2019年全国中考数学分类汇编：压轴题(一)(含答案解析)

2019年全国中考数学分类汇编:

压轴题（一）

1.（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/-2尤-3与x轴交于点A,B（点、

A在点8的左侧），交y轴于点C,点。为抛物线的顶点，对称轴与彳轴交于点E.

（1）连结点M是线段8。上一动点（点M不与端点8,。重合），过点M作MN

VBD,交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NHLx轴，垂足为交BD

于点尸，点尸是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求//尸+仪+工尸。的最小值；

3

（2）在（1）中，当取得最大值，即+FP+UC取得最小值时，把点尸向上平移返

32

个单位得到点Q,连结AQ,把△A。。绕点O顺时针旋转一定的角度a（0°<a<360°）,

得到△&'OQ',其中边A'Q,交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,使

得N2=/Q0G?若存在，请直接写出所有满足条件的点0的坐标；若不存在，请说

2.（2019•德州）如图，抛物线旦〃x-4与x轴交于A（xi,0）,B（必0）两点，

2

与y轴交于点C,且尤2-无1

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P（xi,yi）,Q（%2,J2）是抛物线上的两点，当a4i4+2,X2N微■时，均有

yiWy2,求a的取值范围；

（3）抛物线上一点。（1,-5）,直线BO与y轴交于点E,动点M在线段8。上，当

/BZ）C=NMCE时，求点M的坐标.

3.（2019•天津）已知抛物线y=/-Zzr+c（b,c为常数，b>0）经过点A（-1,0）,点M

Cm,0）是无轴正半轴上的动点.

（I）当6=2时，求抛物线的顶点坐标；

（II）点。（"”））在抛物线上，当AM=AD,m=5时，求b的值；

（III）点。（6+工，y0）在抛物线上，当扬M+2QM的最小值为33M时,求6的值.

2-4

4.（2019•济宁）如图1,在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,E是CD边上一点，连接AE,

将矩形A8CZ）沿AE折叠，顶点。恰好落在BC边上点尸处，延长AE交BC的延长线于

点G.

（1）求线段CE的长；

（2）如图2,M,N分别是线段AG,OG上的动点（与端点不重合），且/。MN=/D4M,

设AM—x,DN—y.

①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；

②是否存在这样的点M,使△OMN是等腰三角形？若存在，请求出尤的值；若不存在，

请说明理由.

图1图2

5.（2019•自贡）（1）如图1,E是正方形A8CD边AB上的一点，连接3D、DE,将/SDE

绕点D逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.

①线段DB和DG的数量关系是；

②写出线段BE,BF和。8之间的数量关系.

（2）当四边形ABC。为菱形，NADC=60°,点E是菱形A8C。边AB所在直线上的一

点，连接B。、DE,将绕点。逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线BC

交于点厂和点G.

①如图2,点E在线段上时，请探究线段BE、和2。之间的数量关系，写出结论

并给出证明；

②如图3,点E在线段的延长线上时，OE交射线于点M,若BE=1,46=2,

直接写出线段GM的长度.

6.（2019•自贡）如图，已知直线与抛物线C：y=a?+2x+c相交于点A（-1,0）和点

B（2,3）两点.

（1）求抛物线C函数表达式；

（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA,MB为相邻的两边作平行

四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S

及点M的坐标；

（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点凡使抛物线C上任意一点P到点F的距离

等于到直线y=红的距离？若存在，求出定点厂的坐标；若不存在，请说明理由.

4

7.（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形0ABe的边长为4,边04,0c分别

在x轴，y轴的正半轴上，把正方形。48c的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为

好点.点P为抛物线y=-（尤-%）2+机+2的顶点.

（1）当机=0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数.

（2）当相=3时，求该抛物线上的好点坐标.

（3）若点P在正方形043c内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求相

的取值范围.

8.（2019•金华）如图，在等腰Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=14加,点。，E分别在

边AB,8c上，将线段ED绕点£按逆时针方向旋转90°得到EF.

