2024-2025学年高中数学第一章数列3.2第1课时等比数列的前n项和跟踪训练含解析北师大版必修5

PAGE第一章数列§3等比数列3.2等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和[A组学业达标]1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋t(t是实常数)，下列结论正确的是()A．t为随意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t＝－1时，{an}是等比数列C．当且仅当t＝0时，{an}是等比数列D．当且仅当t＝－2时，{an}是等比数列解析：∵数列{an}的前n项和Sn＝2n＋t(t为常数)，∴a1＝S1＝2＋t，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋t－(2n－1＋t)＝2n－2n－1＝2n－1.当t＝－1时，a1＝1满意an＝2n－1.故选B.答案：B2．等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3A．28 B．48C．36 D．52解析：由等比数列{an}的性质可得：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍旧成等比数列，∴(12－4)2＝4×(S3m－12)，解得S3m＝28.故选A.答案：A3．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝()A.eq\f(11,8) B.eq\f(19,16)C.eq\f(9,8) D.eq\f(3,4)解析：eq\f(a2＋a3＋a4,a1＋a2＋a3)＝eq\f(a2（1＋q＋q2）,a1（1＋q＋q2）)＝eq\f(a2,a1)＝q＝－eq\f(1,2).又a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2＝6，∴a1＝8.∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝S7－a1－a2＝eq\f(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(7))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))－8－(－4)＝eq\f(11,8).故选A.答案：A4．已知数列{an}满意3an＋1＋an＝0，a2＝－eq\f(4,3)，则{an}的前10项和等于()A．－6(1－3－10) B.eq\f(1,9)(1－310)C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)解析：由3an＋1＋an＝0，得eq\f(an＋1,an)＝－eq\f(1,3)，故数列{an}是公比q＝－eq\f(1,3)的等比数列．又a2＝－eq\f(4,3)，可得a1＝4.所以S10＝eq\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))\s\up12(10))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝3(1－3－10)，故选C.答案：C5．一只蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，假如这个找伙伴的过程接着下去，第6天全部的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂()A．55986只 B．46656只C．216只 D．36只解析：a1＝(1＋5)1，a2＝(1＋5)2，…，a6＝(1＋5)6＝46656.答案：B6．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________．解析：因为a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且数列{an}是递增的等比数列，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以S6＝eq\f(1－26,1－2)＝63.答案：637．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．解析：因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1.所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n－n＝eq\f(2（1－2n）,1－2)－n＝2n＋1－n－2.答案：2n＋1－n－28．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公细致算相还”，其意思为“有一个人走378里路，第一天健步行走，从其次天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则其次天走了________．解析：设他第一天走a1里，由题意{an}是公比为eq\f(1,2)的等比数列．由等比数列前n项和公式得S6＝eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，∴a2＝192×eq\f(1,2)＝96.答案：96里9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.解析：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，从而q＝－eq\f(1,2).(2)由已知可得a1－a1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝3，故a1＝4.从而Sn＝eq\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(8,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n))).10．(2024·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.解析：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝eq\f(1－（－2）n,3).由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.[B组实力提升]11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则eq\f(S4,S2)＝()A．－11 B．－8C．5 D．11解析：∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.又数列是等比数列，首项不为0，∴8q＋q4＝0，又q不为零，故有q＝－2.∴eq\f(S4,S2)＝eq\f(\f(a1（1－q4）,1－q),\f(a1（1－q2）,1－q))＝1＋q2＝1＋(－2)2＝5.故选C.答案：C12．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层究竟层按公比为2的等比数列递增)．依据此诗，可以得出塔的第三层和第五层共有()A．48盏灯 B．60盏灯C．64盏灯 D．72盏灯解析：设顶层有a1盏灯，则{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列，由题意得S7＝eq\f(a1（1－27）,1－2)＝381，解得a1＝3，∴塔的第三层和第五层共有a3＋a5＝3×22＋3×24＝60盏灯．故选B.答案：B13．若等比数列{an}满意a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则数列{an}的前n项和Sn＝________．解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴a3＋a5＝40＝q(a2＋a4)＝20q，解得q＝2，∴20＝a2＋a4＝a1(2＋23)，解得a1＝2.则数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(2（2n－1）,2－1)＝2n＋1－2.答案：2n＋1－214．(2024·大连市模拟)等比数列{an}的前n项和记为Sn，若eq\f(S2n,Sn)＝3，则eq\f(S3n,S2n)＝________．解析：由等比数列的前n项求和公式可知：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，当eq\f(S2n,Sn)＝3时，有S2n＝3Sn.①因为Sn·(S3n－S2n)＝(S2n－Sn)·(S2n－Sn)，所以Sn·(S3n－3Sn)＝(3Sn－Sn)·(3Sn－Sn)，即得S3n＝7Sn.②由①②得eq\f(S3n,S2n)＝eq\f(7Sn,3Sn)＝eq\f(7,3).答案：eq\f(7,3)15．已知等比数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，公比q＝eq\f(1,3).(1)Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝eq\f(1－an,2).(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{b解析：(1)证明：因为an＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n－1)＝eq\f(1,3n)，Sn＝eq\f(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))),1－\f(1,3))＝eq\f(1－\f(1,3n),2)，所以Sn＝eq\f(1－an,2).(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－eq\f(n（n＋1）,2).所以{bn}的通项公式为bn＝－eq\f(n（n＋1）,2).16．已知{an}为等差数列，且a2＝－8，a6＝0.(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满意b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项