《材料力学》课后习题的答案及解析

...wd......wd......wd...轴向拉(压)变形[习题2-1]试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。〔a〕解：〔1〕求指定截面上的轴力〔2〕作轴力图轴力图如以以下图。〔b〕解：〔1〕求指定截面上的轴力〔2〕作轴力图轴力图如以以下图。〔c〕解：〔1〕求指定截面上的轴力〔2〕作轴力图轴力图如以以下图。〔d〕解：〔1〕求指定截面上的轴力〔2〕作轴力图中间段的轴力方程为：轴力图如以以下图。[习题2-2]试求图示等直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。假设横截面面积，试求各横截面上的应力。解：〔1〕求指定截面上的轴力〔2〕作轴力图轴力图如以以下图。〔3〕计算各截面上的应力[习题2-3]试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。假设横截面面积，，，并求各横截面上的应力。解：〔1〕求指定截面上的轴力〔2〕作轴力图轴力图如以以下图。〔3〕计算各截面上的应力[习题2-4]图示一混合屋架构造的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个的等边角钢。屋面承受集度为的竖直均布荷载。试求拉杆AE和EC横截面上的应力。解：〔1〕求支座反力由构造的对称性可知：〔2〕求AE和EG杆的轴力=1\*GB3①用假想的垂直截面把C铰和EG杆同时切断，取左局部为研究对象，其受力图如以以下图。由平衡条件可知：=2\*GB3②以C节点为研究对象，其受力图如以以下图。由平平衡条件可得：〔3〕求拉杆AE和EG横截面上的应力查型钢表得单个等边角钢的面积为：[习题2-5]石砌桥墩的墩身高，其横截面面尺寸如以以下图。荷载，材料的密度，试求墩身底部横截面上的压应力。解：墩身底面的轴力为：墩身底面积：因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。[习题2-6]图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。解：斜截面上的正应力与切应力的公式为：式中，，把的数值代入以上二式得：轴向拉/压杆斜截面上的应力计算题目编号习题2-6100001000100100.00.0100001003010075.043.3100001004510050.050.0100001006010025.043.310000100901000.00.0[习题2-7]一根等直杆受力如以以下图。杆的横截面面积A和材料的弹性模量E。试作轴力图，并求杆端点D的位移。解：〔1〕作轴力图AD杆的轴力图如以以下图。〔2〕求D点的位移〔→〕[习题2-8]一木桩受力如以以下图。柱的横。截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量。如不计柱的自重，试求：〔1〕作轴力图；〔2〕各段柱横截面上的应力；〔3〕各段柱的纵向线应变；〔4〕柱的总变形。解：〔1〕作轴力图轴力图如以以下图。〔2〕计算各段上的应力。，〔3〕计算各段柱的纵向线应变〔4〕计算柱的总变形[习题2-9]一根直径、长的圆截面杆，承受轴向拉力，其伸长为。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量。解：〔1〕求杆件横截面上的应力〔2〕求弹性模量因为：，所以：。[习题2-10]〔1〕试证明受轴向拉伸〔压缩〕的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变等于直径方向的线应变。〔2〕一根直径为的圆截面杆，在轴向力F作用下，直径减小了0.0025mm。如材料的弹性模量，泊松比，试求该轴向拉力F。〔3〕空心圆截面杆，外直径，内直径，材料的泊松比。当其轴向拉伸时，纵向线应变，试求其变形后的壁厚。解：〔1〕证明在圆形截面上取一点A，连结圆心O与A点，则OA即代表直径方向。过A点作一条直线AC垂直于OA，则AC方向代表圆周方向。〔泊松比的定义式〕，同理，故有：。〔2〕求轴向力F〔3〕求变形后的壁厚变形厚的壁厚：[习题2-11]受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如以以下图。该材料的弹性常数为，试求C与D两点间的距离改变量。解：式中，，故：[习题2-12]图示构造中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料一样，其弹性模量，，，，。试求C点的水平位移和铅垂位移。解：〔1〕求各杆的轴力以AB杆为研究对象，其受力图如以以下图。因为AB平衡，所以受力图受力图由对称性可知，变形协调图〔2〕求C点的水平位移与铅垂位移。变形协调图A点的铅垂位移：B点的铅垂位移：1、2、3杆的变形协〔谐〕调的情况如以以下图。由1、2、3杆的变形协〔谐〕调条件，并且考虑到AB为刚性杆，可以得到：C点的水平位移：C点的铅垂位移：[习题2-13]图示实心圆杆AB和AC在A点以铰相连接，在A点作用有铅垂向下的力。杆AB和AC的直径分别为和，钢的弹性模量。试求A点在铅垂方向的位移。解：〔1〕求AB、AC杆的轴力以节点A为研究对象，其受力图如以以下图。由平衡条件得出：：………(a)：………………(b)(b)联立解得：；〔2〕由变形能原理求A点的铅垂方向的位移式中，；；故：[习题2-14]图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径的钢丝，在钢丝的中点C加一竖向荷载F。钢丝产生的线应变为，其材料的弹性模量，钢丝的自重不计。试求：〔1〕钢丝横截面上的应力〔假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律〕；〔2〕钢丝在C点下降的距离；〔3〕荷载F的值。解：〔1〕求钢丝横截面上的应力〔2〕求钢丝在C点下降的距离。其中，AC和BC各。〔3〕求荷载F的值以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：：[习题2-15]图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。解：取长度为截离体〔微元体〕。则微元体的伸长量为：因此，[习题2-16]有一长度为300mm的等截面钢杆承受轴向拉力。杆的横截面面积，材料的弹性模量。试求杆中所积蓄的应变能。解：[习题2-17]两根杆A1B1和A2B2的材料一样，其长度和横截面面积一样。杆A1B1承受作用在端点的集中荷载F；杆A2B2承受沿杆长均匀分布的荷载，其集度。试对比这两根杆内积蓄的应变能。解：〔1〕求〔a〕图的应变能〔2〕求〔b〕图的应变能(3)以上两种情形下的应变能对比，即：。[习题2-18]图示一钢筋混凝土平面闸门，其最大启门力为。如提升闸门的钢质丝杠内径，钢的许用应力，试校核丝杠的强度。解：〔1〕计算最大工作应力〔2〕强度校核因为，即：所以丝杠符合强度条件，即不会破坏。[习题2-19]简易起重设备的计算简图如以以下图。斜杆AB用两根不等边角钢组成，钢的许用应力。试问在起重量的重物时，斜杆AB是否满足强度条件解：〔1〕计算AB杆的工作应力以A结点为研究对象，其受力图如以以下图。由其平衡条件可得：查型钢表得：单个不等边角钢的面积为：。两个角钢的总面积为故AB杆的工作应力为：〔2〕强度校核因为，即：所以AB杆符合强度条件，即不会破坏。[习题2-20]一块厚、宽的旧钢板，其截面被直径的圆孔所削弱，圆孔的排列对称于杆的轴线，如以以下图。钢板承受轴向拉力。材料的许用应力，假设不考虑应力集中的影响，试校核钢板的强度。解：〔1〕判断不安全截面垂直于轴线，且同时过两个孔的截面是危险截面。不考虑应力集中时，可认为应力在这截面上均匀分布。〔2〕计算工作应力不安全截面上的工作应力为：指示〔3〕强度校核因为，即：所以AB杆符合强度条件，即不会破坏。