专项03 二次函数中的运动问题

专项03二次函数中的运动问题类型一点动问题1.(2023吉林长春绿园模拟)如图，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为(-1，0).(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点M(a，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求a的值.2.(2023山东枣庄峄城期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(3，0)、B(-1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，其顶点为D，连结AC.(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标.3.(2023山东聊城中考)如图1，抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A(-3，0)，B(6，0)，与y轴交于点C，连结AC，BC.点P是x轴上任意一点.(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形，求点Q的坐标；(3)如图2，当点P(m，0)从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，过点P分别作PE∥BC，交AC于点E，PD⊥BC，垂足为点D，连结ED.当m为何值时，△PED的面积最大?并求出最大值.类型二线动问题4.(2023吉林长春绿园新解放学校模拟)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx经过点(2，4)和(6，0)，点P在抛物线上，且点P的横坐标为m.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当-1≤x≤n时，-72≤y≤92，则n的取值范围是(3)点M的横坐标为-3m，且PM∥x轴，将线段PM绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，以PM、PQ为邻边作正方形PMNQ.①当抛物线的对称轴平分正方形PMNQ的面积时，求m的值；②设正方形PMNQ的对称中心为点R，当点R位于抛物线对称轴的左侧，且点R到抛物线对称轴的距离与点R到x轴的距离相等时，直接写出m的值.5.(2023湖南衡阳中考)如图，已知抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1，0)和点B，与y轴交于点C，连结AC，过B、C两点作直线.(1)求a的值；(2)将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度，交抛物线于B'、C'两点，在直线B'C'上方的抛物线上是否存在定点D，使无论m取何值，都是点D到直线B'C'的距离最大?若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；(3)抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO=45°?若存在，请求出直线BP的解析式，若不存在，请说明理由. 类型三形动问题6.(2023吉林松原前郭南部学区模拟)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-6ax+c与x轴交于点A和点B(5，0)(点A在点B左侧)，与y轴交于点C0,−5(1)求抛物线的解析式；(2)D为抛物线的顶点，点P在抛物线的对称轴上(不与点D重合)，将线段PD绕点P按顺时针方向旋转90°，点D恰好落在抛物线上的点Q处，求点Q的坐标；(3)如图2，将抛物线在x轴下方部分的图象沿x轴翻折到x轴上方，与原抛物线在x轴上方的部分图象组成新图象，再将新图象向左平移m个单位长度，若平移后的图象在-1≤x<0范围内，y随x的增大而增大，直接写出m的取值范围.7.(2023山东东营中考)如图，抛物线过点O(0，0)，E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上.设B(t，0)，当t=2时，BC=4.(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离.

专项03二次函数中的运动问题答案全解全析1.解析(1)∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，∴-b2=2∴b=-4，∴y=x2-4x+c，∵抛物线y=x2-4x+c经过点A(-1，0)，∴0=1+4+c，∴c=-5，∴抛物线的解析式为y=x2-4x-5，∵y=x2-4x-5=(x-2)2-9，∴抛物线的顶点D的坐标为(2，-9).(2)如图，作点C关于x轴的对称点C'，连结C'D交x轴于点M，连结CM，此时CM+DM的值最小，令x=0，则y=-5，∴点C的坐标为(0，-5)，∴点C'的坐标为(0，5)，设直线C'D的解析式为y=mx+n(m≠0)，∴n=5,2m+n=−9,解得m=−7,n=5,∴直线C'D的解析式为y=-7x+5，令y=0，则-7x+5=0，解得x=57，即直线C'D与x轴的交点M的坐标为572.解析(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(3，0)，B(-1，0)，C(0，3)，∴9a+3b+c=0,a−b+c=0,c=3,解得-x2+2x+3，∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴顶点D的坐标为(1，4).(2)设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，把A(3，0)，C(0，3)代入得3k+b=0,b=3,∴k=−1,b=3,∴直线AC的解析式为y=-x+3，如图，过点F作FG⊥DE于点G，∵以A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形是平行四边形，∴AC=EF，AC∥EF，∵OA∥FG，∴∠OAC=∠GFE，∴△OAC≌△GFE，∴FG=OA=3，设F(m，-m2+2m+3)，则G(1，-m2+2m+3)，∴FG=|m-1|=3，∴m=-2或m=4，当m=-2时，-m2+2m+3=-5，∴F1(-2，-5)，当m=4时，-m-5，∴F2(4，-5).