态空间.倒格子是(晶体结构)晶格在状态空间的化身.倒易矢量*8(1)G*的方向与实际点阵面（hkl）相垂直，或G

*的方向是实际点阵面（hkl）的法线方向。(2)G

*的大小等于实际点阵面（hkl）面间距的倒数，即倒易矢量的两个重要性质G*几何意义:

正点阵中的每一组平行晶面(hkl)对应于倒易点阵中的一个点,此点处于这组晶面的公共法线上,即倒易矢量方向上;它至原点的距离为该晶面间距的倒数。9只需证明，则肯定垂直于平面。若离原点最近的晶面，在、、三个晶轴上的截距为：∵

而

∴

同理∴证明:10面间距ｄ就是或在法线方向的投影，法线方向就是的方向，此时原点也在晶面族的某一个平面上，因此只要求出原点与晶面之间的距离即可。1111、每个倒易矢量（每个倒易点）代表一组晶面,该矢量的方向垂直于所代表的晶面。该矢量的长度为晶面间距的倒数。倒易点阵的本质Oa1a3b3001002003004005006100101102103104105106200201202203204205206300301302303304305306a2b1空间点阵中的(hkl)面在倒易点阵中用一个结点表示12电子衍射图2、实验中:照相底片上的点是倒易点阵的投影。 照片上的点+投影形式

倒易点阵

实点阵13晶面间距的计算晶面间距(面网间距)指两个相邻晶面间的垂直距离。对晶面(hkl),一般用dhkl来表示其晶面间距。一般的规律是，在空间点阵中，晶面的晶面指数越小，其晶面间距越大，晶面的结点密度越大，它的X射线衍射强度越大，它的重要性越大。晶面间距在X射线分析中是十分重要的。14晶面间距的计算将的定义式代入上式，经适当运算后，即可得各晶系的晶面间距表达式。15立方晶系：四方晶系：六方晶系：16正交（斜方）单斜三斜17例1某斜方晶体的a=7.417Å,b=4.945Å,c=2.547Å,计算d110和d200。d110=4.11Å,d200=3.71Å18干涉指数若仅考虑晶面的空间方位，则A1，B1，A2，B2，…与A1，A2，A3，…一样，均以晶面指数（010）标识，但若进一步考虑二者晶面间距之不同，则可分别用（010）和（020）标识，此即为干涉指数。

（010）与（020）面（干涉指数引例）19干涉指数是对晶面空间方位与晶面间距的标识。（晶面指数只标识晶面的空间方位。）

干涉指数与晶面指数的关系：若将（hkl）晶面间距记为dhkl，则晶面间距为dhkl／n（n为正整数）的晶面干涉指数为（nh

nk

nl），记为（HKL），dhkl／n则记为dHKL。例如晶面间距分别为d110／2，d110/3的晶面，其干涉指数分别为（220）和（330）。干涉指数表示的晶面并不一定是晶体中的真实原子面，即干涉指数表示的晶面上不一定有原子分布。20(100)a/2a/4(200)(400)原点110220440原点21晶面夹角(其法线间的夹角）的计算很复杂，根据各晶系的特点，将倒点阵参数与正点阵参数换算，即可得到不同晶系各自的晶面夹角关系式。22对于等轴（立方）晶体，有：cosΦ=(H1H2+K1K2+L1L2)/[(H12+K12+L12)(H22+K22+L22)]1/2对于四方晶体，有：cosΦ=c2(H1H2+H1H2)+a2L1L2/[[c2(H12+K12)+a2L12]c2(H22+K22)+a2L22]]1/223晶带晶带方程：由于同一[uvw]晶带各（HKL）晶面中法线与晶带轴垂直，也即各（HKL）面对应的倒易矢量r*HKL与晶带轴垂直，r*HKL∙ruvw=0故有

得

Hu+Kv+Lw=0此式称为晶带方程（晶带定理）24同一[uvw]晶带中各（HKL）面对应的倒易（阵）点（及相应的倒易矢量）位于过倒易原点O*的一个倒易（阵点）平面内。反之，也可以说过O*的每一个倒易（阵点）平面上各倒易点（或倒易矢量