[习题2-21]一构造受力如以以下图，杆件AB，AD均由两根等边角钢组成。材料的许用应力，试选择AB，AD的角钢型号。解：〔1〕求AB、AD杆的轴力由对称性可知：取节点A为研究对象，由其平衡条件可得：〔2〕计算AB、AD杆的工作应力，并选定角钢。查型钢表，AD杆可选用两根角钢号数为8的、〔单根面积〕的等边角钢。查型钢表，AB杆可选用两根角钢号数为10的、〔单根面积〕的等边角钢。[习题2-22]一桁架如以以下图。各杆都由两个等边角钢组成。材料的许用应力，试选择AC和CD的角钢型号。解：〔1〕求支座反力由对称性可知，〔2〕求AC杆和CD杆的轴力以A节点为研究对象，由其平衡条件得：以C节点为研究对象，由其平衡条件得：〔3〕由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号AC杆：选用2∟〔面积〕。CD杆：选用2∟〔面积〕。[习题2-23]一构造受力如以以下图，杆件AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成。材料的许用应力，材料的弹性模量，杆AC及EG可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D、C、A处的铅垂位移、、。解：〔1〕求各杆的轴力〔2〕由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号AB杆：选用2∟〔面积〕。CD杆：选用2∟〔面积〕。EF杆：选用2∟〔面积〕。GH杆：选用2∟〔面积〕。〔3〕求点D、C、A处的铅垂位移、、EG杆的变形协调图如以以下图。[习题2-24]混凝土的密度，许用压应力。试按强度条件确定图示混凝土柱所需的横截面面积和。假设混凝土的弹性模量，试求柱顶A的位移。解：〔1〕确定和混凝土的重度〔重力密度〕：上段〔1杆〕：1杆的重量：下段〔2杆〕2杆的重量：〔2〕计算A点的位移1杆的轴力：〔以为单位〕2杆的轴力：〔负号表示压缩量〕〔负号表示压缩量〕〔↓〕[习题2-25]〔1〕刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着，其受力如以以下图。钢杆AC和BD的直径分别为和，钢的许用应力，弹性模量。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形、及A、B两点的竖向位移、。解：〔1〕校核钢杆的强度=1\*GB3①求轴力=2\*GB3②计算工作应力=3\*GB3③因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa，即；，所以AC及BD杆的强度足够，不会发生破坏。〔2〕计算、〔3〕计算A、B两点的竖向位移、。[习题2-26]图示三铰屋架的拉杆用16锰钢杆制成。材料的许用应力，弹性模量。试按强度条件选择钢杆的直径，并计算钢杆的伸长。解：〔1〕求支座反力由对称性可知：〔↑〕〔2〕求拉杆AB的轴力〔3〕按强度条件选择钢杆的直径〔4〕计算钢杆的伸长[习题2-27]简单桁架及其受力如以以下图，水平杆BC的长度保持不变，斜杆AB的长度可随夹角的变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时到达许用应力，且构造的总重量为最小时，试求：〔1〕两杆的夹角；〔2〕两杆横截面面积的比值。解：〔1〕求轴力取节点B为研究对象，由其平衡条件得：〔2〕求工作应力〔3〕求杆系的总重量。是重力密度〔简称重度，单位：〕。〔4〕代入题设条件求两杆的夹角条件=1\*GB3①：，，条件=2\*GB2⑵：的总重量为最小。从的表达式可知，是角的一元函数。当的一阶导数等于零时，取得最小值。〔5〕求两杆横截面面积的比值因为：所以：[习题2-28]一内径为，厚度为〔〕，宽度为的薄壁圆环。在圆环的内外表承受均匀分布的压力〔如图〕，试求：〔1〕由内压力引起的圆环径向截面上应力；〔2〕由内压力引起的圆环半径的伸长。解：〔1〕求圆环径向截面上应力如图，过水平直径作一水平面〔即为径向截面〕，取上半局部作为研究对象，其受力图如以以下图。由平衡条件得：〔2〕求由内压力引起的圆环半径的伸长应用变形能原理：。第三章扭转习题解[习题3-1]一传动轴作匀速转动，转速，轴上装有五个轮子，主动轮II输入的功率为60，从动轮，I，III，IV，V依次输出18，12，22和8。试作轴的扭图。解：〔1〕计算各轮的力偶矩〔外力偶矩〕外力偶矩计算(kW换算成kN.m)题目编号轮子编号轮子作用功率(kW)转速r/minTe〔kN.m〕习题3-1I从动轮182000.859II主动轮602002.865III从动轮122000.573IV从动轮222001.051V从动轮82000.382(2)作扭矩图T图(kN.m)T图(kN.m)[习题3-2]一钻探机的功率为10kW，转速。钻杆钻入土层的深度。如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度，并作钻杆的扭矩图。解：〔1〕求分布力偶的集度设钻杆轴为轴，则：〔2〕作钻杆的扭矩图。；扭矩图如以以下图。[习题3-3]圆轴的直径，转速为120r/min。假设该轴横截面上的最大切应力等于60，试问所传递的功率为多大解：〔1〕计算圆形截面的抗扭截面模量：〔2〕计算扭矩〔3〕计算所传递的功率[习题3-4]空心钢轴的外径，内径。间距为的两横截面的相对扭转角，材料的切变模量。试求：〔1〕轴内的最大切应力；〔2〕当轴以的速度旋转时，轴所传递的功率。解；〔1〕计算轴内的最大切应力。式中，。，〔2〕当轴以的速度旋转时，轴所传递的功率[习题3-5]实心圆轴的直径，长，其两端所受外力偶矩，材料的切变模量。试求：〔1〕最大切应力及两端面间的相对转角；〔2〕图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向；〔3〕C点处的切应变。解：〔1〕计算最大切应力及两端面间的相对转角。式中，。故：式中，。故：〔2〕求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向由横截面上切应力分布规律可知：A、B、C三点的切应力方向如以以下图。〔3〕计算C点处的切应变[习题3-6]图示一等直圆杆，，，，。试求：〔1〕最大切应力；〔2〕截面A相对于截面C的扭转角。解：〔1〕计算最大切应力从AD轴的外力偶分布情况可知：，。式中，。故：式中，。故：〔2〕计算截面A相对于截面C的扭转角[习题3-7]某小型水电站的水轮机容量为50，转速为300r/min，钢轴直径为75mm，假设在正常运转下且只考虑扭矩作用，其许用切应力。试校核轴的强度。解：〔1〕计算最大工作切应力式中，；。故：〔2〕强度校核因为，，即，所以轴的强度足够，不会发生破坏。[习题3-8]钻探机钻杆〔参看题3-2图〕的外径，内径，功率，转速，钻杆入土深度，钻杆材料的，许用切应力。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：〔1〕单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度；〔2〕作钻杆的扭矩图，并进展强度校核；〔3〕两端截面的相对扭转角。解：〔1〕求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度设钻杆轴为轴，则：〔2〕作钻杆的扭矩图，并进展强度校核=1\*GB3①作钻杆扭矩图。；扭矩图如以以下图。=2\*GB3②强度校核式中，因为，，即，所以轴的强度足够，不会发生破坏。〔3〕计算两端截面的相对扭转角式中，[习题3-9]图示绞车由两人同时操作，假设每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN，轴材料的许用切应力，试求：〔1〕AB轴的直径；〔2〕绞车所能吊起的最大重量。