上海市上海中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

上海中学2024学年第一学期高二年级数学期中2024.11一、填空题（每题3分，共36分）

1.空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是_________________.

2.空间中四个点最多能确定___________个平面.

3.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是___________.

4.若一个球的半径为3，则其体积为___________.

5.若空间向量共面，则实数___________.

6.将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于___________.

7.若二面角内一点到的距离分别等于，则该二面角的大小为___________.

8.已知空间向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是___________.

9.已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为___________.

10.记等差数列的前项和分别为.若，则___________.

11.已知一个正三棱锥的高为6，底面边长为12，动点分别在其内切球和外接球上，则线段长度的取值范围是___________.

12、空间中有五个球两两外切，它们的半径分别为，则___________.

二、选择题（每题4分，共16分）

13.二面角的取值范围是（）.

A.B.C.D.

14.满足条件的等差数列共有（）个

A.2B.3C.4D.5

15.给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（）.

A.都是真命题B.是真命题，是假命题C.是假命题，是真命题D.都是假命题

16.在正三棱锥中，且两两垂直，是的中点，过直线作平面，则直线与平面所成角的最大值为（）.

A.B.C.D.

三.解答题（17~18每题8分，19~20每题10分，21题12分）

17.在等差数列中，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和的最小值.

18.在平行六面体中，，，是的中点.

（1）求的长；

（2）求.

在矩形中，.

（1）将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的表面积；

（2）将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的体积.

20.四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，，是的中点.

（1）求二面角的余弦值；

（2）求异面直线和之间的距离.

21.在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面：

（1）当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积；

（2）当时，若截面为六边形，求的取值范围；

（3）当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 参考答案一、填空题1.平行；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.12.二、选择题13.D14.D15.C16.C15.给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（）.

A.都是真命题B.是真命题，是假命题C.是假命题，是真命题D.都是假命题

【答案】C【解析】对于命题：下左图即为反例，故命题为假命题；对于命题：如右上图所示，在该棱锥中，底面.在底面中，，，…….根据三垂线定理，即可使得所有侧面都是直角三角形，即命题为真命题.16.在正三棱锥中，且两两垂直，是的中点，过直线作平面，则直线与平面所成角的最大值为（）.

A.B.C.D.

【答案】C【解析】以分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，再设平面还通过棱上一点，可得，易得平面的一个法向量为.又，设直线与平面所成角为，则.令，即，则，当且仅当，即时，等号成立，∴，选C.

三．解答题17.【答案】（1）；（2）.18.【答案】（1）；（2）.19.【答案】（1）；（2）.20.四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，，是的中点.

（1）求二面角的余弦值；

（2）求异面直线和之间的距离.【答案】（1）；（2）.【解析】（2）取中点，连接，作，垂足为，易得平面.根据底面是平行四边形，所以，故平面，所以线段的长度即为直线与平面间的距离，也即异面直线和之间的距离.在中，，所以异面直线和之间的距离为.（1）再过点作，连接，根据三垂线定理可知，所以为二面角的平面角.在中，；在中，，所以，所以二面角的余弦值为.21．在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面：

（1）当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积；

（2）当时，若截面为六边形，求的取值范围；

（3）当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，