第五章 圆 综合检测

第五章圆综合检测满分100分，限时60分钟一、选择题(每小题4分，共32分)1.(2022贵州六盘水中考)如图所示的是“光盘行动”的宣传海报，图中筷子和餐盘可看成直线和圆，则其位置关系是()A.相切 B.相交 C.相离 D.平行2.(2022山东济宁泗水期中)小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是()A.① B.② C.③ D.均不可能3.(2023湖南岳阳中考)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸.欲为方版，令厚七寸，问广几何?”结合下图，其大意是今有圆形材料，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是()A.674寸 B.25寸 C.24寸 D.7寸4.(2022山东烟台模拟)如图，已知BC是☉O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E.若AD的度数为28°，则∠CBD的度数为()A.14° B.28° C.31° D.62°5.(2023四川眉山中考)如图，AB切☉O于点B，连接OA交☉O于点C，BD∥OA交☉O于点D，连接CD，若∠OCD=25°，则∠A的度数为()A.25° B.35° C.40° D.45°6.(2023山西中考)中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.下图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧)，高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径OA=1.5km，则这段圆曲线AB的长为() A.π4km B.π2km C.3π4km 7.(2022山东威海乳山模拟)如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD=3，∠DBC=15°，∠BDC=30°，则点A到BD的距离是()A.32 B.322 C.23 第7题图 第8题图8.(2022山东淄博沂源一模)如图，PA，PB切☉O于A，B两点，CD切☉O于点E，交PA，PB于C，D.若☉O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是()A.51312 B.125 C.3二、填空题(每小题4分，共20分)9.(2023山东菏泽中考)如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为(结果保留π).

10.(2023浙江嘉兴、舟山中考)如图，点A是☉O外一点，AB，AC分别与☉O相切于点B，C，点D在优弧BC上.已知∠A=50°，则∠D的度数是.

11.(2021山东济南莱芜三模)一个圆锥的侧面积是底面积的5倍，把它的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的圆心角度数是.

12.如图，AC是☉O的弦，点C是AB的中点，连接OC交AB于D，若sin∠OAD=513，CD=8，则AB的长度为 第12题图 第13题图13.(2020广西玉林中考)如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F'处，此时边AD'与对角线AC重合，则图中阴影部分的面积是.

三、解答题(共48分)14.[含评分细则](2022福建中考)(8分)如图，△ABC内接于☉O，AD∥BC交☉O于点D，DF∥AB交BC于点E，交☉O于点F，连接AF，CF.(1)求证：AC=AF；(2)若☉O的半径为3，∠CAF=30°，求AC的长(结果保留π).15.[含评分细则](2023湖南怀化中考节选)(8分)如图，AB是☉O的直径，点P是☉O外一点，PA与☉O相切于点A，点C为☉O上的一点.连接PC，AC，OC，且PC=PA.(1)求证：PC为☉O的切线；(2)延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD·OC=PA·OD.16.[含评分细则](2023天津中考)(10分)在☉O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC=60°，E为弦AB所对的优弧上一点.(1)如图1，求∠AOB和∠CEB的大小；(2)如图2，CE与AB相交于点F，EF=EB，过点E作☉O的切线，与CO的延长线相交于点G.若OA=3，求EG的长. 图1 图217.[含评分细则](2023山东烟台模拟)(10分)如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的一点，以CD为直径的☉O交BC于E，连接AE交CD于P，交☉O于F，连接DF，∠BAC=∠DFE.(1)求证：AB是☉O的切线；(2)若PCAP=23，AF=318.[含评分细则](2023浙江宁波中考)(12分)如图1，锐角△ABC内接于☉O，D为BC的中点，连接AD并延长交☉O于点E，连接BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连接BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG=∠AFC.(1)求∠BGC的度数.(2)①求证：AF=BC；②若AG=DF，求tan∠GBC的值.(3)当点O恰好在BG上且OG=1时，如图2，求AC的长.

