2025届高考数学二轮考前复习第一篇解透必考小题稳拿分必须突破的17个热点专题专题16双曲线学案文含解析

PAGE专题16双曲线1.双曲线中的常用规律(1)特别三角形①以实轴端点、虚轴端点、原点为顶点的三角形,边长分别为a,b,c;②以焦点及双曲线上一点为顶点的三角形满意定义式;③以焦点及渐近线上一点为顶点的三角形,中线为原点与渐近线上顶点的连线,可以与向量平行四边形加法法则相结合进行解题.(2)作焦点到渐近线的垂线,与原点形成直角三角形:①焦点到渐近线的垂线长度为b;②直角三角形三边长分别为a,b,c;③以原点为顶点的锐角的正切值为渐近线斜率的肯定值.2.等轴双曲线实轴与虚轴长度相等的双曲线为等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率为e=QUOTE.1.双曲线标准方程的设法(1)若已知双曲线过两点,焦点位置不能确定,可设方程为mx2+ny2=1.(mn<0).(2)当已知双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为b2x2-a2y2=λ(λ≠0).(3)与双曲线QUOTE-QUOTE=1有相同的渐近线的双曲线方程可设为QUOTE-QUOTE=λQUOTE.2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程,只须要将双曲线的标准方程中的“1”改为“0”即可.1.双曲线渐近线夹角有两种状况,简单遗漏状况【案例】T6.因为两条渐近线夹角为60°,所以其中一条渐近线的倾斜角为30°或60°,QUOTE=QUOTE或QUOTE=QUOTE,2.当双曲线与椭圆综合考查时,简单混淆双曲线中的a,b,c与椭圆中的a,b,c【案例】T3.椭圆中a,b,c满意a2=b2+c2,而双曲线中a,b,c满意a2=c2-b2.3.简单忽视双曲线离心率的取值范围为e∈QUOTE【案例】T7.当点A不在线段FF′上时,在△AFF′中,QUOTE,所以a<c<2a,所以e=QUOTE∈(1,2).双曲线离心率的取值范围不能遗漏.考向一求双曲线的离心率【典例】(2024·全国Ⅲ卷)设双曲线C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=QUOTEx,则C的离心率为________.

考向二双曲线中的最值问题【典例】(2024·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:QUOTE-QUOTE=1QUOTE的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4 B.8 C.16 D.321.双曲线x2-4y2=4的焦点坐标为()A.(±QUOTE,0) B.(0,±QUOTE)C.(0,±QUOTE) D.(±QUOTE,0)2.已知双曲线C:QUOTE-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,射线x=QUOTE(y≥0)与双曲线C的渐近线交于点P,与双曲线C交于点Q,则△F1PQ的面积为()A.QUOTE B.QUOTEC.5+QUOTE D.5-QUOTE3.与椭圆C:QUOTE+QUOTE=1共焦点且过点QUOTE的双曲线的标准方程为()A.x2-QUOTE=1 B.y2-2x2=1C.QUOTE-QUOTE=1 D.QUOTE-x2=14.已知三个数1,a,9成等比数列,则圆锥曲线QUOTE+QUOTE=1的离心率为()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE或QUOTE D.QUOTE或QUOTE5.已知F1,F2是双曲线C:x2-QUOTE=1(b>0)的两个焦点,P是双曲线C左支上的一点,且PF1⊥PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点.若点N恰好平分线段PF2,则双曲线C的焦距为()A.2QUOTE B.2QUOTE C.2QUOTE D.46.已知双曲线C:QUOTE-QUOTE=1QUOTE的实轴长为4,且两条渐近线夹角为60°,则该双曲线的焦距为()A.QUOTE B.8C.4或QUOTE D.8或QUOTE7.已知双曲线C:QUOTE-QUOTE=1QUOTE的右焦点为F,过原点的直线l交双曲线C于A,B两点,且QUOTE=3QUOTE,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE8.设双曲线QUOTE-QUOTE=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则QUOTE+QUOTE的最小值为()A.10 B.11 C.12 D.139.