（1）如图1,若AO=8D,点E与点C重合，与。C相交于点。求证：BD=2DO.

（2）已知点G为A尸的中点.

①如图2,若CE=2,求£>G的长.

②若AO=68D,是否存在点E,使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不

存在，试说明理由.

9.（2019•枣庄）已知抛物线>=依2+口+4的对称轴是直线彳=3,与x轴相交于A,B两点

2

（点8在点A右侧），与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式和A,8两点的坐标；

（2）如图1,若点尸是抛物线上8、C两点之间的一个动点（不与8、C重合），是否存

在点P,使四边形P80C的面积最大？若存在，求点尸的坐标及四边形P80C面积的最

大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2,若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N,

当MN=3时，求点M■的坐标.

10.（2019•达州）箭头四角形

模型规律

如图1,延长C。交于点。，则+

因为凹四边形A8OC形似箭头，其四角具有“NBOCM/A+/B+/C”这个规律，所以

我们把这个模型叫做“箭头四角形”.

模型应用

(1)直接应用：①如图2,ZA+ZB+ZC+ZZ)+Z£+ZF=.

②如图3,/ABE、/ACE的2等分线(即角平分线)BF、CF交于点尸，已知

120°,ZBAC=50°,则N2FC=.

③如图4,BOi、C。分别为NAB。、NAC。的2019等分线(i=l,2,3,…，2017,

2018).它们的交点从上到下依次为。1、。2、03、…、(92018.已知N80C=m°,ZBAC

—n,则N_BOioooC=度.

(2)拓展应用：如图5,在四边形ABC。中，BC=CD,/BCD=2/BAD.。是四边形

A8CD内一点，MOA=OB=OD.求证：四边形O8CZ)是菱形.

11.(2019•达州)如图2已知抛物线y=-7+bx+c过点A(1,0),B(-3,0).

u)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；

(2)设点。是x轴上一点，当tan(ZCAO+ZCDO)=4时，求点。的坐标；

(3)如图2.抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA

交BE于点交y轴于点N,ABMP和△EMN的面积分别为优、n,求m-n的最大值.

12.(2019•滨州)如图，在△ABC中，AB=AC,以A8为直径的。。分别与8C,AC交于

点D,E,过点。作。FLAG垂足为点尸.

(1)求证：直线。尸是OO的切线；

(2)求证：BC2=4CF'AC；

(3)若。。的半径为4,NCDF=15°,求阴影部分的面积.

13.(2019•滨州)如图①，抛物线y=-L2+L+4与y轴交于点A,与x轴交于点8,C,

82

将直线A8绕点A逆时针旋转90。，所得直线与x轴交于点D

(1)求直线AO的函数解析式；

(2)如图②，若点尸是直线上方抛物线上的一个动点

①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；

②当点P到直线AD的距离为？返时，求sinZPAD的值.

图①图②

14.（2019•青岛）已知：如图，在四边形ABCZ）中，AB//CD,ZACB=90°,AB=10cm,

BC=8cm,0。垂直平分AC.点尸从点2出发，沿胡方向匀速运动，速度为Icwi/s；

同时，点。从点。出发，沿。C方向匀速运动，速度为lcm/s；当一个点停止运动，另

一个点也停止运动.过点P作交BC于点E,过点。作。p〃AC,分别交AD,

。。于点凡G.连接OP,EG.设运动时间为f（s）（0<?<5）,解答下列问题：

（1）当t为何值时，点E在/BAC的平分线上？

（2）设四边形PEGO的面积为S（C77?）,求S与/的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻f,使四边形PEG。的面积最大？若存在，求出

/的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接OE,OQ,在运动过程中，是否存在某一时刻K使。ELOQ?若存在，求出

f的值；若不存在，请说明理由.

15.（2019•重庆）在平面直角坐标系中，抛物线y=-叵：2+叵与无轴交于A,台两

42

点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,顶点为。，对称轴与x轴交于点。.

