专题14-空间几何体的结构、面积与体积(练)【解析版】

第一篇热点、难点突破篇专题14空间几何体的结构、面积与体积（练）【对点演练】一、单选题1．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆柱的体积公式计算可得结果.【详解】由题意知该圆柱的高和底面直径是，所以该圆柱的体积为.故选：C.2．（2022·河南·统考一模）已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为、，高为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用台体的体积公式可求得该圆台的体积.【详解】由题意可知，该圆台的体积为.故选：C.3．（2022秋·江西宜春·高三校考阶段练习）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，，为的外接圆的圆心，球O的表面积为，则的长度为（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】由已知求得球的半径，根据正弦定理求出外接圆半径，即可求出结果.【详解】设圆的半径为r，球的半径为.依题意得为等边三角形，则由正弦定理得，即又因为球O的表面积为，所以如图，根据球的截面性质得平面ABC，所以，所以故选：C.4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知圆锥的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由扇形的弧长公式与面积公式求解即可【详解】设圆锥的底面半径为，侧面展开扇形的半径为，因为底面周长，所以扇形的弧长，所以，所以圆锥的侧面积为，故选：D5．（2023·全国·高三专题练习）设球是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球的截面，则最小截面的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得球的半径，利用勾股定理求得最小截面的半径，进而求得最小截面的面积.【详解】正方体的体对角线长为，所以球的半径为，正方体的棱的中点与的距离为，最小截面的圆的半径为，最小截面的面积为.故选：B6．（2023·全国·模拟预测）端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体．广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当这个蛋黄的表面积是时，则该正四面体的高的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】根据题意分析可知，当该正四面体的内切球的半径为时，该正四面体的高最小，再根据该正四面体积列式可求出结果.【详解】由球的表面积为，可知球的半径为，依题意可知，当该正四面体的内切球的半径为时，该正四面体的高最小，设该正四面体的棱长为，则高为，根据该正四面体积的可得，解得.所以该正四面体的高的最小值为.故选：B7．（2022秋·河北张家口·高三统考期末）石碾子是我国传统粮食加工工具，如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成．碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（

）A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：3【答案】B【分析】绕碾盘转动2周的距离等于碾滚滚动5圈的距离，列出方程即可求解.【详解】由题意知，；故选：B.8．（2023·全国·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题中定义，结合圆锥的侧面积和体积公式进行求解即可.【详解】设直角圆角的底面半径为，母线为，高为，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以有，因为直角圆锥的侧面积为，所以有，即，因此，所以该直角圆锥的体积为，故选：D9．（2022·浙江·模拟预测）某全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），若，则S占地球表面积的百分比约为（

