黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

哈师大青冈实验中学2024-2025学年度高二期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1.直线的斜率为A.2B.-2C.-122.抛物线的准线方程为A.B.C.D.3.若圆：过坐标原点，则实数的值为A.2或1B.-2或-1C.2D.-14.已知双曲线，则A.双曲线C的焦距为B.双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍C.双曲线与双曲线C的渐近线相同D.直线与双曲线C有公共点5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于A.0B.1C.2D.6.已知双曲线E：，若抛物线的焦点到双曲线E的渐近线的距离为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则的值为A.B.C.8D.7.已知直线，点与点关于原点对称，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为A.B.C.D.8.已知双曲线(a>0，b>0)的左､右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c，0)，点P在双曲线的右支上，且满足，则该双曲线离心率的取值范围是A.(2，+∞)B.C.D.(1，2)二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列四个命题中真命题有A.直线在轴上的截距为；B.经过定点的直线都可以用方程表示；C.直线必过定点(2，－4)；D.已知直线与直线平行，则平行线间的距离是；10.如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是A.存在点，使得B.存在点，使得C.对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为D.对于任意点，都不是锐角三角形11.椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为F1、F2.一束光线从F1射出，经椭圆镜面反射至F2，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A.椭圆的标准方程为B.若点P在椭圆上，则sin∠FC.若点P在椭圆上，BP的最大值为D.过直线上一点M分别作椭圆的切线，交椭圆于P，Q两点，则直线PQ恒过定点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.圆上的点到直线的最大距离是. 13.已知椭圆()的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是.14.如图，两个正方形，的边长都是8，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的四等分点，N为对角线DF的中点，则线段.四、解答题：本题共5小题，共77分。15.(13分)已知的三个顶点，，，求：(1)边上的高所在直线的方程；(2)的垂直平分线所在直线的方程.16.(15分)已知圆(1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；(2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程.17.(15分)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，且椭圆C过点P.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积.18.(17分)如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面.(1)求证：平面；(2)若，点在棱上，且二面角的大小为.①求证：；②设是直线CD中点，求直线与平面所成角的正弦值.19.(17分)(1)求双曲线的方程；(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.(i)试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；(ii)求的取值范围.数学试卷答案1——8BDCCAABB9、CD10、BCD11、ACD12、13、14、15．（13分）解：（1）由斜率公式易知，直线的斜率．——————3分又直线过点，代入点斜式得直线的方程为：．——————6分，．——————8分又线段的中点为，——————10分所在直线的方程为，——————12分整理得所求的直线方程为：．——————13分16．（15分）解：（1）由圆，可得原心，半径为，——————1分当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意；——————3分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，——————4分由圆心到直线的距离等于半径，可得，解得，——————5分此时直线的方程为，——————6分综上可得，所求直线的方程为或.——————7分（2）解：由圆的半径为3，圆心在直线上，设，且圆的圆心，半径为，——————9分由两圆相外切，可得，即，——————11分解得或，——————13分所以或，——————14分所以所求圆的方程为或.——————15分17.（15分）解：(1)设椭圆C的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，——————1分由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1，))——————3分解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))——————5分故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.——————6分直线OP的方程为y＝eq\f(\r(3),2)x，——————7分设直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),2)x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．——————8分将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋eq\r(3)mx＋m2－1＝0，由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m2<4，——————9分所以x1＋x2＝－eq\r(3)m，x1x2＝m2－1.——————10分由OA⊥OB，得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，——————11分eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)x1＋m))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)x2＋m))＝eq\f(7,4)x1x2＋eq\f(\r(3),2)m(x1＋x2)＋m2＝eq\f(7,4)(m2－1)＋eq\f(\r(3),2)m·(－eq\r(3)m)＋m2＝eq\f(5,4)m2－eq\f(7,4)＝0，得m2＝eq\f(7,5).——————12分又|AB|＝eq\r(1＋\f(3,4))eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(\r(7),2)·eq\r(4－m2)，——————13分O到直线AB的距离d＝eq\f(|m|,\r(1＋\f(3,4)))＝eq\f(|m|,\f(\r(7),2))，——————14分所以S△AOB＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(7),2)×eq\r(4－m2)×eq\f(|m|,\f(\r(7),2))＝eq\f(\r(91),10).——————15分18.（17分）解：（1）在四棱锥中，因为底面为矩形，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面，——————1分因为平面，所以，——————2分因为平面，且，——————3分所以平面.——————4分（2）①以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，所以，——————5分因为点在棱上，所以设或显然不满足题设，——————6分因为，所以，所以，——————7分设平面的一个法向量，则，即，取，则，所以，——————8分是平面的一个法向量，——————9分所以，因为二面角的大小为，所以，即，解得，——————10分此时，，，所以，——————11分所以，即.——————12分②因为是直线CD的中点，则——————13分由①可得，所以，平面的一个法向量.——————14分设直线与平面所成角为，则——————16分即直线与平面所成角的正弦值为.——————17分（17分）解：（1）由题意可设双曲线，——————1分则，解得，——————3分所以双曲线的方程为.——————4分（2）（i）设，直线的方程为，——————5分由，消元得.则，且，——————6分，——————8分或由韦达定理可得，即,，—————9分即与的比值为定值.——————10