第五章圆综合检测答案全解全析1.B根据直线与圆的位置关系可得，其位置关系是相交，故选B.2.A第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径.故选A.3.C由题意知BD为圆的直径，∴∠BCD=90°.在Rt△BCD中，BD=25寸，CD=7寸，由勾股定理得BC=BD2-C故选C.4.C∵OA⊥BC，∴∠AOC=90°.∵AD的度数为28°，∴∠AOD=28°.∴∠COD=∠AOC-∠AOD=62°.∵∠COD=2∠CBD，∴∠CBD=31°.故选C.5.C如图，连接OB.∵AB切☉O于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°.∵BD∥OA，∴∠D=∠OCD=25°.∴∠O=2∠D=50°.∴∠A=90°-∠O=40°.故选C.6.B∵过点A，B的两条切线相交于点C，∴∠OAC=∠OBC=90°.∴A，O，B，C四点共圆，∴∠AOB=∠α=60°.∴圆曲线AB的长为60π·1.5180=π7.B∵AB=AC=AD=3，∴点B，C，D在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴∠BAC=2∠BDC=60°，∠DAC=2∠DBC=30°，∴∠BAD=90°，∴△BAD是等腰直角三角形，∴点A到BD的距离等于BD长的一半，∵AB=AD=3，∴BD=32，∴点A到BD的距离为328.B如图，连接OA，OB，OP，延长BO交PA的延长线于点F.∵PA，PB切☉O于A，B两点，CD切☉O于点E，∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB.∴△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB.又△PCD的周长=3r，∴PA=PB=32在△OAF和△PBF中，∠FAO=∠FBP，∠OFA=∠PFB，∴△OAF∽△PBF.∴AFBF=AO又AOBP=r32r=2在Rt△FBP中，PF2-PB2=BF2，即32r+23BF2-3∴tan∠APB=BFPB=185r9.答案6π解析由题意得，∠HAB=(8-2)×180°8=135°，AH=AB=4，∴S阴影部分=135π×10.答案65°解析如图，连接OC，OB.∵AB，AC分别与☉O相切于点B，C，∴∠ABO=∠ACO=90°.∵∠A=50°，∴∠COB=360°-∠A-∠ACO-∠ABO=130°.∴∠D=1211.答案72°解析设母线长为a，底面半径为r，则底面周长=2πr，底面积=πr2，侧面积=πar.∵侧面积是底面积的5倍，∴πar=5πr2，∴a=5r.设侧面展开图的圆心角为n°，则nπa18012.答案24解析∵点C是AB的中点，∴OC⊥AB，AB=2AD.∵sin∠OAD=ODOA=513，∴设OD=5m∵OC=OD+DC，∴13m=5m+8，∴m=1.∴OD=5，AO=13，∴AD=AO∴AB=2AD=24.13.答案3π解析∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF=∠B=∠BCD=120°，AB=BC，∴∠BAC=∠BCA=30°.∴∠ACD=90°.由正六边形的对称性可知∠BAD=12∠BAF=60°，∵CD=3，∴AD=2CD=6.∵S阴影=S四边形ADEF+S扇形DAD'-S四边形AD'E'F'，由题意知S四边形ADEF=S四边形AD'E'F'，∴S阴影=S扇形DAD'=30π×614.解析(1)证明：∵AD∥BC，DF∥AB，∴四边形ABED是平行四边形.1分∴∠B=∠D.∵∠AFC=∠B，∠ACF=∠D，∴∠AFC=∠ACF.∴AC=AF.3分(2)如图，连接AO，CO.由(1)得∠AFC=∠ACF，∵∠CAF=30°，∴∠AFC=180°−30°2=75°.5分∴∠AOC=2∠AFC=150°，∴AC的长=150×π×3180=5π2.15.证明(1)∵AB为☉O的直径，PA为☉O的切线，∴PA⊥OA，即∠PAO=90°.在△POC和△POA中，OC∴△POC≌△POA(SSS).2分∴∠PCO=∠PAO=90°.∴PC⊥OC.又OC为☉O的半径，∴PC为☉O的切线.4分(2)由(1)可知OC⊥PD，∴∠DCO=∠DAP=90°.又∠ODC=∠PDA，∴△ODC∽△PDA.6分∴OCPA=ODPD，即PD·OC=PA·OD.16.解析(1)在☉O中，半径OC垂直于弦AB，∴AC=BC，∴∠AOC=∠BOC.1分∵∠AOC=60°，∴∠AOB=2∠AOC=120°.2分∵∠CEB=12∠BOC=12∴∠CEB=30°.4分(2)如图，连接OE.同(1)得∠CEB=30°，∵EF=EB，∴∠EBF=∠EFB=75°.∴∠AOE=2∠EBA=150°.5分又∠AOG=180°-∠AOC=120°，∴∠GOE=∠AOE-∠AOG=30°.7分∵GE与☉O相切于点E，∴OE⊥GE，即∠OEG=90°.在Rt△OEG中，tan∠GOE=EGOE，OE=OA=3∴EG=3×tan30°=3.10分17.解析(1)证明：∵∠DCB=∠DFE，∠BAC=∠DFE，∴∠DCB=∠BAC.1分∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°.∴∠DCB+∠B=90°.∴∠CDB=90°.3分∴直径CD⊥AB.∴AB是☉O的切线.4分(2)如图，连接DE.∵CD是圆的直径，∴∠CED=90°.5分∴∠ACE+∠DEC=90°+90°=180°，∴AC∥DE.6分∴∠PAC=∠PED，∠PCA=∠PDE，∴△PAC∽△PED，∴PCPD=PAPE.∴PCPA=PDPE=∵∠PCE=∠PFD，∠CPE=∠FPD，∴△FPD∽△CPE.∴PFPC=PDPE.∴PA-AFPC=PA-3PC=PAPC-3PC∴PC=185.10分18.解析(1)∵BC平分∠EBG，∴∠EBC=∠CBG，∵∠EBC=∠EAC，∴∠CBG=∠EAC，1分∵AC⊥FC，∴∠AFC+∠EAC=90°，∵∠BCG=∠AFC，∴∠BCG+∠CBG=90°，∴∠BGC=90°.2分(2)①证明：∵∠BGC=90°，D为BC中点，∴GD=CD，∴∠DGC=∠DCG，∵∠BCG=∠AFC，∴∠DGC=∠AFC，∴CF=CG，3分又∵∠ACF=∠BGC=90°，∴△ACF≌△BGC，∴AF=BC.4分②如图，过点C作CH⊥EG于点H，设AG=DF=2x，∵△ACF≌△BGC，∴AF=BC=2DG，CF=CG，又∵AF=AG+DG+DF，∴DG=AG+DF=4x，∴CD=DG=4x，∵CF=CG，CH⊥GF，∴HG=HF=12GF=12(4x+2x)=3x，∴DH=DG-HG=x，AH=AG+GH=5x，∴CH=CD2-DH2=(4x∴tan∠GBC=tan∠CAF=CHAH=155.(3)如图，过点O作OM⊥BE于点M，连接OC交AE于点N，∵OB=OC，∴∠OCB=∠