解：〔1〕计算AB轴的直径AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶矩相等：扭矩图如以以下图。由AB轴的强度条件得：〔2〕计算绞车所能吊起的最大重量主动轮与从动轮之间的啮合力相等：由卷扬机转筒的平衡条件得：[习题3-10]直径的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶，而在圆杆外表上的A点将移动到A1点，如以以下图。，圆杆材料的弹性模量，试求泊松比〔提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G、间存在如下关系：。解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：。设两截面之间的相对对转角为，则，式中，由得：[习题3-11]直径的钢圆杆，受轴向拉60kN作用时，在标距为200mm的长度内伸长了0.113mm。当其承受一对扭转外力偶矩时，在标距为200mm的长度内相对扭转了0.732的角度。试求钢材的弹性常数G、G和。解：〔1〕求弹性模量E〔2〕求剪切弹性模量G由得：〔3〕泊松比由得：[习题3-12]长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料一样，受力情况也一样。实心轴直径为d；空心轴的外径为D，内径为d0，且。试求当空心轴与实心轴的最大切应力均到达材料的许用切应力〔〕，扭矩T相等时的重量比和刚度比。解：〔1〕求空心圆轴的最大切应力，并求D。式中，，故：〔1〕求实心圆轴的最大切应力式中，，故：〔3〕求空心圆轴与实心圆轴的重量比〔4〕求空心圆轴与实心圆轴的刚度比[习题3-13]全长为，两端面直径分别为的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩，如以以下图。试求杆两端面间的相对扭转角。解：如以以下图，取微元体，则其两端面之间的扭转角为：式中，故：=[习题3-14]实心圆轴的转速，传递的功率，轴材料的许用切应力，切变模量。假设要求在2m长度的相对扭转角不超过，试求该轴的直径。解：式中，；。故：取。[习题3-15]图示等直圆杆，外力偶，，，许用切应力，许可单位长度扭转角，切变模量。试确定该轴的直径。解：〔1〕判断不安全截面与不安全点作AC轴的扭矩图如以以下图。因最大扭矩出出在BC段，所以不安全截面出现在BC段，不安全点出现在圆周上。〔2〕计算不安全点的应力〔最大工作切应力〕，并代入剪切强度条件求。〔3〕计算最大单位长度扭转角(出现在BC段)，并代入扭转刚度条件求。〔4〕确定值[习题3-16]阶梯形圆杆，AE段为空心，外径，内径；BC段为实心，直径。外力偶矩，，，许用切应力，许可单位长度扭转角，切变模。试校核该轴的强度和刚度。解：〔1〕AB段的强度与刚度校核式中，符合度条件。式中，符合刚度条件。BC段的强度与刚度校核式中，符合度条件。式中，符合刚度条件。综合〔1〕、〔2〕可知，该轴符合强度与刚度条件。[习题3-17]习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力，切变模，许可单位长度扭转角。试按强度条件及刚度条件选择圆轴的直径。解：〔1〕由强度条件选择直径轴的扭矩图如以以下图。因为最大扭矩出现在II、III轮之间，所以不安全截面出现在此段内，不安全点在此段的圆周上。〔2〕由刚度条件选择直径应选用。[习题3-18]一直径为d的实心圆杆如以以下图，在承受扭转力偶后，测得圆杆外表与纵向线成的方向上的线应变为。试导出以，d和表示的切变模量G的表达式。解：圆杆外表贴应变片处的切应力为圆杆扭转时处于纯剪切状态，图〔a〕。切应变〔1〕对角线方向线应变：图〔a〕图〔a〕〔2〕式〔2〕代入〔1〕：[习题3-19]有一薄壁厚为、内径为的空心薄壁圆管，其长度为，作用在轴两端面内的外力偶矩为。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。材料的切变模量。解：〔1〕求管中的最大切应力：[习题3-20]一端固定的圆截面杆AB，承受集度为的均布外力偶作用，如以以下图。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G。解：[习题3-21]簧杆直径的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力作用，弹簧的平均直径为，材料的切变模量。试求：〔1〕簧杆内的最大切应力；〔2〕为使其伸长量等于所需的弹簧有效圈数。解：，故因为故圈[习题3-22]一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图，簧丝直径，材料的许用切应力，切变模量为G，弹簧的有效圈数为。试求：〔1〕弹簧的许可切应力；〔2〕证明弹簧的伸长。解：〔1〕求弹簧的许可应力用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面局部为截离体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上：剪力扭矩最大扭矩：，因为，所以上式中小括号里的第二项，即由Q所产生的剪应力可以忽略不计。此时〔2〕证明弹簧的伸长外力功：，[习题3-23]图示矩形截面钢杆承受一对外力偶。材料的切变模量，试求：杆内最大切应力的大小、位置和方向；横截面短边中点处的切应力；杆的单位长度扭转角。解：〔1〕求杆内最大切应力的大小、位置和方向，，由表得长边中点处的切应力，在上面，由外指向里〔2〕计算横截面短边中点处的切应力短边中点处的切应力，在前面由上往上〔3〕求单位长度的转角单位长度的转角[习题3-24]图示T形薄壁截面杆的长度，在两端受扭转力矩作用，材料的切变模量，杆的横截面上和扭矩为。试求杆在纯扭转时的最大切应力及单位长度扭转角。解：〔1〕求最大切应力〔2〕求单位长度转角[习题3-25]图示为一闭口薄壁截面杆的横截面，杆在两端承受一外力偶。材料的许用切应力。试求：按强度条件确定其许可扭转力偶矩假设在杆上沿母线切开一条纤缝，则其许可扭转力偶矩将减至多少解：〔1〕确定许可扭转力偶矩求开口薄壁时的[习题3-26]图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均一样。两杆的长度和材料也一样，当在两端承受一样的一对扭转外力偶矩时，试求：最大切应力之比；相对扭转角之比。解：〔1〕求最大切应力之比开口：依题意：，故：闭口：求相对扭转角之比开口：闭口：第六章简单超静定问题习题解[习题6-1]试作图示等直杆的轴力图解：把B支座去掉，代之以约束反力〔↓〕。设2F作用点为C，F作用点为D，则：变形谐调条件为：〔实际方向与假设方向相反，即：↑〕故：轴力图如以以下图。[习题6-2]图示支架承受荷载，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为，，。试求各杆的轴力。解：以节点A为研究对象，其受力图如以以下图。………(1)…………(2)变形谐调条件：设A节点的水平位移为，竖向位移为，则由变形协调图〔b〕可知：设，则………………(3)(1)、(2)、(3)联立解得：；；〔方向如以以下图，为压力，故应写作：〕。[习题6-3]一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都一样，如以以下图。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受多少力。解：以刚性板为研究对象，则四根柱子对它对作用力均铅垂向上。分别用表示。由其平衡条件可列三个方程：…………(1)………………(2)…………(3)由变形协调条件建设补充方程。。。。。。。。。。