(1)如图1,连接AC,BC.若点尸为直线BC上方抛物线上一动点，过点尸作PE〃y

轴交8C于点E,作P凡LBC于点尸，过点8作BG〃AC交y轴于点G.点”，K分别在

对称轴和y轴上运动，连接尸〃，HK.当APE厂的周长最大时，求PH+HK+1KG的最

2

小值及点H的坐标.

(2)如图2,将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点。时停止平移，此时抛

物线顶点记为。'，N为直线。。上一点，连接点。'，C,N,△/)'CN能否构成等腰

三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由.

16.(2019•安徽)一次函数〉=履+4与二次函数y=ad+c的图象的一个交点坐标为(1,2),

另一个交点是该二次函数图象的顶点

(1)求左，a,c的值；

(2)过点A(0,m)(0<m<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=a/+c的图象相交

于B,C两点，点。为坐标原点，记卬=。42+8。2,求卬关于小的函数解析式，并求卬

的最小值.

17.(2019•安徽)如图，Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点，且

NAPB=/BPC=135°.

(1)求证：△必BsAPBC；

(2)求证：B4=2PC；

（3）若点尸到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为刀1,hi,hi,求证/?12=历13.

18.（2019•扬州）如图，四边形ABC。是矩形，AB=20,BC=10,以CD为一边向矩形外

部作等腰直角△GOC,NG=90°.点M在线段A8上，且点尸沿折线-

OG运动，点。沿折线8C-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段尸。

//AB.设尸。与AB之间的距离为尤.

（1）若a—12.

①如图1,当点尸在线段上时，若四边形尸的面积为48,则x的值为；

②在运动过程中，求四边形尸的最大面积；

（2）如图2,若点尸在线段。G上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求。

的取值范围.

19.（2019•扬州）如图，已知等边AABC的边长为8,点尸是AB边上的一个动点（与点A、

8不重合）.直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点

B'.

（1）如图1,当尸8=4时，若点3'恰好在AC边上，则A4的长度为；

(2)如图2,当PB=5时，若直线1〃AC,则23'的长度为；

(3)如图3,点P在A8边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC,△AC8'的面积是

否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

(4)当PB=6时，在直线1变化过程中，求△AC8'面积的最大值.

20.(2019•南京)如图①，在RtaABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.求作菱形。EfG,

使点。在边AC上，点区F在边4B上，点G在边8c上.

小明的作法

1.如图②，在边AC上取一点。，过点。作。G〃AB交BC于点G.

2.以点。为圆心，0G长为半径画弧，交A8于点E.

3.在E8上截取连接FG,则四边形。EFG为所求作的菱形.

(1)证明小明所作的四边形。EEG是菱形.

(2)小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继

续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围.

21.(2019•南京)【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按

直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系尤Oy,对两

点A(xi,yi)和B(彳2,”)，用以下方式定义两点间距离：d(A,B)—\xi-xi\+\yi-

【数学理解】

(1)①已知点A(-2,1),则1(。，A)=.

②函数y=-2r+4(0WxW2)的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O,B)=3,则

点B的坐标是.

(2)函数>=23>0)的图象如图②所示.求证：该函数的图象上不存在点C,使d

x

(O,C)=3.

(3)函数y=/-5x+7(x20)的图象如图③所示，。是图象上一点，求d(。，D)的

最小值及对应的点D的坐标.

【问题解决】

(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以〃为起点，先沿方向到

某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？(要求：建立适

当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由)

22.(2019•宁波)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称

为邻余线.

(1)如图1,在△ABC中，AB^AC,是△ABC的角平分线，E,尸分别是AD

上的点.

求证：四边形A2EF是邻余四边形.

(2)如图2,在5X4的方格纸中，A,8在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形

ABEF,使A2是邻余线，E,尸在格点上.

(3)如图3,在(1)的条件下，取EF中点连结QM并延长交于点。延长EF

交AC于点N.若N为AC的中点，DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.

c

23.(2019•宁波)如图1,。。经过等边△ABC的顶点A,C(圆心。在△ABC内)，分别

与AB,CB的延长线交于点。，E,连结。E,8FLEC交AE于点况

(1)求证：BD=BE.

