专项27-相似三角形的应用-重难点题型

相似三角形的应用-重难点题型【知识点1相似三角形的应用】在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模型。【题型1相似三角形的应用（九章算术）】【例1】（曾都区期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（）A．2517 B．6017 C．10017【变式1-1】（广西模拟）《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别位于AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH的长为（）A．0.95里 B．1.05里 C．2.05里 D．2.15里【变式1-2】（苏州期末）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形BCDE的边BE、CD表示井的直径，A在CB的延长线上，CD＝5尺，AB＝5尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根据以上条件，可求得井深BC为尺．【变式1-3】（芗城区校级一模）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长．【题型2相似三角形的应用（影长问题）】【例2】（津南区模拟）如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为米．【变式2-1】（碑林区校级月考）为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度EF．在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH＝1m．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2m．如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计．根据以上信息，求广告牌的高度EF．【变式2-2】（秦皇岛一模）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯BC下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方．①计算小亮在路灯AD下的影长；②计算AD的高．【变式2-3】如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？【题型3相似三角形的应用（杠杆问题）】【例3】（汉寿县期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为m．【变式3-1】．（南安市校级自主招生）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．【变式3-2】太原市某学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕定点O旋转到DC位置，已知栏杆AB的长为3.5m，OA的长为3m，C点到AB的距离为0.3m．支柱OE的高为0.5m，则栏杆D端离地面的距离为．【变式3-3】（秦都区期末）随着生活水平的提高，家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具，为此修建了很多停车场．如图，已知某停车场入口处的栏杆的长臂AO长是12米，短臂BO长是1.1米，当长臂端点垂直升高A′C＝9米时，短臂端点垂直下降了多少米？（栏杆宽度忽略不计）【题型4相似三角形的应用（建筑物问题）】【例4】（市中区一模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中DE＝16cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是（）m．A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5【变式4-1】（韩城市模拟）真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名．小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ，于是，有一天，他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在C处放置一平面镜，她从点C沿QC后退，当退行1.8米到B处时，恰好在镜子中看到塔顶P的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为1.5米；然后，晓静在F处竖立了一根高1.6米的标杆EF，发现地面上的点M、标杆顶点E和塔顶P在一条直线上，此时测得FM为2.4米，CF为11.7米，已知PQ⊥QM，AB⊥QM，EF⊥QM，点Q、C、B、F、M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度PQ．【变式4-2】（雁塔区校级二模）如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．【变式4-3】（凤翔县一模）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，GH⊥AC，AB⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．【题型5相似三角形的应用（河宽问题）】【例5】（津南区模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点为D，若测得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，你能知道小河的宽是多少吗？【变式5-1】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一定A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD＝180米，DC＝60米，EC＝70米，请你求出小河的宽度是多少米？【变式5-2】（崆峒区一模）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．【变式5-3】（安国市期中）如图，洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸有一棵大树，底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，并且使AB与河岸垂直，在B处与地面垂直竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，与地面垂直竖起标杆DE，使得A、C、E三点共线．经测量，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m，求小河的宽度．【题型6相似三角形的应用（内接矩形问题）】【例6】（大理市期末）如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（）A．16 B．24 C．30 D．36【变式6-1】（阳山县期末）如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝60mm，高AD＝45mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为（）A．36mm B．40mm C．72mm D．80mm【变式6-2】（唐山开学）如图，Rt△ABC为一块铁板余料，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．【变式6-3】（东平县期末）如图，要从一块Rt△ABC的白铁皮零料上截出一块矩形EFGH白铁皮．已知∠A＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，要求截出的矩形的长与宽的比为2：1，且较长边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，所截矩形的长和宽各是多少？