〔4〕(1)、〔2〕、〔3〕、〔4〕联立，解得：[习题6-4]刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积一样的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如所示。如，两根钢杆的横截面面积，试求两杆的轴力和应力。解：以AB杆为研究对象，则：…………(1)变形协调条件：…(2)(1)、(2)联立，解得：[习题6-5]图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A端铰支，在B点和C点由两根钢杆BD和CE支承。钢杆BD和CE的横截面面积和，钢杆的许用应力，试校核该钢杆的强度。解：以AB杆为研究对象，则：………………(1)变形协调条件：…(2)(1)、〔2〕联立，解得：〔压〕；〔拉〕故可记作：；强度校核：，符合强度条件。，符合强度条件。[习题6-6]试求图示构造的许可荷载[F]。杆AD，CE，BF的横截面面积均为A，杆材料的许用应力为，梁AB可视为刚体。解：以AB杆为研究对象，则：……………(1)………………(2)变形协调条件：…………….(3)(1)(2)(3)联立，解得：；强度条件：故：[习题6-7]横截面积为的短木柱，用四根的等边角钢加固，并承受压力F，如以以下图。角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。试求短木柱的许可荷载[F]。解：〔1〕木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：〔1〕由木柱与角钢间的变形相容条件，有〔2〕由物理关系：〔3〕式〔3〕代入式〔2〕，得〔4〕解得：代入式〔1〕，得：〔2〕许可载荷由角钢强度条件由木柱强度条件：故许可载荷为：[习题6-8]水平刚性横梁AB上部由于某1杆和2杆悬挂，下部由铰支座C支承，如以以下图。由于制造误差，杆1和长度短了。两杆的材料和横截面面积均一样，且，。试求装配后两杆的应力。解：以AB梁为研究对象，则：…………(1)变形协调条件：………...(2)(1)、(2)联立，解得：；[习题6-9]图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离。上、下两段杆的横截面面积分别为和，材料的弹性模量。试作图示荷载作用下杆的轴力图。解：设装配后，支座B的反力为〔↓〕，则：〔D为60kN集中力的作用点〕变形协调条件：。故：；；。轴力图如以以以下图所示。[习题6-10]两端固定的阶梯状杆如以以下图。AC段和BD段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；杆的弹性模量为，线膨胀系数。试求当温度升高后，该杆各局部产生的应力。解：变形协调条件：[习题6-11]图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩。假设，试求固定端的支反力偶矩和，并作扭矩图。解：把B支座去掉，代之以约束反力偶，其矩为，转向为逆时针方向，则：变形协调条件：A、B为两固定端支座，不允许其发生转动，故：式中，，故：〔顺时针方向转动〕AB轴的轴力图如下：[习题6-12]图示一两端固定的钢圆轴，其直径。轴在截面C处承受一外力偶矩。钢的切变模量。试求截面C两侧横截面上的最大切应力和截面C的扭转角。解：把B支座去掉，代之以约束反力力偶，其矩为，逆时针方向转动。，则：变形协调条件：A、B为两固定端支座，不允许其发生转动，故：，故：C截面左侧的最大切应力：式中，抗扭截面模量C截面右侧的最大切应力：C截面的转角：式中，[习题6-13]一空心圆管套在实心圆杆B的一端，如以以下图。两杆在同一截面处各有一直径一样的贯穿孔，但两孔的中心线构成一角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B上的外力偶。试问管A和杆B横截面上的扭矩为多大杆A和杆B的极惯性矩分别和；两杆的材料一样，其切变模量为G。解：解除Ⅱ端约束〔逆时针方向转动〕，则由于B杆锚固时处于弹性变形阶段，所以解除约束II之后，Ⅱ端相对于截面C转了角。因为事先将杆B的C端扭了一个角，故变形协调条件为[习题6-14]图示圆截面杆AC的直径，A端固定，在截面B处承受外力偶矩，截面C的上、下两点处与直径均为的圆杆EF、GH铰接。各杆材料一样，弹性常数间的关系为。试求杆AC中的最大切应力。解：把EF杆与GH杆切断，代之以约束反力。由轴AC的受力特点可知，这两个约束反力构成一力偶，设它的力偶矩为〔顺时针方向转动〕。杆EF、GH的作用是阻止C截面转动，但因这这两根杆件是可变形固体，故C截面仍有转角。变形协调条件为：式中，，故：。故：杆AC的最大切应力出现在AB段的圆轴外表：[习题6-15]试求图示各超静定梁的支反力。[6-15〔a〕]解：把B支座去掉，代之以约束反力，则变形协调方程为：查附录IV，得：故，〔↑〕由得：〔↑〕由得：〔逆时针方向转动〕[6-15(b)]解：把B支座去掉，代之以约束反力，则变形协调方程为：查附录IV，得：故，〔负号表示方向向下，即↓〕由得：〔↑〕由得：，〔逆时针方向转动〕[6-15(c)]解：把B支座去掉，代之以约束反力和，方向如以以下图。则变形协调条件为：；查附录IV，得：故，……(1)查附录IV，得：故，…(2)(1)、〔2〕联立，解得：〔↑〕；〔顺时针方向转动〕。根据对称构造在对物荷载作用下的性质可知，〔↑〕；〔逆时针方向转动〕[习题6-16]荷载F作用在梁AB及CD的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。其跨长比和刚度比分别为：和。解：把连接梁AB与梁CD的垫块去掉，代之以约束反力〔↑〕和〔↓〕。显然，它们是一对作用力反作用力。。查附录IV得：AB在B处的挠度：CD在C处的挠度为：变形协调方程：〔↓〕。即，梁CD在C处所受的力。梁AB在B处所受的合力为：〔↓〕。[习题6-17]梁AB因强度和刚度缺乏，用同一材料和同样截面的短梁AC加固，如以以下图。试求：〔1〕二梁接触处的压力；〔2〕加固后梁AB的最大弯矩和B点的挠度减小的百分数。解：〔1〕求二梁接触处的压力以AB为研对象，把C处的圆柱垫去掉，代之以约束反力〔↑〕；以AC为研究对象，作用在C处的力为〔↓〕。与是一对作用与反作用力，。AB梁在C处的挠度：。查附录IV得：故，AC梁在C处的挠度：变形协调方程：〔↑〕〔2〕求加固后梁AB的最大弯矩和B点的挠度减小的百分数=1\*GB3①弯矩的变化情况加固前：加固后：显然，AB梁的最大弯矩减小：〔负弯矩只表示AB梁上侧受拉〕=2\*GB3②B点挠度的变化情况加固前：加固后：故，B点挠度减小的百分数为：[习题6-18]图示构造中梁AB和梁CD的尺寸及材料均一样，EI为常量。试绘出梁CD的剪力图和弯矩图。解：〔1〕求多余未知力把刚性杆EF去掉，代之以约束反力〔↓〕和〔↑〕。它们是一对作用与反作用力。。AB梁在E处的挠度为：CD梁在F处的挠度为：变形形协调方程：]由对称性可知，〔↑〕〔2〕作CD梁的弯矩图CF段的弯矩方程：令得：当时，弯矩取最大值。FD段的弯矩方程：由对称性可知：CD梁的弯矩图如以以以下图所示。〔3〕作CD梁的剪力图[习题6-19]在一直线上打入个半径为的圆桩，桩间距均为。将厚度为的平钢板按图示方式插入圆桩之间，钢板的弹性模量为，试求钢板内产生的最大弯曲应力。解：以AC为研究对象。把AC弯成目前形状时，在A、C必须向上的力；B桩相当于向下的集中荷载F〔↓〕。变形协调条件为：根据对称性，A桩对钢板的作用力也是F。故AC段的最大弯矩出现在B处：因为所以[习题6-20]直梁ABC在承受荷载前搁置在支座A和C上，梁与支座B间有一间隙。当加上均布荷载后，梁在中点处与支座B接触，因而三个支座都产生约束力。为使这三个约束力相等，试求其值。解：把B支座去掉，代之以约束反力〔↑〕。则B的挠度为：令〔↑〕[习题6-21]梁AB的的两端均为固定端，当其左端转动了一个微小角度时，试确定梁的约束反力，，，。