5.4.2 圆周角定理的推论3 同步练习

第五章圆4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理的推论3基础过关全练知识点5圆周角定理的推论31.(2023四川自贡中考)如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是(M9205005)()A.41° B.45° C.49° D.59°第1题图第2题图2.(2023山东聊城东昌府一模)如图,在△ABC中,AB=AC,三个顶点A,B,C均在☉O上,BD过圆心O,连接AD.当∠OBC=40°时,∠ADB的度数是()A.45° B.55° C.65° D.75°3.(2022江苏苏州中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC,AD.若∠BAC=28°,则∠D=°.(M9205005)

4.(2023山东烟台招远期末)如图,☉O的直径AB=2,弦AC=1,连接BC,点D在☉O上,则∠D的度数是.(M9205005)

5.(2022山东东营垦利期末改编)如图,在平面直角坐标系xOy中,直径为10的☉A经过y轴上的点C和原点O,点B是y轴右侧☉A的优弧OBC上一点,∠OBC=30°,则点C的坐标为.

6.如图,AB是☉O的直径,C,D两点在☉O上,若∠C=45°.(1)求∠ABD的度数;(2)若∠CDB=30°,BC=5,求☉O的半径.7.(2023山东济南莱芜模拟)如图,已知△ABC的三个顶点都在☉O上,AD是☉O的直径,连接BD,BC平分∠ABD.(M9205005)(1)求证:∠CAD=∠ABC;(2)若AD=4,求CD的长.8.(2020浙江衢州中考)如图,△ABC的三个顶点在☉O上,AB为☉O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中点E是AD的中点.(M9205005)(1)求证:∠CAD=∠CBA;(2)求OE的长.能力提升全练9.(2022湖北十堰中考改编)如图,等边△ABC的三个顶点都在☉O上,点D是弧AC上一动点(不与A,C重合),下列结论:①∠ADB=∠BDC;②DA=DC;③当DB最长时,DB=2DC;④DA+DC=DB.其中一定正确的结论有(M9205005)()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.(2023山东烟台莱阳期末)如图,BD是☉O的直径,点A、C在☉O上,AB=AD,连接AD、AB,AC、BD相交于点E,若∠COD=126°,则∠AEB的度数为.(M9205005)

11.(2022山东济宁中考)如图,点A,C,D,B在☉O上,AC=BC,∠ACB=90°.若CD=a,tan∠CBD=13,则AD的长是12.(2023安徽中考)已知四边形ABCD的四个顶点都在☉O上,对角线BD是☉O的直径.(M9205005)(1)如图1,连接OA,CA,若OA⊥BD,求证:CA平分∠BCD;(2)如图2,E为☉O内一点,满足AE⊥BC,CE⊥AB.若BD=33,AE=3,求弦BC的长.13.(2022山东烟台莱州一模改编)如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,且AB是☉O的直径,点C,D是圆上两点,且AD=BD,连接CD交AB于点E.若tan∠CDB=12,求CE素养探究全练14.(2023山东淄博临淄期末)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,D是AB上一动点,连接CD,以CD为直径的☉M交AC于点E,连接BM并延长交AC于点F,交☉M于点G,连接BE.(1)如图1,当点D移动到使CD⊥BE时.①连接DE,求证:BD=AE;②求BD∶BC的值.(2)如图2,当点D移动到使CG的度数为30°时,求证:AE2+CF2=EF2.图1图2