已知F1,F2是双曲线QUOTE-QUOTE=1QUOTE的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右支分别交于点A,B,若BF1=6a,∠F1BF2=60°,则QUOTE∶QUOTE=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE10.已知双曲线C:QUOTE-QUOTE=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线与直线4x+3y=0垂直,点M在C上,且QUOTE=6,则QUOTE=()A.2或14B.2C.14D.2或10专题16双曲线///真题再研析·提升审题力///考向一【解析】由双曲线方程QUOTE-QUOTE=1可得其焦点在x轴上,因为其一条渐近线为y=QUOTEx,所以QUOTE=QUOTE,e=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE考向二B双曲线C:QUOTE-QUOTE=1QUOTE的两条渐近线方程为y=±QUOTEx,将x=a与双曲线渐近线方程联立,令D和E坐标分别为D(a,b),E(a,-b),所以△ODE的面积为ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2QUOTE时,等号成立,所以c≥4,则焦距2c的最小值为8.///高考演兵场·检验考试力///1.D双曲线x2-4y2=4,标准方程为:QUOTE-y2=1,可得a=2,b=1,c=QUOTE,所以双曲线的焦点坐标为(±QUOTE,0).2.B由题可得a=2,b=1,c=QUOTE,渐近线方程为y=±QUOTEx,射线x=QUOTE(y≥0)过点F2且垂直于x轴,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以|PQ|=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE×QUOTE×2QUOTE=QUOTE.3.C设双曲线的方程为QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0),依据题意得QUOTE解得a2=b2=2,所以该双曲线的标准方程为QUOTE-QUOTE=1.4.D因为三个数1,a,9成等比数列,所以a2=9,则a=±3.当a=3时,曲线方程为QUOTE+QUOTE=1,表示椭圆,则长半轴长为QUOTE,半焦距为1,离心率为QUOTE;当a=-3时,曲线方程为QUOTE-QUOTE=1,实半轴长为QUOTE,半焦距为QUOTE,离心率为QUOTE=QUOTE.5.C不妨取渐近线方程为y=bx,N是PF2中点,故NO∥PF1,故NO⊥PF2,又OF2=c,故ON=a=1,PF1=2ON=2,PF2=PF1+2a=4,依据勾股定理:4c2=22+42,故c=QUOTE,故焦距为2QUOTE.6.D令QUOTE-QUOTE=0,则QUOTE=QUOTE,y=±QUOTEx,故双曲线C:QUOTE-QUOTE=1的渐近线方程为y=±QUOTEx,因为两条渐近线夹角为60°,所以其中一条渐近线的倾斜角为30°或60°,QUOTE=QUOTE或QUOTE=QUOTE,因为实轴长为4,所以a=2,当QUOTE=QUOTE时,b=QUOTE,c=QUOTE=QUOTE=QUOTE,焦距2c=QUOTE;当QUOTE=QUOTE时,b=2QUOTE,c=QUOTE=QUOTE=4,焦距2c=8,综上所述,该双曲线的焦距为8或QUOTE.7.A因为直线AB和双曲线C都关于原点对称,所以A,B也关于原点对称,设F′为左焦点,则F,F′关于原点对称,所以|BF|=QUOTE,因为|BF|=3|AF|,所以QUOTE=3|AF|,所以QUOTE-|AF|=2|AF|=2a,所以|AF|=a,QUOTE=3a,①当点A不在线段FF′上时,在△AFF′中,QUOTE,所以a<c<2a,所以e=QUOTE∈(1,2).②当点A在线段FF′上时,QUOTE+|AF|=|FF′|,所以4a=2c,所以e=QUOTE=2.综上所述,e∈(1,2].8.B由QUOTE-QUOTE=1得:a=2,b=QUOTE,由双曲线定义可知:QUOTE-QUOTE=2a=4;QUOTE-QUOTE=2a=4,所以QUOTE+QUOTE=4+QUOTE+4+QUOTE=8+QUOTE,又QUOTE为双曲线的焦点弦,所以QUOTE最小时,AB为通径,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=3,所以QUOTE=8+3=11.9.B依据双曲线的定义可知QUOTE=4a,设QUOTE=x,则QUOTE=6a-x,QUOTE-QUOTE=2a,所以QUOTE=8a-x,所以在△AF2B中,QUOTE