寒假作业11 二次函数中的存在性与最值问题（6道经典题型+7道中考真题）

完成时间：________月________日天气：寒假作业11二次函数中的存在性及最值问题积累运用二次函数中与特殊几何图形有关的存在性问题和最值问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案。存在性问题常见的类型有：二次函数中与直角（等腰）三角形、相似（全等）三角形、平行四边形及特殊的平行四边形等。二次函数中最值问题常见类型有：将军饮马、胡不归、阿氏圆、函数最值等。本课时就二次函数中的存在性问题和最值问题进行专项训练，方便同学们熟练掌握。能力提升练1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为B，它的对称轴为直线．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点P是y轴右侧抛物线上的一个点，且与的面积相等，求点P的坐标；（3）点Q是该抛物线上的点，过点Q作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点Q．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为直线x=2，点D为此抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上C，D两点之间的距离是__________；(3)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．4．如图，抛物线经过，两点，点是轴左侧且位于轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段绕点顺时针旋转得线段（点是点的对应点），求点的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点作轴交直线于点，试探究是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的值；若不存在，说明理由．5．二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且tan∠CBD，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；②连接PB，求PC＋PB的最小值．中考真题练7．（2023年青海省西宁市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．(1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．8．（2023年山东省淄博市中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18.(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求点的坐标；(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2023年湖北省黄石市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；(3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．10．（2023年江苏省常州市中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．(1)_______；(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标．

11．（2023年湖南省娄底市中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．(1)求b，c的值．(2)点是抛物线上的动点①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2023年四川省雅安市中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长；(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2023年湖南省湘潭市中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．

寒假作业11二次函数中的存在性及最值问题参考答案能力提升练1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)中，当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4，∴C（0，2），A（-4，0），由抛物线的对称性可知：点A与点B关于对称，∴点B的坐标为（1，0）．∵抛物线y=ax2+bx+c过A（-4，0），B（1，0），可设抛物线表达式为y=a（x+4）（x-1），又∵抛物线过点C（0，2），∴2=-4a，∴，∴抛物线表达式为：；(2)∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），,∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，AC=2BC，点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似存在以下3种情况：①如图2，当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②如图3，根据抛物线的对称性，当M（-3，2）时，△MAN∽△ABC；③如图4，当M在第四象限时，设，则N（n，0），,当时，△MAN∽△BAC，AN=2MN，即，整理得：n2+2n-8=0，解得：n1=-4（舍），n2=2，∴M（2，-3）；当时，△MAN∽△ABC，MN=2AN，即

，整理得：n2-n-20=0，解得：n1=-4（舍），n2=5，∴M（5，-18）．综上所述：存在M（0，2）或（-3，2）或（2，-3）或（5，-18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．2.如图，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为B，它的对称轴为直线．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点P是y轴右侧抛物线上的一个点，且与的面积相等，求点P的坐标；（3）点Q是该抛物线上的点，过点Q作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点Q．【解析】（1）把、代入，得，解得.∴抛物线的表达式为.（2）令=0，解得x1=-1，x2=3，∴B，设P（x，y）（x＞0）.∵与的面积相等，∴，即，解得x=4，∴P（4，5）.（3）∵B（3，0），C（0，-3），∠BOC=90°，∴OB=OC=3，△BOC是等腰直角三角形，如图，过Q1作Q1D⊥l于D点，与抛物线的另一个交点为Q2，∴∠Q1DE1=∠Q1DE2=∠BOC=90°.当Q1D=DE1=DE2=3时，△Q1DE1≌△Q1DE2≌△BOC，∵=，∴函数对称轴为x=1，∴Q1的横坐标为1-3=-2，∴Q1（-2，5）.同理，根据对称性可得Q2（4，5）符合题意，∴满足条件的点Q为（-2，5）或（4，5）．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为直线x=2，点D为此抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上C，D两点之间的距离是__________；(3)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．【解析】（1）解：∵OA=1，∴A（-1，0），又∵对称轴为直线x=2，∴B（5，0），将A，B代入解析式得：，解得，∴；（2）解：在（1）所得解析式中，令x=0，得，∴C（0，），∵，∴D（2，），∴CD=，故答案为2；（3）设P（2，y），Q（m，n），由（1）知B（5，0），C（0，），若BC为矩形的对角线，由中点坐标公式得：，解得：，又∵∠BPC=90°，∴PC2+PB2=BC2，即：22+(−y)2+32+y2＝52+()2，解得y=4或y=-，∴n=−或n=4，∴Q（3，−）或Q（3，4），若BP为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得，又∵∠BCP=90°，BC2+CP2=BP2，即：52+()2+22+(−y)2＝32+y2，解得y=，∴n=4∴Q（7，4），若BQ为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得：，又∵∠BCQ=90°，∴BC2+CQ2=BQ2，即：52+()2+m2+(−n)2＝(5−m)2+n2，解得n=−，∴Q（-3，-），综上，点Q的坐标为（3，−）或（3，4）或（7，4）或（-3，-）．4．如图，抛物线经过，两点，点是轴左侧且位于轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段绕点顺时针旋转得线段（点是点的对应点），求点的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点作轴交直线于点，试探究是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）将，两点的坐标代入，得，解得，∴抛物线的解析式为：.作轴于点轴于点，如图，则易证.将x=-3代入得，∵点不在抛物线上．过点作轴交于点，设直线解析式为，则，解得，直线解析式为．依题意.当时，则,解得（舍去），；当时，则，解得（舍去），；当时，轴，点的纵坐标为，解得（舍去），．综上所述，存在点，使是等腰三角形，的值为或或．5．二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．【解析】（1）由题意可得，解得，∴二次函数的表达式为.（2）设与交于点N．过B作y轴的平行线与相交于点M．由A、C两点坐标分别为，可得所在直线表达式为,∴M点坐标为，,由，可得，设，则，，∴当时，有最大值0.8，此时P点坐标为．6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且tan∠CBD，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；②连接PB，求PC＋PB的最小值．【解析】（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴D（2，0），又∵，∴CD＝BD•tan∠CBD＝4，即C（2，4），代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），解得，∴二次函数的解析式为x2；（2）①设P（2，t），其中0＜t＜4，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴解得即直线BC的解析式为，令y＝t，得：，∴点E（5t，t），把代入，得，即，∴，∴△BCF的面积EF×BD（t），∴当t＝2时，△BCF的面积最大，且最大值为；②如图，据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，∴，过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，，∴，过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，∴线段BH的长就是的最小值，∵，又∵，∴，即，∴的最小值为．中考真题练7．（2023年青海省西宁市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．(1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．【解析】（1）设直线l的解析式为，把A，B两点的坐标代入解析式，得，解得：，∴直线l的解析式为.（2）设抛物线的解析式为，∵抛物线的对称轴为直线，∴．把A，B两点坐标代入解析式，得，解得：，∴抛物线的解析式为.（3）∵

