专项03 常考辅助圆模型

专项03常考辅助圆模型模型一定点定长1.(2020山东泰安中考)如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大长度为()A.2+1 B.2+12 C.22+1 D.22-模型二直角对直径2.(2021湖北鄂州中考)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，BC=3.点P为△ABC内一点，且满足PA2+PC2=AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是()A.3 B.33 C.334 第2题图 第3题图3.(2023山东菏泽中考)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=5，AD=4，AD<BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE，则线段BF长度的最小值为.

4.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点M，N，O均为格点，点N在☉O上，若过点M作☉O的一条切线MK，切点为K，则MK=.

5.辅助线是几何解题中条件与结论的桥梁.在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽.性质：如图①，若∠ACB=∠ADB=90°，则点D在经过A，B，C三点的圆上.运用上述材料中的信息解决以下问题：(1)如图②，已知DA=DB=DC.求证：∠ADB=2∠ACB.(2)如图③，点A，B位于直线l两侧.用尺规在直线l上作出点C，使得∠ACB=90°.(要求：要有画图痕迹，不用写画法)(3)如图④，在四边形ABCD中，∠CAD=90°，CB⊥DB，点F在CA的延长线上，连接DF，∠ADF=∠ABD.求证：DF是△ACD外接圆的切线.模型三点圆最值6.(2023山东泰安泰山期末)如图，点P(3，4)，☉P的半径为2，A(2.5，0)，B(5，0)，点M是☉P上的动点，点C是MB的中点，则AC长的最大值是()A.32 B.52 C.72模型四线圆最值7.(2023四川乐山中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-2与x轴，y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为1的☉O上两动点，且CD=2，P为弦CD的中点.当C，D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是()A.8 B.6 C.4 D.3 第7题图 第8题图8.(2020山东东营中考)如图，在Rt△AOB中，OB=23，∠A=30°，☉O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作☉O的一条切线PQ(其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为.

模型五定弦定角9.(2023北京昌平二模)船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两座灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，P，M，N是网格线交点，当船航行到点P的位置时，P与两座灯塔M，N间的角度(∠MPN的大小)一定无触礁危险.那么，对于A，B，C，D四个位置，船处于时，一定无触礁危险.()

A.位置A B.位置B C.位置C D.位置D10.(2021广东中考)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3.点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为.

11.(2023四川自贡中考改编)如图，分别经过原点O和点A(4，0)的动直线a，b的夹角∠OBA=30°，点M是OB的中点，连接AM，则当sin∠OAM取最大值时，AM=.

专项03常考辅助圆模型答案全解全析1.B∵点C为坐标平面内一点，BC=1，∴点C在半径为1的☉B上.在x轴负半轴上取OD=OA=2，连接BD，如图，∵AM=CM，OA=DO，∴OM=12∴当CD长的值最大时，OM长的值最大.∴当C在DB的延长线上时，OM长的值最大.∵OB=OD=2，∠BOD=90°，∴BD=22.∴CD长的最大值=22+1.∴OM长的最大值=12CD=2+12.D∵PA2+PC2=AC2，∴∠APC=90°.∴点P在以AC为直径的圆上运动.添加辅助圆(圆O)，连接OP，如图所示.当点P在线段BO上时，PB长有最小值，此时PO=AO=CO=12AC=12×23=∵tan∠BOC=BCOC=33=3过P作PH⊥AC于H，∴△ACP的面积=12AC·PH=12AC·OP·sin∠BOC=12×23×3×33.答案29-2解析如图，设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交☉O于F'.∵∠ABC+∠BAD=90°+90°=180°，∴AD∥BC.∴∠DAE=∠AEB.∵∠ADF=∠BAE，∴∠DFA=∠ABE=90°.∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与☉O的交点(F')处时，线段BF的长度取最小值.∵AD=4，∴AO=OF'=12∴BO=52+2∴线段BF的长度的最小值为29-2.经典模型直角对直径模型在解决一类单或双动点求最值的问题时，若存在某动点为直角的顶点，则往往根据直角对直径构造辅助圆，将该动点转化为半圆上的动点，从而将最值问题转化为点圆的最值问题解决.4.答案25解析如图所示，以OM为直径作圆，与☉O的交点即为切点K，连接OK，ON.则OK⊥MK.由网格特点及勾股定理可得MO=5，OK=ON=5，∴MK=52-(55.解析(1)证明：如图，由DA=DB=DC可知，点A，B，C在以D为圆心，DA的长为半径的圆上，∴∠ADB=2∠ACB.(2)如图，点C1，C2就是所要求作的点.(3)证明：如图，以CD的中点O为圆心，CD为直径作☉O，∵∠DAC=∠DBC=90°，∴点A，B在☉O上，即☉O是△ACD的外接圆.∴∠ACD=∠ABD.∵∠ADF=∠ABD，∴∠ACD=∠ADF.∵∠ACD+∠ADC=90°，∴∠ADF+∠ADC=90°.∴∠CDF=90°.∴CD⊥DF.∴DF是△ACD外接圆的切线.6.C如图，作射线OP，交☉P于M1，M2，连接OM.由勾股定理得OP=32∵A(2.5，0)，B(5，0)，∴OA=AB，又CM=CB，∴AC=12∴当OM长最大时，AC长最大.当M运动到M2时，OM最大，∴AC长的最大值=12OM2=12(OP+PM2)=12×(5+2)=7.D如图，作OQ⊥AB于点Q，连接OP，OD，OC，∵CD=2，OC=OD=1，∴OC2+OD2=CD2.∴△OCD为等腰直角三角形.由y=-x-2得，点A(-2，0)，B(0，-2)，∴OA=OB=2.∴△OAB为等腰直角三角形.∴AB=22，OQ=2.∵P为CD的中点，∴OP=22点P的运动轨迹是以O为圆心，以22当P，O，Q共线，且P，Q在点O两侧时，S△ABP最大，此时PQ=OP+OQ=322，∴S△ABP=8.答案22解析如图，连接OQ，OP.∵PQ是☉O的切线，∴∠OQP=90°.∴PQ=OP2-O∴当线段OP的长度最小时，线段PQ的长度最小，当OP⊥AB时，线段OP的长度最小，此时OP=OB·sinB.∵在Rt△AOB中，∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，∴线段OP长度的最小值=23×32∴线段PQ长度的最小值=32-1=29.B如图，由网格特点可知，点O是MN和MP的垂直平分线的交点，即点O是△MNP的外接圆的圆心.由画图知点B在△MNP的外接圆上.连接BM，BN，则∠MPN=∠MBN.∴船处于位置B时，一定无触礁危险，故选B.10.答案5-2解析如图所示，作△ABD的外接圆☉O，连接OA，OB，OC，设OC与☉O交于点D'，则CD'的长度即为CD长度的最小值.∵∠ADB=45°，∴∠AOB=90°.∵OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形.∴AO=BO=AB·sin45°=2，∴OD'=2.∵∠OBA=45°，∠ABC=90°，∴∠OBC=45°.作OE⊥BC于点E，则△OBE为等腰直角三角形.∴OE=BE=OB·sin45°=1，∴CE=BC-BE=3-1=2.在Rt△OCE中，OC=OE2+CE2∴CD'=OC-OD'=5-2.∴线段CD长度的最小值为5-2.11.答案22解析如图，作△AOB的外接圆☉T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM，AK.∵∠ATO=2∠ABO，∴∠ATO=60°，∵TO=TA，∴△OAT是等边三角形.∵A(4，0)，∴TO=TA=TB=4.∵OK=KT，OM=MB，∴KM=12∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动.当AM与☉K相切时