解：把A支座去掉，代之以约束反力和变形协调方程为：查附录IV得：………………(1)……(2)(1)、(2)联立，解得：〔↑〕；〔逆时针方向〕由得：〔↓〕由得：〔逆时针方向〕[习题6-22]梁AB的左端固定而右端铰支，如以以下图。梁的横截面高为。设梁在安装后其顶面温度为，而底面温度为，设，且沿截面高度成线性变化。梁的弯曲刚度为EI，材料的线膨胀系数为。试求梁的约束反力。解：把B支座去掉，代之以约束反力。由于温差所产生的挠度：由于所产生的挠度：变形协调条件：〔↑〕〔↓〕由得：〔顺时针方向〕第七章应力状态和强度理论习题解[习题7-1]试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并说明单元体各面上的应力。[习题7-1〔a〕]解：A点处于单向压应力状态。[习题7-1〔b〕]解：A点处于纯剪切应力状态。[习题7-1〔b〕]解：A点处于纯剪切应力状态。B点处于平面应力状态[习题7-1〔d〕]解：A点处于平面应力状态[习题7-2]有一拉伸试样，横截面为的矩形。在与轴线成角的面上切应力时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F。解：；；出现滑移线，即进入屈服阶段，此时，[习题7-3]一拉杆由两段沿面胶合而成。由于实用的原因，图中的角限于范围内。作为“假定计算〞，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力对比。现设胶合缝的许用切应力为许用拉应力的，且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大解：；；〔〕0.910203036.8833405060〔〕1.0001.0311.1321.3331.5631.7042.4204.000〔〕47.7544.3862.3341.7321.5621.5231.5231.732由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当时，杆能承受最大荷载，该荷载为：[习题7-4]假设上题中拉杆胶合缝的许用应力，而，，则值应取多大假设杆的横截面面积为，试确定其最大许可荷载。解：由上题计算得：〔〕0.9102026.56505130405060〔〕1.0001.0311.1321.2501.3331.7042.4204.000〔〕31.8362.9241.5561.2501.1551.0151.0151.155由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当时，杆能承受最大荷载，该荷载为：[习题7-5]试根据相应的应力圆上的关系，写出图示单元体任一斜面上正应力及切应力的计算公式。设截面的法线与轴成角如以以下图〔作图时可设〕。解：坐标面应力：X〔，0〕；Y〔，0〕设斜面的应力为M〔，〕。X、Y点作出如以以下图的应力圆。由图中的几何关系可知：[习题7-6]某建筑物地基中的一单元体如以以下图，〔压应力〕，〔压应力〕。试用应力圆求法线与轴成顺时针夹角且垂直于纸面的斜面上的正应力及切应力，并利用习题7-5中得到的公式进展校核。解：坐标面应力：X〔-0.05，0〕；Y〔-0.2，0〕。根据以上数据作出如以以下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：按习题7-5得到的公式计算如下：作图法〔应力圆法〕与解析法〔公式法〕的结果一致。[习题7-7]试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为的截面上，在顶面以下的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与轴之间的夹角。解：〔1〕求计算点的正应力与切应力〔2〕写出坐标面应力X〔10.55，-0.88〕Y〔0，0.88〕(3)作应力圆求最大与最小主应力，并求最大主应力与轴的夹角作应力圆如以以下图。从图中按比例尺量得：[习题7-8]各单元体面上的应力如以以下图。试利用应力圆的几何关系求：〔1〕指定截面上的应力；〔2〕主应力的数值；〔3〕在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。[习题7-8〔a〕]解：坐标面应力：X〔20，0〕；Y〔-40，0〕。根据以上数据作出如以以下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：，；，；。单元体图应力圆〔O.Mohr圆〕主单元体图[习题7-8〔b〕]解：坐标面应力：X〔0，30〕；Y〔0，-30〕。根据以上数据作出如以以下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：，；，；。单元体图应力圆〔O.Mohr圆〕主单元体图[习题7-8〔c〕]解：坐标面应力：X〔-50，0〕；Y〔-50，0〕。根据以上数据作出如以以下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：，；，。单元体图应力圆〔O.Mohr圆〕主单元体图[习题7-8〔d〕]解：坐标面应力：X〔0，-50〕；Y〔-20，50〕。根据以上数据作出如以以下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：，；,，；。单元体图应力圆〔O.Mohr圆〕主单元体图[习题7-9]各单元体如以以下图。试利用应力圆的几何关系求：〔1〕主应力的数值；〔2〕在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。[习题7-9〔a〕]解：坐标面应力：X〔130，70〕；Y〔0，-70〕。根据以上数据作出如以以下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：,，；。单元体图应力圆〔O.Mohr圆〕主单元体图[习题7-9〔b〕]解：坐标面应力：X〔-140，-80〕；Y〔0，80〕。根据以上数据作出如以以下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：,，；。单元体图应力圆〔O.Mohr圆〕主单元体图[习题7-9〔c〕]解：坐标面应力：X〔-20，-10〕；Y〔-50，10〕。根据以上数据作出如以以下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：,，；。单元体图应力圆〔O.Mohr圆〕主单元体图[习题7-9〔d〕]解：坐标面应力：X〔80，30〕；Y〔160，-30〕。根据以上数据作出如以以下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：,，；。单元体图应力圆〔O.Mohr圆〕主单元体图[习题7-10]平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如以以下图。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。平面应力状态下的两斜面应力应力圆解：两斜面上的坐标面应力为：A〔38，28〕，B〔114，-48〕由以上上两点作出的直线AB是应力圆上的一条弦，如以以下图。作AB的垂直平分线交水平坐标轴于C点，则C为应力圆的圆心。设圆心坐标为C〔〕则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等性质，可列以下方程：解以上方程得：。即圆心坐标为C〔86，0〕应力圆的半径：主应力为：〔2〕主方向角〔上斜面A与中间主应力平面之间的夹角〕〔上斜面A与最大主应力平面之间的夹角〕〔3〕两截面间夹角：[习题7-11]某点处的应力如以以下图，设及值为，试考虑若何根据数据直接作出应力圆。解：…………(1)…………(2)(1)、〔2〕联立，可解得和。