24.7 弧长与扇形面积 24.8 综合与实践进球线路与最佳射门角 同步练习

第24章圆24.7弧长与扇形面积24.8综合与实践进球线路与最佳射门角基础过关全练知识点1弧长公式及应用1.(2022重庆渝中模拟)如图，若半径为2cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动150°(绳索与滑轮之间没有滑动)，则重物上升的高度为()A.5πcm B.10π3cm C.5π3cm D.2.如图，△ABC中，∠B=30°，AC=1.若以A为圆心，AC的长为半径的弧交AB于点D，CD的长为π3，则△ABCA.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断3.(2021湖南长沙雨花一模)如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角∠AOB=120°，半径为6m，则该扇形的弧长是m.(结果保留π)

4.(2022安徽合肥寿春中学一模)如图，菱形OABC的边长为4，且点A、B、C在☉O上，则劣弧BC的长度为.

[变式]如图，点A、B在☉O上，☉O的半径为4，若劣弧AB的长度为43π，则AB的长为5.建立如图所示的平面直角坐标系，已知△ABC，且A(2，1)，B(4，2)，C(1，4).(1)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；(2)在(1)的条件下求出点A经过的路径长.6.清代郑板桥曾有诗：“纸花如雪满天飞，娇女秋千打四围.五色罗裙风摆动，好将蝴蝶斗春归.”描写的是放风筝和荡秋千的场景.如图，秋千拉绳AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某人荡该秋千荡到最高处时，踩板离地面2米(左右对称)，请计算该秋千所荡过的圆弧BF的长.知识点2扇形面积公式及应用7.如图，☉A，☉B，☉C的半径都是2，则图中三个扇形(即阴影部分)的面积之和是()A.2π B.π C.12π D.8.如图，两个正方形的边长都相等，设S1表示图①中阴影部分的面积，S2表示图②中阴影部分的面积，则这两个图形中阴影部分的面积的关系是()A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.无法比较9.(2022黑龙江哈尔滨中考)一个扇形的面积为7πcm2，半径为6cm，则此扇形的圆心角是度.

10.我国的国球是乒乓球，世界上乒乓球拍的拍形大体上可以归为三类：圆形、方形和异形，绝大多数的横板与中国式的直板都是圆形的.如图，李明同学自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的☉O，AB的长为4πcm，弓形ACB(阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮面积为cm2.

11.(2022江苏盐城阜宁期末)如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB=30°，CD=23，求阴影部分的面积.12.当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷器.如图是某汽车的一个雨刷器的转动示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在点B处固定连接(不能转动)，当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的区域(阴影部分)如图所示，现量得CD=80cm，∠DBA=20°，AC=115cm，DA=35cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过区域的面积.知识点3圆柱、圆锥的侧面积和全面积13.(2022安徽马鞍山雨山二模)已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是()A.24 B.48 C.12π D.24π14.(2022山东淄博周村一模)如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥(接缝忽略不计)，这个圆锥的高是()A.8cm B.12cm C.20cm D.18cm15.(2021浙江杭州上城二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.把△ABC分别绕直线AB，BC和AC旋转一周，所得几何体的表面积分别记作S1，S2，S3，则表面积最大的是()图24-7-13A.S1 B.S2 C.S3 D.无法确定16.(2021贵州毕节织金期末)如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB、CD分别是两底面圆的直径.若一只蚂蚁从A点出发，从圆柱表面爬行到C点，则蚂蚁爬行的最短距离是.17.如图，已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9cm，圆心角为120°的扇形.求：(1)圆锥的底面半径；(2)圆锥的全面积.知识点4圆外角、圆周角和圆内角的关系18.如图，足球运动员在球门AB前沿直线l横向带球准备射门，在不考虑其他的情况下，关于C、D两处射门进球的可能性，下列说法正确的是()A.在点C处射门进球的可能性大B.在点D处射门进球的可能性大C.在点C、D两处射门进球的可能性一样大D.无法判断在点C、D两处哪处射门进球的可能性更大19.足球训练场上，教练在球门前画了一个圆圈进行无人防守的射门训练.如图，甲、乙两名运动员分别在点C，D两处，他们争论不休，都说自己所在的位置对球门AB的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大.为什么?能力提升全练20.(2022江苏无锡中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为()A.12π B.15π C.20π D.24π21.(2022广西北部湾经济区中考)如图，在△ABC中，CA=CB=4，∠BAC=α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB'C'，连接B'C并延长交AB于点D，当B'D⊥AB时，BB'的长是()A.233π B.433π C.83922.(2021浙江绍兴越城期中)如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C=48°，问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?答：.