相似三角形的应用-重难点题型（解析版）【知识点1相似三角形的应用】在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模型。【题型1相似三角形的应用（九章算术）】【例1】（曾都区期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（）A．2517 B．6017 C．10017【解题思路】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．【解答过程】解：∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴DEBC∴x12∴x=60∴正方形CDEF的边长为6017故选：B．【变式1-1】（广西模拟）《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别位于AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH的长为（）A．0.95里 B．1.05里 C．2.05里 D．2.15里【解题思路】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．【解答过程】解：EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴FGFA∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，∴153.5解得：FH＝1.05里．故选：B．【变式1-2】（苏州期末）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形BCDE的边BE、CD表示井的直径，A在CB的延长线上，CD＝5尺，AB＝5尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根据以上条件，可求得井深BC为57.5尺．【解题思路】利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．【解答过程】解：设BC＝x尺．∵四边形BCDE是矩形，∴BF∥CD，∴△AFB∽△ADC，∴FBDC∴0.45解得x＝57.5，经检验：x＝57.5是分式方程的解．∴BC＝57.5（尺）．故答案为：57.5．【变式1-3】（芗城区校级一模）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长．【解题思路】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．【解答过程】解：∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴DEBC∴x12∴x=60∴正方形CDEF的边长为6017【题型2相似三角形的应用（影长问题）】【例2】（津南区模拟）如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为9米．【解题思路】根据CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可．【解答过程】解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD∥AB，则BE＝BC+CE＝10米，∵CD∥AB，∴△ECD∽△EBA∴CDAB=CE解得AB＝9（米），即路灯的高AB为9米；故答案为：9．【变式2-1】（碑林区校级月考）为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度EF．在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH＝1m．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2m．如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计．根据以上信息，求广告牌的高度EF．【解题思路】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△EFH∽△CDH，△EFG∽△ABG，进而利用相似三角形的性质得出EF的长．【解答过程】解：设广告牌的高度EF为xm，依题意知：DB＝5m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.5m．∴GD＝DB﹣BG＝3m，∴FG＝GD+DF＝4m．∵CD⊥BF，EF⊥BF，∴CD∥EF．∴△EFH∽△CDH．∴EFCD=FH∴x1.5∴DF=23由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB．∵AB⊥BF，∴∠ABG＝90°＝∠EFG．∴△EFG∽△ABG．∴EFAB=FG∴x1.5∴x＝3．故广告牌的高度EF为3m．【变式2-2】（秦皇岛一模）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯BC下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方．①计算小亮在路灯AD下的影长；②计算AD的高．【解题思路】解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解．【解答过程】解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，∴∠EPA＝∠CBA＝90°∵∠EAP＝∠CAB，∴△EAP∽△CAB∴EP∴1.8∴AB＝10BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，∴∠FQB＝∠DAB＝90°∵∠FBQ＝∠DBA，∴△BFQ∽△BDA∴FQ∴1.8∴DA＝12．【变式2-3】如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？【解题思路】（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP=16AB，再证明△BQN∽△BAC，利用相似比可得BQ=16AB，则16AB+12+AB＝AB（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得BNBN+18=1.6【解答过程】解：（1）如图1，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，APAB=PM∴AP=16∵NQ∥AC，∴△BNQ∽△BCA，∴BQBA=QN∴BQ=16而AP+PQ+BQ＝AB，∴16AB+12+16AB∴AB＝18．答：两路灯的距离为18m；（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴BNAN=BMAC，即答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．【题型3相似三角形的应用（杠杆问题）】【例3】（汉寿县期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2m．【解题思路】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得AOCO【解答过程】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO＝90°，又∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO，则AOCO∵AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，∴61解得：CD＝0.2，∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2m．故答案为：0.2．【变式3-1】．（南安市校级自主招生）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压60cm．【解题思路】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．【解答过程】解：如图；AM、BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AM∥BN；∵AM∥BN，∴△ACM∽△BCN；∴ACBC∵AC与BC之比为6：1，∴ACBC=AMBN=6∴当BN≥10cm时，AM≥60cm，故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压60cm．故答案为：60．【变式3-2】太原市某学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕定点O旋转到DC位置，已知栏杆AB的长为3.5m，OA的长为3m，C点到AB的距离为0.3m．支柱OE的高为0.5m，则栏杆D端离地面的距离为2.3m．【解题思路】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答过程】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴DGCH∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴DG0.3∴DG＝1.8m，∵OE＝0.5m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.5＝2.3m．