(2)当AREF=3：2,AC=6时，求AE的长.

(3)设tan/ZME=y.

EF

①求y关于x的函数表达式；

②如图2,连结。尸，OB,若△AEC的面积是△OEB面积的10倍，求y的值.

24.(2019•泰安)若二次函数y=a/+fov+c的图象与无轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,

-2),且过点C(2,-2).

(1)求二次函数表达式；

（2）若点尸为抛物线上第一象限内的点，且SAPBA=4,求点尸的坐标；

（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点使若存在，求出点M到

y轴的距离；若不存在，请说明理由.

25.（2019•泰安）如图，四边形48C。是正方形，是等腰直角三角形，点E在A8

上，且NCEP=90°,FG±AD,垂足为点C.

（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；

（2）若点X为CP的中点，GH与。X垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理

26.（2019•杭州）设二次函数y=（x-xi）（x-X2）Cxi,%2是实数）.

（1）甲求得当无=0时，y=0；当x=l时，y=0；乙求得当尤时，y=-若甲求

22

得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由.

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含XI,X2的代数式表示）.

（3）已知二次函数的图象经过（0,机）和（1,n）两点（相，”是实数），当0<xi<x2

<1时，求证：0<加〃<_1—.

16

27.(2019•杭州)如图，已知锐角三角形ABC内接于圆。，OOLBC于点。，连接04.

(1)若NA4C=60°,

①求证：0£)=104.

2

②当OA=l时，求△ABC面积的最大值.

(2)点E在线段。4上，OE=OD,连接QE,设ZACB=nZOED

(m,"是正数)，若/ABC<NACB,求证：-n+2=0.

28.(2019•盐城)如图所示，二次函数y=A(x-1)2+2的图象与一次函数-Z+2的

图象交于A、8两点，点8在点A的右侧，直线A8分别与x、y轴交于C、。两点，其

中左<0.

(1)求A、8两点的横坐标；

(2)若△048是以。4为腰的等腰三角形，求左的值；

(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数左，使得/OOC=2NBEC,

若存在，求出左的值；若不存在，说明理由.

x

29.(2019•泰州)如图，线段42=8,射线8GLA3,尸为射线BG上一点，以AP为边作

正方形APCD,且点C、。与点8在AP两侧，在线段。P上取一点E,使NEAP=/BAP,

直线CE与线段AB相交于点尸(点尸与点A、8不重合).

(1)求证：MAEP空△CEP；

(2)判断C尸与的位置关系，并说明理由;

(3)求△AEP的周长.

30.(2019•泰州)已知一次函数yi=fcr+w("＜0)和反比例函数＞2=2(相＞0,x＞0).

x

(1)如图1,若〃=-2,且函数以、”的图象都经过点A(3,4).

①求7”,左的值；

②直接写出当yi时x的范围；

(2)如图2,过点尸(1,0)作y轴的平行线/与函数"的图象相交于点8,与反比例

函数丫3=且(尤＞0)的图象相交于点C.

x

①若左=2,直线/与函数yi的图象相交点。.当点2、C、。中的一点到另外两点的距

离相等时，求相的值；

②过点B作x轴的平行线与函数yi的图象相交与点E.当m-n的值取不大于1的任意

实数时，点、B、C间的距离与点3、E间的距离之和d始终是一个定值.求此时上的值及

定值d.

31.(2019•成都)如图1,在△ABC中，AB=AC=20,tanB=2,,点。为BC边上的动点

4

(点。不与点3,C重合).以。为顶点作射线。E交AC边于点E,过点

A作交射线DE于点F,连接CE

(1)求证：AABDsADCE；

(2)当。E〃AB时(如图2),求AE的长;

(3)点。在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得。尸=C尸？若存在，求出

此时8。的长；若不存在，请说明理由.