23.(2022广西贵港中考)如图，在▱ABCD中，AD=23AB，∠BAD=45°，以点A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB=32，则图中阴影部分的面积是24.(2022江苏南通一模)如图，A，P，B，C是☉O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°.(1)求∠ACB的度数；(2)若BC=6，求BC的长.25.(2019湖南邵阳中考)如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AD是∠BAC的平分线，且AD=6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F.(1)求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形(图中阴影部分)的面积；(2)将阴影部分剪掉，余下扇形EAF，将扇形EAF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.素养探究全练26.(2022江苏盐城亭湖期末)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积的公式：弧田面积=12(弦×矢+矢2).弧田由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.如图，现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB=23m的弧田(OD⊥AB，垂足为C)(1)计算弧田的实际面积；(2)按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少平方米?(π≈3，3≈1.7)27.在学习扇形面积公式时，同学们推得S扇形=nπR2360，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l=nπR180接着老师让同学们解决两个问题：问题1：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积.问题2：某小区设计的花坛如图中的阴影部分所示，已知弧AB与弧CD所在圆的圆心都是点O，弧AB的长为l1，弧CD的长为l2，AC=BD=d，求花坛的面积.(1)请你解答问题1；(2)在解答完问题2后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式S扇形=12lR类似于三角形面积公式和梯形面积公式，他猜想花坛的面积S=12(l1+l2)d，他的猜想正确吗?如果正确，写出推导过程；如果不正确，