，

∴．∵在中，∴．∵轴，，∴．在中，，，∴，∴．在中，，，∴，∴．设点P的坐标为，则，∴．∵，∴当时，有最大值是，此时最大，∴，当时，，

∴，∴的最大值是，此时的P点坐标是．8．（2023年山东省淄博市中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18.(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求点的坐标；(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵对称轴为直线，∴①，将点代入得，∴②，联立①②得，，∴解析式为.（2）设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，

∴，，则，∴，解得：或（舍去），所以点B的坐标为B（6，6）.（3）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：∵，∴，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，设，如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，，∵，∴，由对称性可知，，∴，∴，解得：，∴点的坐标为或；如图3，当为平行四边形的对角线时，，，

由对称性可知，，∴，∴，解得：或，∴点的坐标为或综上所述，点的坐标为或或或．9．（2023年湖北省黄石市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；(3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．【解析】（1）设抛物线的表达式为：，即，则，故抛物线的表达式为：①；（2）在中，，，则，故设直线的表达式为：②，联立①②得：，解得：（不合题意的值已舍去）；（3）作，设，，且相似比为，则，故当、、共线时，为最小，在中，设边上的高为，则，即，解得：，则，则，过点作轴于点，则，即点的纵坐标为：，同理可得，点的横坐标为：，即点，由点、的坐标得，，即的最小值为．10．（2023年江苏省常州市中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．(1)_______；(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标．

【解析】（1）把代入得，，解得，故答案为；（2）解：过点D作DM⊥OA于点M，∵，∴二次函数的解析式为设，∵D是第三象限抛物线上的一点，，∴，解得m=或m=8（舍去），当m=时，，∴，∵，∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为，把代入得，解得a=3或a=（舍去），∴平移后得抛物线为.∵过点作x轴的垂线l,在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，在的对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小，∴；（3）由，设平移后的抛物线为，则顶点为，∵顶点为在上，∴，∴平移后的抛物线为，顶点为，∵原抛物线，∴原抛物线的顶点，对称轴为x=1，∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，∴，∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，∵是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴，∴化简得，∴p=1（舍去），或p=3或p=，当p=3时，，当p=时，，∴点P坐标为或．11．（2023年湖南省娄底市中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．(1)求b，c的值．(2)点是抛物线上的动点①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）将、代入抛物线中，可得：，解得：，即：，；（2）①由（1）可知：，当时，，即，设的解析式为：，将，代入中，可得，解得：，∴的解析式为：，过点P作轴，交于点E，交轴于点，

∵，则，∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，∴，的面积，∵，∴当时，的面积有最大值，最大值为；②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．理由如下：由①可知，由题意可知抛物线的对称轴为直线，∵轴，∴，，则，当点在对称轴左侧时，即时，，当时，为等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合题意，舍去）此时，即点；当点在对称轴右侧时，即时，，当时，为等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合题意，舍去）此时：，即点；综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．12．（2023年四川省雅安市中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长；(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意可得：，解得，所以抛物线的函数表达式为；当时，，则顶点M的坐标为．（2）如图：过点M作