第五章圆4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理的推论3答案全解全析基础过关全练1.C∵CD是☉O的直径,∴∠DBC=90°.∵∠DBA=∠DCA=41°,∴∠ABC=90°-∠DBA=49°,故选C.2.C∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=90°.∵∠CAD=∠OBC=40°,∴∠BAC=50°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠BCA=123.答案62解析连接BC(图略).∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠ABC=90°-∠BAC=62°.∴∠D=∠ABC=62°.方法解读圆中“直角”与“直径”相对,可相互转换.一般地,如果题目中存在直径,往往作出直径所对的圆周角——直角;如果存在直角,往往作出直径.4.答案60°解析∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,cosA=ACAB=1∴∠D=∠A=60°.5.答案(0,5)解析设☉A与x轴的另一个交点为点D,连接CD,如图.∵∠COD=90°,∴CD是☉A的直径,即CD=10.∵∠OBC=30°,∴∠ODC=30°.∴OC=126.解析(1)∵∠BCD=45°,∴∠BAD=45°.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠ABD=90°-∠BAD=45°.(2)连接AC(图略).∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠CAB=∠CDB=30°,∴AB=2BC=2×5=10.∴☉O的半径为5.7.解析(1)证明:∵BC平分∠ABD,∴∠DBC=∠ABC.∵∠CAD=∠DBC,∴∠CAD=∠ABC.(2)连接CD(图略).∵∠ADC=∠ABC,∠CAD=∠ABC,∴∠ADC=∠CAD.∴AC=CD.∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°.∴AC2+CD2=2CD2=AD2.∵AD=4,∴CD=22.8.解析(1)证明:∵E为AD的中点,∴AE=DE,又OC是☉O的半径,∴AC=CD.∴∠CAD=∠CBA.(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵AE=DE,∴OC⊥AD.∴∠AEC=90°.∴∠AEC=∠ACB.又∠CAD=∠CBA,∴△AEC∽△BCA.∴CEAC=ACBA,即CE6∵OC=12能力提升全练9.C①∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°.∴∠ADB=∠ACB=60°,∠BDC=∠BAC=60°.∴∠ADB=∠BDC,故①正确.②∵点D是弧AC上一动点,∴AD与CD不一定相等.∴DA与DC不一定相等,故②错误.③当DB最长时,DB为☉O的直径,∴∠BCD=90°.∵∠BDC=60°,∴∠DBC=30°.∴DB=2DC,故③正确.④在DB上取一点E,使DE=AD,连接AE,如图.∵∠ADB=60°,∴△ADE是等边三角形.∴AD=AE,∠DAE=60°.∵∠BAC=60°,∴∠BAE=∠CAD.∵AB=AC,∴△ABE≌△ACD(SAS).∴BE=CD.∴BD=BE+DE=CD+AD,即DA+DC=DB,故④正确.∴正确的有①③④,共3个,故选C.10.答案108°解析∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=90°.∵AB=AD,∴AB=AD.∴∠B=∠D=45°.∵∠DAC=12∠COD=1∴∠AEB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°.11.答案22a解析如图,连接AB,过点C作CE⊥BD,交BD的延长线于E.易知∠ADB=∠ACB=90°.∵AC=BC,∴∠ABC=45°,∴∠ADC=∠ABC=45°,∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=45°.∴CE=DE=22CD=2∵tan∠CBD=CEBE=13,∴BE=∴BD=BE-DE=2a,BC=CE2+B∴AB=10a,∴AD=AB2-BD212.解析(1)证明:∵OA⊥BD,∴AB=AD.∴∠ACB=∠ACD,即CA平分∠BCD.(2)如图,延长AE交BC于M,延长CE交AB于N.∵AE⊥BC,∴∠AMB=90°.∵BD是☉O的直径,∴∠BCD=90°.∴∠BCD=∠AMB.∴CD∥AM.同理可得AD∥NC.∴四边形AECD是平行四边形,∴AE=CD=3.∴BC=BD2-CD213.解析如图,连接OD,过点C作CF⊥AB于F.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又∠CDB=∠CAB,tan∠CDB=12∴tan∠CAB=BCAC=1设BC=x,则AC=2x,∴AB=AC2+B∴OD=12AB=52x.∵S△ABC=12∴2x·x=5x·CF,∴CF=25∵AD=BD,∴∠ACD=∠BCD=12∴∠BOD=2∠BCD=90°.∵CF⊥AB,∴∠CFE=90°.∴∠CFE=∠BOD.∵∠FEC=∠OED,∴△CEF∽△DEO.∴CEDE=CFDO=255x52素养探究全练14.解析(1)①证明:∵CD是☉M的直径,CD⊥BE,∴BD=ED,∠DEC=90°.∴BD=ED,∠DEA=90°.∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠A=45°.∴∠ADE=45°.∴∠ADE=∠A.∴AE=ED.∴BD=AE.②由①知AE=ED=BD.∴AD=AE2+E∴AB=AD+BD=(2+1)BD.∴BC=AB=(2+1)BD.∴BD∶BC=1∶(2+1)=2-1.(2)证明:证法一(构造直角三角形):连接EM,DE,如图.∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠A=∠ACB=45°.∵∠EMB=2∠ECB,∴∠EMB=90°.∴∠EMF=90°.∴EM2+MF2=EF2.∵CG的度数为30°,∴∠CMG=30°,∴∠BMD=∠CMG=30°,∴∠DME=60°.∵DM=EM,∴△DME是等边三角形.∴DE=EM,∠CDE=60°.∵CD是☉M的直径,∴∠CED=90°,∴∠AED=90°.∵∠A=45°,∴∠ADE=45°,∴∠ADE=∠A,∴AE=ED.∴AE=EM.∵∠DCE=90°-∠CDE=30°,∴∠DCE=∠CMG.∴CF=MF.∵EM2+MF2=EF2,∴AE2+CF2=E