32.(2019•成都)如图，抛物线》=0?+法+。经过点A(-2,5),与x轴相交于3(-1,0),

C(3,0)两点.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△88沿直线BD翻折得到4

BCD,若点。恰好落在抛物线的对称轴上，求点。和点D的坐标；

(3)设尸是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点。在抛物线的对称轴上，当△CP0为

等边三角形时，求直线的函数表达式.

33.(2019•温州)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-L+4分别交x轴、y轴于点3,

2

C,正方形AOCQ的顶点。在第二象限内，E是BC中点，OFLOE于点R连结OE.动

点P在4。上从点A向终点。匀速运动，同时，动点Q在直线2C上从某一点。1向终

点02匀速运动，它们同时到达终点.

(1)求点B的坐标和OE的长.

(2)设点。2为(m,71),当工■=Ltan/EQF时，求点02的坐标.

ITI7

(3)根据(2)的条件，当点尸运动到49中点时，点。恰好与点。重合.

①延长交直线BC于点。3,当点。在线段。2。3上时，设。3。=5,AP=t,求S关

于才的函数表达式.

②当PQ与AOEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长.

34.（2019•乐山）在△ABC中，已知。是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直

线分别交AB、AC于点£、F.

（1）如图1,当E尸〃时，求证：巫+d=1；

AEAF

（2）如图2,当EP和8C不平行，且点E、尸分别在线段A3、AC上时，（1）中的结论

是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

（3）如图3,当点E在的延长线上或点尸在AC的延长线上时，（1）中的结论是否

成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

35.（2019•乐山）如图，已知抛物线y=a（x+2）（x-6）与尤轴相交于A、8两点，与〉轴

交于C点，且tan/CA8=上.设抛物线的顶点为对称轴交无轴于点N.

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（〃，0）为x轴上一点，且

①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求”的变化范围；

②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；

③当“取最大值时，将线段C0向上平移/个单位长度，使得线段C。与抛物线有两个

交点，求f的取值范围.

（1）如图1,若〃=1,N是42延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM=BN.

（2）过点8作尸为垂足，连接CP并延长交42于点。.

①如图2,若〃=1,求证：空=型.

PQBQ

②如图3,若/是BC的中点，直接写出tan/BPQ的值.（用含”的式子表示）

37.（2019•武汉）已知抛物线Ci：y=（x-1）2-4和C2：j=x2

（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2?

（2）如图1,抛物线Q与x轴正半轴交于点A,直线y=-£+6经过点A,交抛物线

3

。于另一点8.请你在线段AB上取点P,过点尸作直线尸。〃y轴交抛物线C1于点。，

连接AQ.

①若AP=A。，求点P的横坐标；

②若依=2。直接写出点尸的横坐标.

（3）如图2,ZXMNE的顶点M、N在抛物线C2上，点〃在点N右边，两条直线ME、

NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行.若AMNE的面积为2,设

M、N两点的横坐标分别为机、n,求机与w的数量关系.

38.(2019•苏州)已知矩形A8C。中，AB=5aw,点尸为对角线AC上的一点，且AP=

2舟n.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A-BfC的方向匀速运动(不

包含点C).设动点M的运动时间为t(5),AAPM的面积为S(cm2),S与t的函数关

系如图②所示.

(1)直接写出动点M的运动速度为cm/s,BC的长度为cm；

(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同

时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着ACfB的方向匀速运动，设动点N

的运动速度为v(cmls).已知两动点N经过时间x(s)在线段8C上相遇(不包含

点C),动点M,N相遇后立即同时停止运动，记此时与△。尸N的面积分别为Si

(CITT),&(cm2)

①求动点N运动速度v(cm/s)的取值范围；

②试探究S「S2是否存在最大值，若存在，求出SLS2的最大值并确定运动时间x的值；

若不存在，请说明理由

39.(2019•苏州)如图①，抛物线y=-7+(a+1)x-。与x轴交于A,8两点(点A位于

点8的左侧)，与y轴交于点C.已知△A8C的面积是6.