）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【分析】设表示卫星，过作截面，截地球得大圆，过作圆的切线，线段交圆于，得，在直角三角形中求出后，可计算两者面积比．【详解】设表示卫星，过作截面，截地球得大圆，过作圆的切线，线段交圆于，如图，则，，，，则，又，所以设地球表面积为，则所以．故选：C．二、填空题10．（2022秋·江苏徐州·高三期末）已知圆柱的高为8，该圆柱内能容纳半径最大的球的表面积为，则圆柱的体积为______．【答案】【分析】先分析半径最大的球不可能为圆柱的内切球，所以此球是与圆柱侧面与下底面相切的球，就能求出圆柱底面半径，然后根据圆柱的体积公式可得.【详解】圆柱内能容纳半径最大的球的表面积为，设此球半径为，则如果圆柱有内切球，又因为圆柱的高为8，所以内切球半径为，说明这个圆柱内能容纳半径最大的球，与圆柱侧面和下底面相切，与上底面相离，易得圆柱底面半径为，圆柱的体积为故答案为：72π【冲刺提升】一、单选题1．（2022秋·广东东莞·高三统考期末）已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出体积最大时的剖面图，分析出此时圆与上底，两腰相切，建立合适直角坐标系，设圆心坐标为，利用圆心到腰所在直线等于半径列出方程，解出即可.【详解】体积最大时，沿上下底面直径所在平面作出剖面图如图所示，显然此时圆与等腰梯形的上底以及两腰相切，则建立如图所示直角坐标系，由题意得，，则，则直线所在直线方程为，即设，体积最大时球的半径为，则，则点到直线的距离等于半径，则有，解得或，，，此时，则故选：B.2．（2022·浙江·模拟预测）某工厂要生产容积为的圆柱形密封罐.已知相同面积的底的成本为侧面成本的倍，为使成本最小，则圆柱的高与底面半径之比应为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设圆柱底面半径为，高为，利用圆柱体积公式可得；设单位面积的成本为，总成本为，结合圆柱底面积和侧面积公式可表示出，利用三项基本不等式的取等条件可求得结果.【详解】设圆柱底面半径为，高为，则，；设单位面积的成本为，总成本为，圆柱上下底的总面积为，侧面积为，（当且仅当时取等号），当总成本最小时，，.故选：D.3.（2022·浙江·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的距离为，，根据等体积法解决即可.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，因为正方体的棱长为1，所以,设平面的法向量为，所以，令，得，所以，所以平面的距离为又因为,所以,所以三棱锥的体积为，故选：A4．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）正三棱锥的底面边长是2，E，F，G，H分别是SA，SB，BC，AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】画出图形，求出，说明是矩形，结合图形，说明点在平面时，面积最小，求出即可得到范围【详解】如图所示：由正三棱锥的底面边长是2，因为、、、分别是、、、的中点，所以，则，所以是平行四边形因为正三棱锥，则对棱，的中点连线与对棱，的中点连线相等，即，所以四边形是矩形，所以，设的中心为，则，所以的面积所以四边形EFGH面积的取值范围是：故选：B．5．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）已知空间四边形，，，且，，面ABC与面夹角正弦值为1，则空间四边形外接球与内切球的表面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间四边形的线面关系可得平面，则空间四边形可以内接于圆柱中，根据圆柱的外接球半径求得空间四边形的外接球半径，又根据内切球的几何性质用等体积法可求得空间四边形的内切球半径，即可得空间四边形外接球与内切球的表面积之比.【详解】解：面与面夹角正弦值为1，面面，又面面面，平面，则空间四边形可以内接于圆柱中，如下图所示：点在上底面圆周上，三个顶点在下底面圆周上，则圆柱的外接球即空间四边形的外接球，取的中点为，连接，则球心为，半径为，且，为正的外接圆半径，由正弦定理得，即，所以；如下图，设空间四边形的内切球球心为，连接，设内切球半径为，则，又中，，所以，所以，所以外接球与内切球的表面积之比为.故选：C.6．（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先取中点，连接，.通过勾股定理求解，的长度，并利用余弦定理求解的值.然后分别过三角形与的外心作平面的垂线，垂线交于球心，最后求解的长度，进而利用勾股定理求解外接球半径.【详解】如图，取中点，连接，.且为中点，，，同理可得.又，，，即，过的外心作平面的垂线为，垂足为，同理过的外心作平面的垂线为，并设，易知为球心.连接，，.为的外心，，又在中，，得，即外接球半径，故外接球表面积.故选：B7．（2022秋·天津河东·高三统考期末）一个球与一个正三棱柱（底面为等边三角形，侧棱与底面垂直）的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，设正三棱柱的底面边长为，求得其内切球的半径和正三棱柱的高，再根据棱柱的体积求解，代入球的表面积求解即可．【详解】由题意，设正三棱柱的底面边长为，则其内切球的半径为，所以正三棱柱的高为，又棱柱的体积为，得，所以球的表面积为．故选：A．二、填空题8．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的截角四面体.则该截角四面体的表面积是______.【答案】【分析】根据截面四面体特征可知其是由个边长为的等边三角形和个边长为的正六边形拼接而成，分别求得正六边形和等边三角形面积，加和即可得到结果.【详解】由题意知：该截角四面体的表面积是个边长为的等边三角形和个边长为的正六边形的面积之和；将每个正六边形拆分为如下图所示的两个三角形和一个矩形，正六边形每个内角均为，，每个正六边形的面积为，又每个等边三角形面积为，该截角四面体的表面积为.故答案为：.9．（2023·全国·模拟预测）如图，直三棱柱中，⊥，，，点P在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为______．【答案】【分析】先设出BP=x，，利用求出，结合基本不等式求出时，面积取得最小值，补形后三棱锥的外接球即该长方体的外接球，求出外接球半径和表面积.【详解】由勾股定理得：，设BP=x，，则，，，由得：，解得：，因为，故由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即该长方体的外接球，其中长方体的外接球的直径为，故半径为，故三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：10．（2022秋·江苏南京·高三期末）在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,平面平面,则体积的最大值为__________.【答案】【分析】先做交于点,平面,垂足为,连接,根据线面垂直的判定定理证明,即,同理可得,即,且,再根据面面垂直的性质定理得,再设各个长度,在直角三角形中得到等式进行化简,即可得关于的式子,进而求得体积的表达式,求得最值即可.【详解】解:由题过点做分别交于点,过做平面,垂足为,连接,画图如下:平面,,平面,平面,平面,,底面是边长为2的正方形,平面,平面,,同理可得:,故三点共线,且有,,设平面平面,平面,平面,,,平面平面,平面平面平面,平面,,不妨设,①,且,即,化简即:②,联立①②可得:,,四棱锥的体积,,当时,,故体积的最大值为.故答案为:三、解答题11．（2023·广西梧州·统考一模）边长为1的正方形中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将，分别沿AN，AM折起，使得B，D两点重合于点P，连接PC，得到四棱锥.(1)证明：平面平面；(2)求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)先证明平面，即可证明出平面平面(2)先利用求出点到平面的距离，然后再根据四棱锥的体积公式进行计算，即可得出结果.【详解】（1）证明：在正方形中有，，，，又因为，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）连接MN,由题意可得，，，由，所以为直角三角形，即，，设点到平面的距离为，由得，，即，得，即四棱锥的体积为12．（2023·全国·高三对口高考）如题图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形．为上一点，.(1)求证：平面；(2)若，圆锥的侧面积为．求三棱锥