2025届高考数学二轮考前复习第一篇解透必考小题稳拿分必须突破的17个热点专题专题12直线与平面的位置关系学案文含解析

PAGE专题12直线与平面的位置关系1.证明线面平行与线线平行(1)证明线面平行,通常用判定定理:因为l∥a,a⊂α,l⊄α,所以l∥α.(2)证明线线平行,通常用性质定理:因为l∥α,l⊂β,α∩β=b,所以l∥b,关键是找到与α相交且包含l的平面β.2.证明线面垂直的思维流程(1)找相交直线:在一个平面内找到两条相交直线;(2)证线线垂直:证明平面外的直线与这两条相交直线都垂直;(3)证线面垂直:利用直线与平面垂直的判定定理证得线面垂直.1.异面直线的判定方法平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2.异面直线所成角的求法通过平移直线,把异面问题转化为相交直线的夹角,一般有3种类型:(1)利用图形中已有的平行线平移;(2)利用特别点(线段的端点或中点)作平行线平移;(3)补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.3.证明线面平行的常用方法(1)构造平行四边形,证得线线平行,进而证得线面平行.(2)构造三角形中位线,证得线线平行,进而证得线面平行.(3)在同一个面中找到两条平行直线,证得线线平行,进而证得线面平行.1.推断直线与平面的位置关系时,简单考虑不全面.【案例】T3若m∥α,n∥α,则m与n可以平行、相交、异面,故①错误.2.简单忽视线在面内的状况.【案例】T2在A中,若a⊥b,a⊥α,则b∥α或b⊂α,故A错误.3.通过平移异面直线构成三角形求异面直线所成角时,简单忽视补角的状况.【案例】T4①构成三角形后.若通过解三角形得到内角的余弦值为负值时,要取补角.考向一直线与平面的位置关系【典例】(2024·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题:p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2:过空间中随意三点有且仅有一个平面.p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.p4:若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.则下述命题中全部真命题的序号是__________.

①p1∧p4 ②p1∧p2③p2∨p3 ④p3∨p4考向二空间中垂直关系【典例】(2024·全国Ⅲ卷)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则 ()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线1.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1∠BAD=60°,M是BB1的中点,则异面直线A1M与B1A.-QUOTE B.-QUOTEC.QUOTE D.QUOTE2.设a,b是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列四个命题中正确的是 ()A.若a⊥b,a⊥α,则b∥αB.若a∥α,α⊥β,则a⊥βC.若a⊥β,α⊥β,则a∥αD.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列四个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若n⊥α,m⊥β,m∥n,则α∥β;③若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m∥n;④若α∥β,m⊂α,m⊥n,则n⊥β.其中,正确的命题个数是 ()A.3 B.2 C.1 D.04.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中底面边长、侧棱长都是4,E,F分别是A1C①AE与C1F所成的角的余弦值为QUOTE;②C1F③三棱锥E-ABC的体积为QUOTE;④AB垂直于EC.A.①②③ B.②③④C.①③④ D.①②④5.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,F是侧面CDD1C1上的动点,且B1F∥平面A1BE,则F在侧面CDDA.a B.QUOTE C.QUOTEa D.QUOTE6.如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,C为圆上异于A,B的随意一点,AE⊥PC垂足为E,点F是PB上一点,则下列推断中不正确的是 ()A.BC⊥平面PAC B.AE⊥EFC.AC⊥PB D.平面AEF⊥平面PBC专题12直线与平面的位置关系///真题再研析·提升审题力///考向一【解析】对于命题p1,可设l1与l2相交,这两条直线确定的平面为α;若l3与l1相交,则交点A在平面α内,同理,l3与l2的交点B也在平面α内,所以,AB⊂平面α,即l3⊂平面α,命题p1为真命题;对于命题p2,若三点共线,则过这三个点的平面有多数个,命题p2为假命题;对于命题p3,空间中两条直线相交、平行或异面,命题p3为假命题;对于命题p4,若直线m⊥平面α,则m垂直于平面α内全部直线,因为直线l⊂平面α,所以直线m⊥直线l,命题p4为真命题.综上可知,p1∧p4为真命题,p1∧p2为假命题,p2∨p3为真命题,p3∨p4为真命题.答案:①③④考向二B因为直线BM,EN都是平面BED内的直线,且不平行,即直线BM,EN是相交直线.设正方形ABCD的边长为2a,则由题意可得:DE=2a,DM=a,DN=QUOTEa,DB=2QUOTEa,依据余弦定理可得:BM2=DB2+DM2-2DB·DMcos∠BDE=9a2-4QUOTEa2EN2=DE2+DN2-2DE·DNcos∠BDE=6a2-4QUOTEa2cos∠BDE,所以BM≠EN.///高考演兵场·检验考试力///1.D由题意可得=+=-QUOTE,==QUOTE,=-,==2QUOTE,cos<,>====QUOTE=QUOTE.2.D由a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,得:在A中,若a⊥b,a⊥α,则b∥α或b⊂α,故A错误;在B中,若a∥α,β⊥α,则a也可能在β内,故B错误;在C中,若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α,故C错误;在D中,若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则β⊥α成立,故D正确.3.C若m∥α,n∥α,则m与n可以平行、相交、异面,故①错误;若n⊥α,m⊥β,m∥n,则α∥β,故②正确;若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m与n可以平行、相交、异面,故③错误;若α∥β,m⊂α,m⊥n,则n与β可以平行、相交或n⊂β,故④错误,所以正确的命题个数是1.4.A取AC的中点G,连接GC1,GF,则AE平行于GC1.在三角形GFC1中,GC1=FC1=QUOTE=2QUOTE.由余弦定理得cos∠GC1F=QUOTE=QUOTE,所以①正确.取AB的中点H,连接EH,FH,则EC1平行且等于HF,所以四边形HFC1E为平行四边形,所以C1F∥又C1F不在平面ABE内,EH⊂平面ABE,所以C1F∥平面ABE,所以三棱锥E-ABC的体积V=QUOTESh=QUOTE×4=QUOTE,所以③正确.假设AB垂直于EC,又因为AB垂直于A1A,EC,AA1都在平面ACC1A1内且EC与AA1相交,所以AB垂直于侧面ACC1A1,所以AB垂直于AC,这与∠BAC等于60°5.D设G,H,I分别为CD,CC1,C1D1边上的中点,则A1,B,E,G四点共面,且平面A1BGE∥平面B1HI,又因为B1F∥平面A1因为正方体ABCD-A1B1C1D1所以HI=QUOTECD1=QUOTEa,即F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是QUOTEa.6.C对于A,PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,而BC在底面圆面内,则PA⊥BC,又由圆的性质可知AC⊥BC,且PA∩AC=A,则BC⊥平面PAC,所以A正确;对于B,由