(1)求a的值；

(2)求△ABC外接圆圆心的坐标；

(3)如图②，尸是抛物线上一点，0为射线CA上一点，且尸、。两点均在第三象限内，

。、A是位于直线8尸同侧的不同两点，若点尸到x轴的距离为d,△QP8的面积为2d,

40.(2019•荷泽)如图，抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,-2),点A

的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点，过点尸作PCx轴于点。，交直线8c于

点E,抛物线的对称轴是直线x=-1.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点尸在第二象限内，且PE=L?£）,求APBE的面积.

4

（3）在（2）的条件下，若M为直线8c上一点，在x轴的上方，是否存在点使4

8QM是以89为腰的等腰三角形？若存在，求出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

2019年全国中考数学分类汇编：

压轴题（一）

参考答案与试题解析

1.（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/-2尤-3与x轴交于点A,B（点、

A在点8的左侧），交y轴于点C,点。为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.

（1）连结8。，点/是线段8。上一动点（点/不与端点8,。重合），过点M作MN

-LBD,交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NHLx轴，垂足为H,交BD

于点尸，点尸是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求"F+EP+工PC的最小值；

3

（2）在（1）中，当MN取得最大值，族+尸尸+Uc取得最小值时，把点尸向上平移返

32

个单位得到点Q,连结AQ,把△A。。绕点0顺时针旋转一定的角度a（0°<a<360°）,

得到OQ1,其中边A'Q'交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,使

得N2=/Q，0G?若存在，请直接写出所有满足条件的点0的坐标；若不存在，请说

明理由.

【分析】（1）先确定点F的位置，可设点N（%，川-2m-3）,则点F（m,2m-6）,

可得|NF|=（2m-6）--2/77-3）=-m2+4m-3,根据二次函数的性质得m=一L

2a

=2时，NF取到最大值，此时取到最大值，此时族=2,此时下（2,-2）,在x

轴上找一点K（耳五，0）,连接CK,过点B作CK的垂线交CK于点/点，交y轴于

点P,sin/OCK=L直线KC的解析式为：尸-2&x-3,从而得到直线R7的解析

3

式为：联立解出点八2一2二,-19-4灭）得FP+LPC的最小值即为

■42993

FJ的长，且|印=L+也最后得出|小斗万+工PC|加"=7+4近；

3333

（2）由题意可得出点。（0,-2）,4。=遍，应用"直角三角形斜边上的中线等于斜边

上的一半”取A。的中点G,连接OG,贝!]OG=GQ=LQ=Y1,此时，ZAQO=Z

22

GOQ,把△49。绕点。顺时针旋转一定的角度a（0。<a<360°）,得到OQ',

其中边A'Q'交坐标轴于点G,则用OG=GQ）分四种情况求解.

【解答】解：（1）如图1

:抛物线y=7-2x-3与x轴交于点A,8(点A在点8的左侧)，交y轴于点C

...令y=0解得：xi--1,%2=3,令X=0,解得：y=-3,

AA(-1,0),B(3,0),C(0,-3)

2

•••点D为抛物线的顶点，且一旦=二2=1,4ac-b=4X1X(-3)-4=-4

2a24a4X1

.•.点。的坐标为。(1,-4)

直线BD的解析式为：y=2x-6,

由题意，可设点N(加，租2-2机-3),则点尸(机，2m-6)

\NF\—(2MJ-6)-(m2-2m-3)=-m2+4m-3

.•.当〃z=一k_=2时，NE取到最大值，此时MN取到最大值，此时液=2,

2a

此时，N(2,-3),F(2,-2),H(2,0)

在x轴上找一点K(国2,0),连接CK,过点尸作CK的垂线交CK于点/点，交y

4

轴于点P,

：.sinZOCK=L,直线KC的解析式为：y=-242x-3,且点尸(2,-2),

3

：.PJ=Lpc,直线E/的解析式为：丫=亚乂_4+&

3,42

.•.点j(2-2&,T9-4、氏

99_

，FP+Uc的最小值即为E7的长，且|E7]=L+_生巨

333

/.|HF+FP+」-PC|""R='+4企;

