2024-2025学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.11.1.1第2课时集合的表示方法学案新人教B版必修第一册

PAGE第2课时集合的表示方法学习任务核心素养1．驾驭集合的两种表示方法．(重点)2．驾驭区间的概念及表示方法．(重点)1．借助空集、区间的概念，培育数学抽象的素养．2．通过学习集合的两种表示方法，培育数学运算的素养.语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝愿有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日欢乐”，英文为“HappyBirthday”……那么，对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？学问点一集合的表示方法1．列举法把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法．1．一一列举元素时，须要考虑元素的依次吗？[提示]用列举法表示集合时不必考虑元素的依次．例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合．(1)元素与元素之间必需用“，”隔开；(2)集合中的元素必需是明确的；(3)集合中的元素不能重复；(4)集合中的元素可以是任何事物．1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}． ()(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2. ()[答案](1)×(2)×[提示](1)集合中的元素是互异的．(2)集合{(1,2)}中的元素是(1,2)．2.不等式x－3＜2且x∈N*的解集用列举法可表示为________．{1,2,3,4}[∵x－2＜3，∴x＜5.又x∈N*，∴x＝1,2,3,4，故可表示为{1,2,3,4}．]2．描述法一般地，假如属于集合A的随意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这特性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．2.视察下列集合：(1)不等式x－2≥3的解集；(2)函数y＝x2－1的图像上的全部点．问题1：这两个集合能用列举法表示吗？[提示]不能．问题2：如何表示这两个集合？[提示]利用描述法．3.由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．{0,1,2,3,4}{x∈N|－1＜x＜5}[大于－1小于5的自然数有0,1,2,3,4.故用列举法表示集合为{0,1,2,3,4}；用描述法表示可用x表示代表元素，其满意的条件是x∈N且－1＜x＜5.故用描述法表示集合为{x∈N|－1＜x＜5}．]学问点二区间的概念及其表示方法1．设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如：符号[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)集合{x|x≥a}x＞a{x|x≤a}{x|x＜a}(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必需是小括号．4.用区间表示下列集合：(1){x|－1≤x≤2}：________；(2){x|1＜x≤3}：________；(3){x|x＞2}：________；(4){x|x≤－2}：________.[答案](1)[－1,2](2)(1,3](3)(2，＋∞)(4)(－∞，－2]类型1用列举法表示集合【例1】(1)若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是()A．1 B．2C．3 D．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合；②方程x2＝x的全部实数解组成的集合；③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；④方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解集．(1)B[集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．选B．](2)[解]①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1.))∴用列举法表示方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解集为{(0,1)}．用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．(3)用花括号括起来．提示：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间用“，”隔开．eq\o([跟进训练])1．(1)用“book”中的字母构成的集合中元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对随意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，则集合B＝________.(1)C(2){0,1,2,3}[(1)由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．(2)对随意a∈A，有|a|∈B，因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B．又因为B中只有4个元素，所以B＝{0,1,2,3}．]类型2用描述法表示集合【例2】(对接教材P9练习A④)用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整数的集合；(2)坐标平面内第一象限的点的集合；(3)大于4的全部偶数．[解](1)依据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x＞0，y＞0}．(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．1．描述法表示集合的2个步骤2．选用列举法或描述法的原则要依据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清晰地呈现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采纳列举法；描述法的特点是形式简洁、应用便利，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易找寻或元素的限制条件较多时，就不宜采纳描述法．eq\o([跟进训练])2．用描述法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函数y＝x2－10图像上的全部点组成的集合．[解](1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3，所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)“二次函数y＝x2－10图像上的全部点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．类型3区间及其表示【例3】(对接教材P9练习A⑤)将下列集合用区间及数轴表示出来：(1){x|x＜2}；(2){x|x≥3}；(3){x|－1≤x＜5}．[解](1){x|x＜2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：(3){x|－1≤x＜5}用区间表示为[－1,5)，用数轴表示如下：用区间表示数集的原则和方法(1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错．(2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特殊留意实心点与空心点的区分．eq\o([跟进训练])3．(1)不等式x－2≥0的全部解组成的集合表示成区间是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2](2)若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围为________(1)B(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))[(1)不等式x－2≥0的全部解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞)．(2)由区间的定义可知3a－1＞a，即a＞eq\f(1,2).]类型4集合与方程的综合问题【例4】(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝()A．1 B．2C．0 D．0或1(2)设eq\f(1,2)∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax－\f(5,2)＝0))))，则集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(19,2)x－a＝0))))中全部元素之积为________．(1)D(2)eq\f(9,2)[(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－eq\f(1,2)，符合题意；当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．(2)因为eq\f(1,2)∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax－\f(5,2)＝0))))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2)a－eq\f(5,2)＝0，解得a＝－eq\f(9,2).当a＝－eq\f(9,2)时，方程x2－eq\f(19,2)x＋eq\f(9,2)＝0的判别式Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,2)))eq\s\up12(2)－4×eq\f(9,2)＝eq\f(289,4)＞0，由x2－eq\f(19,2)x＋eq\f(9,2)＝0，解得x1＝eq\f(1,2)，x2＝9，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(19,2)x＋\f(9,2)＝0))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，9))，故集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(19,2)x＋\f(9,2)＝0))))的全部元素的积为eq\f(1,2)×9＝eq\f(9,2).][变条件]若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，求a的取值范围．[解]A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题解析可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a＞0，即a＜1且a≠0.所以A中至少有一个元素时，a的取值范围为(－∞集合与方程综合问题的解题策略(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，则方程无解；若Δ＞0，则方程有两个不等的实数根．(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数(含参数)的取值进行分类探讨，确定方程实数根的状况，进而求得结果．需特殊留意判别式在一元二次方程的实数根个数的探讨中的作用．1．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为()A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}D[解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或x＝2，故集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．]2．已知M＝{x|x－1＜eq\r(2)}，那么()A．2∈M，－2∈M B．2∈M，－2∉MC．2∉M，－2∉M D．2∉M，－2∈MA[若x＝2，则x－1＝1＜eq\r(2)，所以2∈M；若x＝－2，则x－1＝－3＜eq\r(2)，所以－2∈M.故选A．]3．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3C．5 D．9C[x－y∈{－2，－1,0,1,2}．]4．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的全部点组成的集合D．函数y＝2x－1图像上的全部点组成的集合D[集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满意的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满意关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D．]5．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2<x≤4}＝________.[答案](1)[1，＋∞)(2)(2,4]回顾本节学问，自我完成以下问题：1．∅与{0}有什么区分？[提示](1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合．2．在用列举法表示集合时应留意什么问题？[提示](1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无依次；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简洁；若集合中的元素较多或无限，但出现肯定的规律性，在不发生误会的状况下，也可以用列举法表示．3．在用描述法表示集合时应留意什么问题？[提示](1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．4．关于无穷大的两点留意事项是什么？[提示](1)∞是一个符号，而不是一个数；(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端点时，这一端必需用小括号．以实际问题为背景的集合问题幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验每年，家有即将幼升小的家长们，最关切的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，所在