第24章圆24.7弧长与扇形面积24.8综合与实践进球线路与最佳射门角答案全解全析基础过关全练1.C根据题意，得重物上升的高度为150π×2180=5π3(cm)，2.B设∠A=n°，则由弧长公式，得n×1×π180=π3，解得n=60，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-30°=90°，∴△ABC是直角三角形3.4π解析由题意可得，扇形的弧长为120π×6180=4π(m)4.43解析如图，连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴OC=BC=AB=OA=4，∴OC=OB=BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°，∴劣弧BC的长度为60π×4180=43[变式]4解析如图，连接OA，OB.设∠BOA的度数为n°，则有nπ×4180=43π，解得n=60，又OA∴△AOB是等边三角形，∴AB=4.5.解析(1)△A1B1C1如图所示.(2)由勾股定理得OA=5，∴点A经过的路径长=90×π×5180=6.解析如图，过点B作BG⊥AD于G，BE垂直地面于E，易知BE=DG，由题意知BE=2，AC=3，CD=0.5，所以AG=AD-GD=AC+CD-BE=1.5.因为AB=3，所以在Rt△ABG中，∠BAG=60°.所以∠BAF=120°，所以该秋千所荡过的圆弧BF的长为120×π×3180=2π(米)7.A因为三角形的内角和等于180°，所以三个扇形的圆心角度数之和等于180°，又三个扇形的半径都是2，所以三个扇形的面积之和为180π×22360=2π8.B两个图形的空白处均可组成一个完整的圆，且这两个圆的直径均为它所在的正方形的边长，又两个正方形的边长相等，故这两个圆的面积相等，且两个正方形的面积相等，则两个图形中阴影部分的面积相等.故选B.9.70解析设扇形的圆心角为n°，则nπ×62360=7π，10.(32+48π)解析如图，连接OA、OB，设∠AOB的度数为n°，∵AB的长为4πcm，∴nπ×8180∴n=90，∴∠AOB=90°，∴S△AOB=12×8×8=32(cm2)，扇形ACB的面积=270×π×82360=48π(cm2)11.解析如图，连接OD.∵CD⊥AB，∴CE=DE=12CD=3(垂径定理)故S△OCE=S△ODE，∴S阴影=S扇形又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°(圆周角定理)，∴OC=CEsin60°=2故S扇形OBD=60π×22即阴影部分的面积为23π12.解析在△ACD与△AC'D'中，AC=AC'，∠CAD=∠C'AD'，AD=AD'，∴△ACD≌△AC'D'，∴S△ACD=S△AC'D'，∴阴影部分的面积=S扇形CAC'-∵扇形CAC'的半径AC=115cm，扇形DAD'的半径AD=35cm，∠CAC'=∠DAD'=90°，∴雨刷CD扫过区域的面积为S扇形CAC'-S扇形DAD'=90π×1152360-13.D圆锥侧面展开图的面积=π×4×6=24π.故选D.14.B设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意，得2πr=(360−144)π×15180，解得r=9，所以圆锥的高=15215.A∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=32+42=5.△ABC绕直线AB旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为BC=4，此圆锥的表面积为底面圆面积加圆锥的侧面积，即S1=π×42+π×4×5=36π；△ABC绕直线BC旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为AB=3，此圆锥的表面积为底面圆面积加圆锥的侧面积，即S2=π×32+π×3×5=24π；△ABC绕直线AC旋转一周，所得几何体为两个共底面的圆锥，底面半径为125，此圆锥的表面积为两个圆锥的侧面积之和，即S3=π×125×3+π×125×4=84π5.∴S1>16.22解析沿AD将该圆柱的侧面剪开并展平，则点C落在点C'的位置(如图)，由条件易知，AD=2，DC'=12×2π×2π=2.易知蚂蚁爬行的最短距离为AC'的长，AC'=AD2+17.解析(1)设该圆锥底面圆的半径为rcm，根据题意，得2πr=120π×9180，解得r=3即该圆锥底面圆的半径为3cm.(2)∵该圆锥的侧面积=120π×92360=27π(cm圆锥的底面积=π·32=9π(cm2)，∴圆锥的全面积为27π+9π=36π(cm2).18.B因为点D距离球门AB的中心比较近，所以∠ADB大于∠ACB，所以在D处射门进球的可能性大.19.解析甲、乙两个人所在的位置对球门AB的张角一样大.理由：根据圆周角定理的推论可得∠ADB=∠ACB.能力提升全练20.C在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=AC2+BC2=3221.B根据旋转的性质，得AC'∥B'D，∠C'AB'=∠CAD.∵B'D⊥AB，∴∠C'AD=∠C'AB'+∠B'AB=90°.∵∠CAD=α，∴α+2α=90°，∴α=30°.∵AC=4，∴AD=AC·cos30°=4×32=23，∴AB=2AD=43，∴BB'的长=60π×43180=4322.∠ASB<48°解析如图，设AS交圆于点E，连接EB，则∠AEB=∠C=48°，因为∠AEB是△SEB的一个外角，所以∠AEB>∠S，所以当∠S<48°时船不进入暗礁区.23.52-π解析如图，过点D作DF⊥AB于点F，∵AD=23AB，∠BAD=45°，AB=32∴AD=23×32=22，∴DF=ADsin45°=22×22=2，∵AE=AD=22，∴EB=AB-AE=∴S阴影=S▱ABCD-S扇形ADE-S△EBC=32×2-45π×(22)2360-1224.解析(1)∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°.(2)如图，连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°.∵OD⊥BC于点D，OB=OC，∴∠BOD=12∠BOC=60°，BD=12BC=1∵Rt△BOD中，sin∠BOD=BDOB∴OB=BDsin∠BOD=3sin60°∴BC的长=120π×23180=425.解析(1)∵在等腰△ABC中，∠BAC=120°，∴∠B=30°，∵AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴BD=3AD=63，∴BC=2BD=123，∴S阴影=S△ABC-S扇形EAF=12×6×123-120×π×62360(2)设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=120×π×6180，解得r=2∴这个