至此，三个面的应力均为：X〔，0〕，Y〔，0〕〔，均为负值〕；〔〕。由X，Y面的应力就可以作出应力圆。[习题7-12]一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如以以下图，梁的自重略去不计。试示上三点处的主应力。解：〔1〕求点的主应力因点处于单向拉伸状态，故，。〔2〕求点的主应力在的左邻截面上，即坐标面应力为X〔193.081,60.821〕,Y(0,-60.821).〔3〕求点的主应力即坐标面应力为X〔0,84.956〕,Y(0,-84.956).[习题7-13]在一块钢板上先画上直径的圆，然后在板上加上应力，如以以下图。试问所画的圆将变成何种图形并计算其尺寸。钢板的弹性模量，。解：坐标面应力X〔70，21〕，Y〔14，-21〕所画的圆变成椭圆，其中〔长轴〕〔短轴〕[习题7-14]一受力构件外表上某点处的，，，单元体的三个面上都没有切应力。试求该点处的最大正应力和最大切应力。解：最大正应力为。最小正应力是。最大切应力是[习题7-15]单元体各面上的应力如以以下图。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。[习题7-15〔a〕]解：坐标面应力：X〔70，-40〕，Y〔30，-40〕，Z〔50，0〕单元体图应力圆由XY平面内应力值作a、b点，连接a、b交轴得圆心C〔50，0〕应力圆半径：[习题7-15〔b〕]解：坐标面应力：X〔60，40〕，Y〔50，0〕，Z〔0，-40〕单元体图应力圆由XZ平面内应力作a、b点，连接a、b交轴于C点，OC=30，故应力圆圆心C〔30，0〕应力圆半径：[习题7-15〔c〕]解：坐标面应力：X〔-80，0〕，Y〔0，-50〕，Z〔0，50〕单元体图应力圆由YZ平面内应力值作a、b点，圆心为O，半径为50，作应力圆得[习题7-16]一点处应力状态的应力圆如以以下图。试用单元体示出该点处的应力状态，并在该单元体上绘出应力圆上A点所代表的截面。[习题7-16(a)]解：该点处于三向应力状态：，，。A点所代表的截面平行于的方向。据此，可画出如以以下图的单元体图和A截的位置。AA应力圆主单元体图与A截面的位置[习题7-16(b)]解：该点处于三向应力状态：，，。A点所代表的截面平行于的方向。据此，可画出如以以下图的单元体图和A截的位置。AA应力圆主单元体图与A截面的位置[习题7-17]有一厚度为的钢板，在两个垂直方向受拉，拉应力分别为150及55。钢材的弹性常数为，。试求钢板厚度的减小值。解：钢板厚度的减小值为：[习题7-18]边长为的钢立方体置于钢模中，在顶面上均匀地受力作用。，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计。试求立方体各个面上的正应力。解：〔1〕〔2〕联解式〔1〕，〔2〕得[习题7-19]在矩形截面钢拉伸试样的轴向拉力时，测得试样中段B点处与其轴线成方向的线应变为。材料的弹性模量，试求泊松比。解：平面应力状态下的广义虎克定律适用于任意两互相垂直的方向，故有：。钢杆处于单向拉应力状态：拉杆横截面上的正应力斜截面上的应力由广义虎克定律解得：[习题7-20]D=120mm，d=80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩，如以以下图。在轴的中部外表A点处，测得与其母线成方向的线应变为。材料的弹性常数，，试求扭转力偶矩。解：方向如图[习题7-21]在受集中力偶作用矩形截面简支梁中，测得中性层上k点处沿方向的线应变为。材料的弹性常数和梁的横截面及长度尺寸。试求集中力偶矩。解：支座反力：〔↑〕；〔↓〕K截面的弯矩与剪力：；K点的正应力与切应力：；故坐标面应力为：X〔，0〕，Y〔0，-〕〔最大正应力的方向与正向的夹角〕，故[习题7-22]一直径为的实心钢球承受静水压力，压强为。设钢球的，。试问其体积减小多少解：体积应变=[习题7-23]图示单元体材料的弹性常数，。试求该单元体的形状改变能密度。解：坐标面应力：X〔70，-40〕，Y〔30，40〕，Z〔50，0〕在XY面内，求出最大与最小应力：故，，，。单元体的形状改变能密度：[习题7-24]从某铸铁构件内的不安全点取出的单元体，各面上的应力分量如以以下图。铸铁材料的泊松比，许用拉应力，许用压应力。试按第一和第二强度理论校核其强度。解：坐标面应力：X〔15，15〕，Y〔0，-15〕第一强度理论：因为，，即，所以符合第一强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全。第二强度理论：因为，，即，所以符合第二强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全。[习题7-25]一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。钢材的许用应力为，。试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核不安全截面上的a点的强度。注：通常在计算a点处的应力时，近似地按点的位置计算。解：左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。支座反力：〔↑〕=〔1〕梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘超过的5.3%，在工程上是允许的。〔2〕梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处〔3〕在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度超过的3.53%，在工程上是允许的。[习题7-26]钢轨与火车车轮接触点处的正应力，，〔参看图7-7〕。假设钢轨的许用应力。试按第三强度理论与第四强度理论校核其强度。解：按第三强度校核：符合第三强度理论所提出的强度条件，即安全。符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。[习题7-27]受内压力作用的容器，其圆筒局部任意一点A〔图a〕处的应力状态如图b所示。当容器承受最大的内压力时，用应变计测得。钢材的弹性模量E=210GPa，泊松比=0.3，许用应力。试按第三强度理论校核A点的强度。解：，，根据第三强度理论：超过的7.64%，不能满足强度要求。[习题7-28]设有单元体如以以下图，材料的许用拉应力为，许用压应力为。试按莫尔强度理论校核其强度。解：坐标面应力：X〔-70，-50〕，Y〔0，50〕。莫尔强度理论的相当应力：因为，，即，所以符合莫尔强度理论所提出的强度条件，即安全。[习题7-29]图示两端封闭的铸铁薄壁圆筒，其内径，壁厚，承受内压力，且两端受轴向压力作用。材料的许用拉应力，泊松比。试按第二强度理论校核其强度。解：在内压力作用下，任一点产生的应力为：〔径向〕〔纵向〕但薄壁圆筒除在内压力作用下产生之外，又在轴向压力作用下产生压应力：在内压力与轴向压力共同作用下，薄壁圆筒内壁处某一点产生的应力：用第二强度理论校核：故，该薄壁容器满足强度要求。[习题7-30]在题7-29中试按莫尔强度理论进展强度校核。材料的拉伸与压压缩许用应力分别为以及。解：莫尔强度理论的相当应力：因为，，即，所以符合莫尔强度理论所提出的强度条件，即安全。[习题7-31]用Q235钢制成的实心圆截面杆，受轴向拉力F及扭转力偶矩共同作用，且。今测得圆杆外表k点处沿图示方向的线应变。杆直径，材料的弹性常数，。试求荷载F和。假设其许用应力，试按第四强度理论校核杆的强度。解：计算F和的大小：在k点处产生的切应力为：F在k点处产生的正应力为：即：X〔，〕，Y〔0，〕广义虎克定律：〔F以N为单位，d以mm为单位，下同。〕按第四强度理论校核杆件的强度：符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。