综上所述，满足条件的点F的坐标为(-2，-5)或(4，-5).3.解析(1)结合题意设抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-6)，∴-9=a·3×(-6)，∴a=12，∴y=12(x+3)(x-6)=12x2(2)如图，抛物线的对称轴为直线x=-3+62=32，由对称性可得点C(0，-9)关于对称轴对称的点Q1的坐标为(3，-9)，当y=9时，即12x2-32x-9=9，解得x=3±3172，∴Q23−3172,9，Q33+3172,9，综上所述(3)设△PED的面积为S，由题意得AP=m+3，BP=6-m，OB=6，OC=9，AB=9，∴BC=62+92=313，∵sin∠PBD=PDBP=OCBC，∴PD6−m=9313，∴PD=3(6−m)13，∵PE∥BC，∴△APE∽△ABC，∠EPD=∠PDB=90°，∴PEBC=APAB，∴PE313=m+39，∴PE=13(m+3)3，∴S△PED=12PE·PD=12(m+3)(6-m)=-4.解析(1)将点(2，4)和(6，0)代入y=ax2+bx得4a+2b=4,36a+6b=0,解得a=−12,b=3,(2)y=-12x2+3x=-12(x-3)2+92，对称轴为直线x=3，顶点为3,92，令y=-72，解得x1=-1，∵当-1≤x≤n时，-72≤y≤92(3)①如图，∵抛物线的对称轴平分正方形PMNQ的面积，平分正方形的面积的直线要过它的对称中心，且PM∥x轴，∴对称轴即直线x=3是线段PM的垂直平分线，∵点P的横坐标为m，点M的横坐标为-3m，∴m−3m2=3，解得m=-3，②如图，∵点P的横坐标为m，点M的横坐标为-3m，∴R的横坐标是m−3m2=-m，∵点R位于抛物线对称轴的左侧，对称轴为直线x=3，∴-m<3，即m>-3，∵点P在抛物线上，∴设Pm,−12m2+3m，∴M-3m，-12m2+3m，∵线段PM绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ-12m2+3m+(-3m-m)，即Qm，-12m2-m，易知R是MQ的中点，∴R-m，-12m2+m，∴点R到抛物线对称轴的距离为3-(-m)=3+m，点R到x轴的距离为-12m2+m，∵点R到抛物线对称轴的距离与点R到x轴的距离相等，∴3+m=-12m2+m，解得m1=2+10，5.解析(1)∵抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1，0)，∴a+2a+3=0，∴a=-1.(2)存在定点D，使无论m取何值，都是点D到直线B'C'的距离最大.理由如下：∵y=-x2+2x+3，当x=0时，y=3，∴C(0，3)，当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，∴B(3，0)，设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，则3k+b=0,b=3,解得k=−1,b=3,∴直线BC的解析式为y=-x+3，∵将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度，交抛物线于B'、C'两点，∴直线B'C'的解析式为y=-x+3-m，设D(t，-t2+2t+3)，过点D作DE∥y轴，交B'C'于点E，作DF⊥B'C'于点F，设直线B'C'交y轴于点G，∴E(t，-t+3-m)，∴DE=-t2+2t+3-(-t+3-m)=-t2+3t+m，∵OB=OC=3，∠BOC=90°，∴∠BCO=∠CBO=45°，∵B'C'∥BC，∴∠B'GO=∠BCO=45°，∵DE∥y轴，∴∠DEF=∠B'GO=45°，∵∠DFE=90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF=22DE=22(-t2+3t+m)=-22t−322+2294+m，∵-22<0，(3)存在，直线BP的解析式为y=-13x+1或y=-3x+9.分情况求解如下①当∠PBC在直线BC的下方时，在y轴正半轴上取点M(0，1)，连结BM并延长交抛物线于点P，如图1，∵A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，M(0，1)，∴OB=OC=3，OM=OA=1，∠BOM=∠COA=90°，∴△BOM≌△COA，∴∠MBO=∠ACO，∵∠CBO=45°，∴∠PBC+∠MBO=45°，∴∠PBC+∠ACO=45°，设直线BM的解析式为y=k'x+b'(k'≠0)，则3k'+b'=0,b'=1,解得k'=−13,b'=1,∴直线BM的解析式为y=-13x+1，联立y=−13②当∠PBC在直线BC的上方时，作点M关于直线BC的对称点M'，如图2，连结MM'，CM'，直线BM'交抛物线于P，由对称得∠PBC=∠MBC，MM'⊥BC，CM'=CM=2，∠BCM'=∠BCM=45°，∴∠PBC+∠ACO=∠MBC+∠OBM=45°，∠MCM'=90°，∴M'(2，3)，则直线BM'的解析式为y=-3x+9，联立y=−3x+9,y=−x2+2x+3,解得x1=3,综上所述，抛物线上存在点P，使∠PBC+∠ACO=45°，直线BP的解析式为y=-136.解析(1)将点B(5，0)、C0,−54分别代入抛物线y=ax2-6ax+c，得0=25a−30a+c,-54=c,解得a=−14,(2)∵y=-14x2+32x-54=-14(x-3)2+1，∴D(3，1).设点P(3，m)，∵PQ=PD=1-m，∴Q(3+1-m，m)，即Q(4-m，m)，将其代入抛物线解析式，得m=-14(4-m)2+32(4-m)-54，整理得m2+2m-3=0，∴(m-1)(m+3)=0，∴m=1或-3，∴P(3，1)或P(3，(3)2≤m≤3或m≥6.详解：∵当y=0时，x=1或5，∴A(1，0).根据题图2的图象可知，在AD段和点B的右侧，y随x的增大而增大.新图象向左平移m个单位后，A(1-m，0)，B(5-m，0)，D(3-m，1).平移后的图象在-1≤x<0范围内，y随x的增大而增大，当AD段平移到1≤x<0范围内时，1-m≤-1，3-m≥0，∴2≤m≤3.当B点右侧平移到-1≤x<0范围内时，5-m≤-1，即m≥6，∴2≤m≤3或m≥6.7.解析(1)设抛物线解析式为y=ax(x-10)，∵当t=2时，BC=4，∴点C的坐标为(2，-4)，∴将点C坐标代入解析式得2a(2-10)=-4，解得a=1