故答案是：2.3m．【变式3-3】（秦都区期末）随着生活水平的提高，家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具，为此修建了很多停车场．如图，已知某停车场入口处的栏杆的长臂AO长是12米，短臂BO长是1.1米，当长臂端点垂直升高A′C＝9米时，短臂端点垂直下降了多少米？（栏杆宽度忽略不计）【解题思路】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题．【解答过程】解：∵A′C⊥AB，B′D⊥AB，∴∠OCA′＝∠ODB′＝90°，又∵∠COA′＝∠DOB′，∴△OCA′∽△ODB′．∴B′DA′C即B′D9∴B/【题型4相似三角形的应用（建筑物问题）】【例4】（市中区一模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中DE＝16cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是（）m．A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5【解题思路】先判定△DEF和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．【解答过程】解：在△DEF和△DCB中，∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，∴△DEF∽△DCB，∴DEEF即1612解得：BC＝78（m），∵AC＝1.8m，∴AB＝AC+BC＝1.8+78＝79.8（m），即树高79.8m，故选：C．【变式4-1】（韩城市模拟）真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名．小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ，于是，有一天，他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在C处放置一平面镜，她从点C沿QC后退，当退行1.8米到B处时，恰好在镜子中看到塔顶P的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为1.5米；然后，晓静在F处竖立了一根高1.6米的标杆EF，发现地面上的点M、标杆顶点E和塔顶P在一条直线上，此时测得FM为2.4米，CF为11.7米，已知PQ⊥QM，AB⊥QM，EF⊥QM，点Q、C、B、F、M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度PQ．【解题思路】根据已知条件推出△PCQ∽△ACB，求得QC＝1.2PQ，又根据相似三角形的性质得到PQ1.6【解答过程】解：∵∠PQC＝∠ABC＝90°，∠PCQ＝∠ACB，∴△PCQ∽△ACB，∴PQAB∴PQ1.5∴QC＝1.2PQ，∵∠PQF＝∠EFM＝90°，∠PMQ＝∠EMF，∴△PMQ∽△EMF，∴PQEF∴PQ1.6即PQ1.6∴PQ＝47，答：真身宝塔的高度PQ为47米．【变式4-2】（雁塔区校级二模）如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．【解题思路】根据相似三角形的判定和性质得出CD，进而解答即可．【解答过程】解：由题意可得，∠ACE＝∠EDF＝90°，∠AEC＝∠FED，∴△ACE∽△FDE，∴ACFD即3+BC4∴CD=5BC−5由题意可得，∠BCG＝∠FDG＝90°，∠BGC＝∠FGD，∴△BCG∽△FDG，∴BCFD即BC4∴6.5BC＝4（CD+6.5），∴6.5BC＝4×5BC−5∴BC＝14（米），∴这座建筑物的高BC为14米．【变式4-3】（凤翔县一模）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，GH⊥AC，AB⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．【解题思路】过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，构造相似三角形：△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度即可．【解答过程】解：过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，由题意可得：DP＝MQ＝AC，DN＝CF＝2米，MK＝CH，AP＝DC＝1.6米，AQ＝HK＝MC＝0.8米．∵∠EDN＝∠BDP，∠END＝∠BPD＝90°，∴△DEN∽△DBP，∴BPEN∴AB−1.62.4−1.6∵∠GMK＝∠BMQ，∠GKM＝BQM＝90°，∴△GMK∽△BMQ∴BQGK∴AB−0.82.4−0.8∴AB＝8.8（米）．答：这棵樱花树AB的高度是8.8米．【题型5相似三角形的应用（河宽问题）】【例5】（津南区模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点为D，若测得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，你能知道小河的宽是多少吗？【解题思路】先证明△ABD∽△ECD，利用对应边成比例可求出AB的长度．【解答过程】解：由已知得，∠ABD＝∠DCE＝90°，∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△ECD，∴ABEC将BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，代入可得：AB50解得：AB＝150．答：小河的宽是150m．【变式5-1】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一定A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD＝180米，DC＝60米，EC＝70米，请你求出小河的宽度是多少米？【解题思路】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算出AB即可得到小河的宽度．【解答过程】解：∵AB⊥BD，EC⊥BC，∴AB∥CE，∴△ABD∽△ECD，∴ABCE=BD∴AB＝210．答：小河的宽度是210米．【变式5-2】（崆峒区一模）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．【解题思路】根据相似三角形的性质得出PQPQ+QS【解答过程】解：根据题意得出：QR∥ST，则△PQR∽△PST，故PQPQ+QS∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，∴PQPQ+45解得：PQ＝90（m），∴河的宽度为90米．【变式5-3】（安国市期中）如图，洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸有一棵大树，底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，并且使AB与河岸垂直，在B处与地面垂直竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，与地面垂直竖起标杆DE，使得A、C、E三点共线．经测量，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m，求小河的宽度．【解题思路】由BC⊥AD，ED⊥AD，可得∴△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【解答过程】解：设小河的宽度AB＝xm，根据题意得：BC⊥AD，ED⊥AD，∴△ABC∽△ADE，∴AB：AD＝BC：ED，∴x：（x+5）＝1：1.5，解得x＝10，∴AB＝10，即小河的宽度为10米．【题型6相似三角形的应用（内接矩形问题）】【例6】（大理市期末）如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（）A．16 B．24 C．30 D．36【解题思路】根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为xcm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．【解答过程】解：∵四边形EGHF为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为xcm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，∵AD⊥BC，∴EFBC∴x60解得：x＝24．即：正方形零件的边长为24cm．故选：B．【变式6-1】（阳山县期末）如图，有一块锐