[习题7-32]内径、壁厚、两端封闭的薄壁圆筒，用来做内压力和扭转联合作用的试验。要求内压力引起的最大正应力值等于扭转力偶矩所引起的横截面切应力值的2倍。当内压力时，筒壁的材料出现屈服现象，试求筒壁中的最大切应力及形状改变能密度。材料的，。解：内压力引起的最大正应力：〔轴向应力〕〔环向应力〕径向应力依题意：扭矩引起的切应力为：，。主应力：筒壁中的最大切应力：形状改变能密度：第八章组合变形及连接局部的计算习题解[习题8-1]14号工字钢悬臂梁受力情况如以以下图。，，，试求不安全截面上的最大正应力。解：不安全截面在固定端，拉断的不安全点在前上角点，压断的不安全点在后下角，因钢材的拉压性能一样，故只计算最大拉应力：式中，，由14号工字钢，查型钢表得到，。故[习题8-2]受集度为的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为，如以以下图。该梁材料的弹性模量；梁的尺寸为，，；许用应力；许用挠度。试校核梁的强度和刚度。解：〔1〕强度校核〔正y方向↓〕〔负z方向←〕出现在跨中截面出现在跨中截面最大拉应力出现在左下角点上：因为，，即：所以满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。〔2〕刚度校核=。即符合刚度条件，亦即刚度安全。[习题8-3]悬臂梁受集中力F作用如以以下图。横截面的直径，，材料的许用应力。试求中性轴的位置，并按照强度条件求梁的许可荷载[F]。解：〔正y方向↓〕〔负z方向←〕出现在固定端截面，上侧受拉出现在固定端截面，外侧受拉，即：中性轴是过大圆的圆心，与y轴的正向成的一条直线〔分布在二、四象限〕。〔沿F作用线方向〕[习题8-4]图示一楼梯木料梁的长度，截面为的矩形，受均布荷载作用，。试作梁的轴力图和弯矩图，并求横截面上的最大拉应力与最大压应力。解：以A为坐标原点，AB方向为轴的正向。过Ａ点，倾斜向下方向为轴的正向。〔负方向：↙〕〔正方向：↘〕A、B支座的反力为：，ＡＢ杆的轴力：ＡＢ杆的弯矩：x01234N-4-3-2-10M02.5983.4642.5980AB杆的轴力图与弯矩图如以以下图。〔令，得：当时，拉应力取最大值：令，得：当时，压应力取最大值：[习题8-5]图示一悬臂滑车架，杆AB为18号工字钢，其长度为m。试求当荷载作用在AB的中点D处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。解：18号工字钢，，AB杆系弯压组合变形。：，[习题8-6]砖砌烟囱高，底截面的外径，内径，自重，受的风力作用。试求：〔1〕烟囱底截面上的最大压应力；〔2〕假设烟囱的根基埋深，根基及填土自重按计算，土壤的许用压应力，圆形根基的直径D应为多大注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。解：烟囱底截面上的最大压应力：==土壤上的最大压应力：即即解得：m[习题8-7]螺旋夹紧器立臂的横截面为和矩形，如以以下图。该夹紧器工作时承受的夹紧力，材料的许用应力，立臂厚，偏心距。试求立臂宽度。解：立柱是拉弯构件。最大拉应力为：正应力强度条件：解得：[习题8-8]试求图示杆内的最大正应力。力F与杆的轴线平行。解：〔1〕求T形截面的形心位置形心在y轴上，〔2〕把力F先向y轴平移，产生一个；然后，再把F向z轴平移，又产生一个。故，T形截面的杆件是拉伸与双向弯曲的组合变形构件。〔3〕判断最大拉应力与最大压应力出现的位置由、的方向〔正负号〕可知，A点处拉应力最大，B点处压应力最大。〔4〕计算最大拉应力〔5〕计算最大压应力故杆内的最大正应力是：。[习题8-9]有一高为、厚为的混凝土墙，浇筑于结实的根基上，用作挡水用的小坝。试求：〔1〕当水位到达墙顶时，墙底处的最大拉应力和最大压应力〔高混凝土的密度为〕；〔2〕如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深为多大解：〔1〕求墙底处的最大拉应力和最大压应力沿墙长方向取作为计算单元，则墙的重力为：〔↓〕作用在墙底处的水压力为：墙底处的弯矩：混凝土墙为压弯构件，墙底的应力为：〔右〕〔左〕〔2〕求混凝土中没有拉应力时的水深作用在墙底处的水压力为：墙底处的弯矩：故当时，混凝土中不出现拉应力。[习题8-10]受拉构件形式状如图，截面尺寸为，承受轴向拉力。现拉杆开有切口，如不计应力集中影响，当材料的时，试确定切口的最大许可深度，并绘出切口截面的应力变化图。解：在切口处，杆件发生拉弯组合变形。偏心距。把F向剩余截面的形心平移后，产生的力矩：最大拉应力出现在切口的上缘，即剩余截面的下缘：，化简后，取：解得〔最大值〕切口截面中性轴以下区域的应力：切口截面中性轴以上区域的应力：切口截正应力的变化情况如以以以下图所示：y017.3749917.3750134.75sigma1156.82769.06569.065-1018.7[习题8-11]一圆截面杆受偏心力作用，偏心距，杆的直径为，许用应力为。试求杆的许可偏心拉力值。解：杆为拉弯组合变形构件。最大拉应力为：即：。[习题8-12]图示一浆砌块石挡土墙，墙高，墙背承受的土压力，并且与铅垂线成夹角，浆砌石的密度为，其他尺寸如以以下图。试取长的墙体作为计算对象，试计算作用在截面AB上A点和B点处的正应力。又砌体的许用压应力为，许用拉应力为，试作强度校核。解：沿墙长方向取作为计算单元。分块计算砌体的重量：竖向力分量为：各力对AB截面形心之矩为：AB之中点离A点为：，的偏心距为的偏心距为的偏心距为的力臂为砌体墙为压弯构件因为，，所以砌体强度足够。[习题8-13]试确定图示十字形截面的截面核心边界。解：惯性矩与惯性半径的计算〔习题8-13)bh竖矩形0.20.60.0036平矩形0.60.20.00040.0040.0167平矩形0.20.60.0036竖矩形0.60.20.00040.0040.0167截面核心边界点坐标的计算(习题8-13)[习题8-14]试确定图示各截面的截面核心边界。截面核心边界点坐标的计算(习题8-13)中性轴编号①②③④⑤⑥⑦⑧中性轴的截距0.40.30.4∞-0.4-0.3-0.4∞0.4∞-0.4-0.3-0.4∞0.40.3对应的核心边界上的点12345678核心边界上点-0.042-0.056-0.0420.0000.0420.0560.0420.000的坐标值〔m)-0.0420.0000.0420.0560.0420.000-0.042-0.056[习题8-14〔a〕]解：惯性矩与惯性半径的计算截面核心边界点坐标的计算(习题8-13)截面核心边界点坐标的计算中性轴编号①②③④中性轴的截距400∞-400∞∞-400∞400对应的核心边界上的点1234核心边界上点72882-18201820的坐标值〔m)7288201820-182[习题8-14〔b〕]解：计算惯性矩与惯性半径截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b)中性轴编号①②③④中性轴的截距50∞-50∞∞-100∞100对应的核心边界上的点1234核心边界上点1042-210210的坐标值〔m)41670420-42[习题8-14〔c〕]解：〔1〕计算惯性矩与惯性半径半圆的形心在Z轴上，半圆的面积：半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩：〔2〕列表计算截面核心边缘坐标截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b)中性轴编号①②③④中性轴的截距100∞-100∞∞-85∞115对应的核心边界上的点1123核心边界上点10000-10001000的坐标值〔m)27880330-24[习题8-15]曲拐受力如以以下图，其圆杆局部的直径。试画出表示A点处应力状态的单元体，并求其主应力及最大切应力。解：A点所在的截面经受弯扭组合变形。A点处应力状态的单元体如以以下图。