33

(2)由(1)知，点尸(0,产料),

_2

:把点P向上平移返个单位得到点。

2

...点Q(0,-2)

.•.在Rt^A。。中，ZAOG=90°，4。=遍，取A。的中点G,连接OG,贝UOG=G。

此时

=LQ=Y5,,ZAQO^ZGOQ

22

把△AOQ绕点。顺时针旋转一定的角度a(0°<a<360°),得到OQ',其中边

A'Q'交坐标轴于点G

轴于点/,S.ZGOQ'

则ZIOQ'^ZOA'Q'^ZOAQ,

\"sinZOAQ=四=-L=

AQ旄5__

sinZIOQ'=l^—=1^_=解得：\io\=^H-

0Qy255

...在Rt^O/Q中根据勾股定理可得071=当区

5

...点。'的坐标为。‘（空5,一生区）；

55

②如图3,

当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得2（-至£士后）

55

④如图5

综上所述，所有满足条件的点0的坐标为：(空名，-士后)，(2匹,空5),(-巫,

__55555

4旄f.W5一2炳、

555

【点评】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点求法和与几何图形结合的综合能

力的培养及直角三角形的中线性质.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起

来，利用通过求点的坐标来表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

2.(2019•德州)如图，抛物线与x轴交于A(xi,0),B(00)两点，

2

与y轴交于点C,且%2-%l=2L.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)若P(xi,yi),Q(必＞2)是抛物线上的两点，当%2三旦时，均有

2

yiW”，求〃的取值范围；

(3)抛物线上一点。(1,-5),直线瓦)与y轴交于点动点〃在线段瓦)上，当

NBOC=NMCE时，求点”的坐标.

【分析】(1)函数的对称轴为：尤=-上-="=2~,而且X2-=将上述两

2a422

式联立并解得：龙1=-上，X2=4,即可求解；

2

(2)由(1)知，函数的对称轴为：％=旦则尤=旦和尤=-2关于对称轴对称，故其函

42

数值相等，即可求解;

(3)确定△20C、△CDG均为等腰直角三角形，即可求解.

【解答】解：(1)函数的对称轴为：X=-*-=反=±_—,而且X2-X1=2L,

2a422

将上述两式联立并解得：X1=-反，X2=4,

2

则函数的表达式为：y—m(x+2)(x-4)—m(/-4x+2r-6),

22

即：-6〃z=-4,解得：m——,

3

故抛物线的表达式为：y=Z7-&r-4；

-33

(2)由(1)知，函数的对称轴为：x=2,

4

则和％=-2关于对称轴对称，故其函数值相等，

2

又aWxiWa+2,无2»旦时，均有yiW”，

2''

'a》-2

结合函数图象可得：/9,解得：-反；

a+2<y2

(3)如图，连接8C、CM,过点。作。G_LOE1于点G,

而点8、C、。的坐标分别为：(4,0)、(0,-4)、(1,-5),

则OB=OC=4,CG=GC=1,BC=4®CD=®,

故△BOC、△CDG均为等腰直角三角形，

.•.ZBC£>=180°-NOCB-/GCD=90°,

在Rtz\BC。中，tanN8£)C==4,

CD一版

NBDC=/MCE,

贝ijtan/MCE=4,

将点3、。坐标代入一次函数表达式：并解得：

直线8。的表达式为：>=且「型，故点E(0,-型)，

333

设点与L型)，过点M作MFUCE于点R

33

则MF=n,CF=OF-OC=3-显，

33

33

解得：n=—,

23

故点M(丝，-也0).

2323

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形性质等，

其中(3),确定△BOC、△CQG均为等腰直角三角形，是本题解题的关键.

3.(2019•天津)已知抛物线y=/-bx+c(b,c为常数，b>0)经过点A(-1,0),点M

(m,0)是x轴正半轴上的动点.

(I)当6