坐标面应力为：X〔23.48,-18.262〕,Y(0,0),Z(0,18.262,0)故，，，[习题8-16]铁道路标圆信号板，装在外径的空心圆柱上，所受的最大风载，。试按第三强度理论选定空心柱的厚度。解：忽略风载对空心柱的分布压力，只计风载对信号板的压力，则信号板受风力空心柱固定端处为不安全截面，其弯矩：扭矩：=mm[习题8-17]一手摇绞车如以以下图。轴的直径，材料为Q235钢，其许用应力。试用第四强度理论求绞车的最大起吊重量P。解：轴是弯扭组合变形构件。竖向平面的弯矩：第四强度的相当应力：第四强度理论：[习题8-18]图a所示的齿轮轮传动装置中，第II轴的受力情况及尺寸如图b所示。轴上大齿轮1的半径，受周向力和径向力作用，且；小齿轮2的半径，受周向力和径向力作用，且。轴工作时传递功率，转速，轴的材料为合金钢，其许用应力。试按第三强度理论计算轴的直径。解：设左支座为A，右支座为B，则：竖向平面内的支座反力为：x035215280M078.47211.510水平面内的支座反力为：x035215280Mz078.47211.510My0-37.328513.9230最大弯矩出现在2轮。第三强度的相当应力：D[习题8-19]一框架由直径为的圆截面杆组成，受力如以以下图。试给出各杆不安全截面上不安全点处单元体的上应力状态。设，，，，。DA解：这是一个三次超静定构造。考虑到AE外力是铅垂向下的集中力，支座不EBC会有水平反力，固可简化为二次超BC静定构造。BC杆发生平面弯曲；AB、CD杆发生弯扭组合变形。以BC为研究对象，其受力如以以下图。由对称性可知：；。B截面的变形协调条件为：由BC杆计算得出的B截面的转角，等于由AB杆计算得出的B截面转角。不安全截面在固定端A〔或D〕处，其内力分量为：，[习题8-20]两根直径为的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，并在两端承受扭转外力偶矩，如以以下图。试分析杆的受力情况，绘出内力图，并写出强度条件的表达式。解：以上刚性板为研究对象，把两根立柱沿上刚性板底面切断。每一柱顶对刚性板有三个约束：一个约束反力，两个约束反力偶〔矩〕，如以以下图：B截面处：，，D截面处：，，由刚性板的平衡条件可得：：，………………(1)：，……(2)：，由于，所以……………(3)由变形协调条件可得：……………………(4)………………(5)由于，所以……(6)把以上6个方程联立，解得：AB杆的内力图：〔内侧受拉为正〕BBA弯矩图立柱的不安全截面在截面B〔或D截面〕，其内力分量为：Q=〔内侧受拉〕按第三强度理论，圆杆弯扭组合变形的强度条件为：，式中，，，。[习题8-21]试校核图示拉杆头部的剪切强度和挤压强度。图中尺寸，和，杆的许用切应力，许用挤压应力。解：剪切面为圆柱面，所受的剪力为：。不会发生剪切破坏。挤压面为水平的圆环面，挤压力为：不会发生挤压破坏。综上所述，该构件能安全工作。[习题8-22]水轮发电机组的卡环尺寸如以以下图。轴向荷载，卡环材料的许用切应力，许用挤压应力。试校核卡环的强度。解：剪切面：不会发生剪切破坏。挤压面积为：不会发挤压破坏。综上所述，卡环能安全工作。[习题8-23]正方形截面的混凝土柱，其横截面边长为，其基底为边长的正方形混凝土板。柱承受轴向压力，如以以下图。假设地基对混凝土板的支反力为均匀分布，混凝土的许用切应力为，试问为使柱不穿过板，混凝土板所需的最小厚度应为多少解：混凝土板的重量，基压力为：剪力为：[习题8-24]图示一螺栓接头。，螺栓的许用切应力，许用挤压应力。试计算螺栓所需的直径。解：按剪切强度计算按挤压强度计算：应选取的螺栓。[习题8-25]拉力的螺栓连接如以以下图。b=80mm，mm，d=22mm，螺栓的许用切应力，钢板的许用挤压应力，许用拉应力。试校核接头的强度。解：〔1〕螺栓剪切〔2〕钢板挤压〔3〕钢板拉伸第一排截面上应力：第二排孔截面上拉力与第一排螺钉上的剪力之和等于外力F，其中第一排螺钉上剪力为：故第二排截面上拉应力合力为于是接头符合抗剪强度、抗挤压强度及被削弱截面的正应力强度条件要求，即接头强度足够，亦即安全。[习题8-26]两直径的圆轴，由凸缘和螺栓连接，共有8个螺栓布置在的圆周上，如以以下图。轴在扭转时的最大切应力为70MPa，螺栓的许用切应力。试求螺栓所需的直径。解：[习题8-27]一托架如以以下图。外力，铆钉的直径，铆钉与钢板为搭接。试求最不安全的铆钉剪切面上切应力的数值及方向。解：〔1〕在力作用下，因为每个铆钉直径相等，故每个铆钉上所受的力〔2〕在力偶作用下，四个铆钉上所受的力应组成力偶与之平衡。〔1〕〔2〕联解式〔1〕、〔2〕得〔与y轴正向的夹角〕[习题8-28]跨长的临时桥的主梁，由两根号工字钢相叠铆接而成〔图b〕。梁受均布载荷作用，能够在许用正应力下工作。铆钉直径，许用切应力，试按剪切强度条件计算铆钉间的最大间距。解：〔1〕由正应力强度条件计算查型钢表，50b号工字钢的，，，〔2〕按剪切强度条件计算铆钉间的最大间距在支座侧，横截面的中性轴处切应力最大。式中，根据剪应力互等定理，作用在水平面上的、由铆钉承受的切应力等于横截面上中性轴处的切应力。在长度上的剪力由2个铆钉承当，则有[习题8-29]矩形截面木拉杆的榫头如以以下图。轴向拉力，截面宽度，木材的顺纹许用挤压应力，顺纹许用切应力。试求接头处所需的尺寸和。解：剪切面的面积为：，挤压面积为：。假设上块的榫头发生剪切破坏，则剪力等到于左边的F。抗剪强度条件为：。挤压强度条件为：[习题8-30]在木桁架的支座部位，斜杆以宽度的榫舌和下弦杆连接在一起，如以以下图。木材斜纹许用压应力，顺纹许用切应力，作用在桁架斜杆上的压应力。试按强度条件确定榫舌的高度〔即榫接的深度〕和下弦杆末端的长度。解：由挤压强度条件确定由抗剪强度条件确定底面与两个侧面构成剪切面，其面积为第九章压杆稳定习题解[习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式。试分析当分别取图b,c,d所示坐标系及挠曲线形状时，压杆在作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的一样，由此所得公式又是否一样。解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。因为〔b〕图与〔a〕图具有一样的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程一样，都是。〔c〕、(d)的坐标系一样，它们具有一样的挠曲线微分方程：，显然，这微分方程与〔a〕的微分方程不同。临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有一样的公式，即：。[习题9-2]图示各杆材料和截面均一样，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小〔图f所示杆在中间支承处不能转动〕解：压杆能承受的临界压力为：。由这公式可知，对于材料和截面一样的压杆，它们能承受的压力与原压相的相当长度的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长度系数。〔a〕〔b〕〔c〕〔d〕〔e〕〔f〕〔下段〕；〔上段〕故图e所示杆最小，图f所示杆最大。[习题9-3]图a,b所示的两细长杆均与根基刚性连接，但第一根杆〔图a〕的根基放在弹性地基上，第二根杆〔图b〕的根基放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为为什么并由此判断压杆长因数是否可能大于2。螺旋千斤顶〔图c〕的底座对丝杆〔起顶杆〕的稳定性有无影响校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定〔固定于底座上〕、上端自由、长度为的压杆是否偏于安全解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)