新高考数学二轮复习 易错点17 双曲线（解析版）

易错点17双曲线易错点1：焦点位置不确定导致漏解要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道SKIPIF1<0之间的大小关系和等量关系：易错点2：双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径；易错点3：直线与双曲线的位置关系忽视直线斜率与渐近线平行的情况；在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.题组一：定义与标准方程1．（2015福建理）若双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A．11B．9C．5D．3【答案】B【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B．2．（2019年新课标1卷）已知椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解答】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝SKIPIF1<0，∴|AF2|＝a，|BF1|＝SKIPIF1<0，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝SKIPIF1<0，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝SKIPIF1<0，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得SKIPIF1<0，解得a2＝3，∴SKIPIF1<0．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以椭圆C的方程为SKIPIF1<0故选：B．3．（2017新课标Ⅲ理）已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，且与椭圆SKIPIF1<0有公共焦点，则SKIPIF1<0的方程为A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，故选B．4.（2016年新课标1卷）已知方程SKIPIF1<0EQ\F(x2,m2+n)表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A.(-1,3)B.(-1,EQ\R(3))C.(0,3)D.(0,EQ\R(3))【答案】A【解析】由题意知c=2,SKIPIF1<0,因为方程SKIPIF1<0EQ\F(x2,m2+n)表示双曲线，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故选A.题组二：焦点三角形5．（2020·新课标Ⅰ文）设SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的两个焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【解析】由已知，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上，即SKIPIF1<0是以P为直角顶点的直角三角形，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选B．6．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】解法一：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据双曲线的定义可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选A．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0=4，则SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．解法三：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求的SKIPIF1<0．7.（2015全国1卷）已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上的一点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的两个焦点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】法1：根据题意SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故选A.秒杀法2：SKIPIF1<0当由等面积得：SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为钝角，根据变化规律，可得SKIPIF1<0故选A.8．(2016全国II理)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．2【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入双曲线方程，得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选A．题组三：渐进线9．（2019全国3卷）双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨设点在第一象限，可得，，所以的面积为：,故选A．10．(2018全国2卷)双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则其渐近线方程为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】解法一由题意知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以该双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，故选A．解法二由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以该双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0．故选A．11．（2017天津理）已知双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．若经过SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，由题意有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选B．12．（2015新课标1文）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为．【答案】SKIPIF1<0【解析】∵双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为SKIPIF1<0，又双曲线过点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故双曲线的方程为SKIPIF1<0．题组四：离心率13．(2021年高考全国甲卷理科)已知SKIPIF1<0是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且SKIPIF1<0，则C的离心率为 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0,由余弦定理可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：A14．(2021全国乙卷理科)设SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的上顶点，若SKIPIF1<0上的任意一点SKIPIF1<0都满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率的取值范围是 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，符合题意，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得，SKIPIF1<0，显然该不等式不成立．故选：C．15．（2019全国1卷）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0的两条渐近线分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为．【答案】2【解析】如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴OA⊥F1B，则F1B：SKIPIF1<0=1\*GB3①，渐近线OB为SKIPIF1<0=2\*GB3②联立=1\*GB3①=2\*GB3②，解得BSKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<016．（2019全国2卷）设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为().A． B． C．2 D．【答案】A【解析】法1：由题意，把代入，得，再由，得，即，所以，解得.故选A．法2：如图所示，由可知为以为直径圆的另一条直径，所以，代入得，所以，解得.故选A．法3：由可知为以为直径圆的另一条直径，则，.故选A．题组五：距离17．【2020年高考北京卷12】已知双曲线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的右焦点的坐标为________；SKIPIF1<0的焦点到其渐近线的距离是__________．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】∵双曲线SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴右焦点坐标为SKIPIF1<0，∵双曲线中焦点到渐近线距离为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．18．【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的渐近线的距离为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0到渐近线的距离SKIPIF1<0，故选D．19.（2018全国1卷）已知双曲线C：eq\f(x2,3)-y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若ΔOMN为直角三角形，则|MN|=____.【答案】3【解析】因为双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．不妨设过点SKIPIF1<0的直线与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为直角三角形，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．20．【2020年高考浙江卷8】已知点SKIPIF1<0．设点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0图像上的点，则SKIPIF1<0 （）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．【答案】D【解析】由条件可知点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为焦点的双曲线的右支上，并且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，方程为SKIPIF1<0且点SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0上的点，联立方程SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选D．1.等轴双曲线SKIPIF1<0的中心在原点，焦点在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的准线交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0的实轴长为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】设等轴双曲线C:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的准线SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的准线交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,将A点代入双曲线方程得SKIPIF1<0，故选C.2.双曲线的渐进线方程为SKIPIF1<0，且焦距为10，则双曲线方程为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】当焦点在x轴时，渐进线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线的方程为SKIPIF1<0.焦点在y轴时，渐进线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线的方程为SKIPIF1<0.故选D.3.已知双曲线SKIPIF1<0的中心为原点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的焦点，过F的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于A，B两点，且AB的中点为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的方程式为()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】由双曲线SKIPIF1<0的中心为原点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的焦点可设双曲线的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的方程式为SKIPIF1<0．应选B．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的渐近线方程为()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0故选C.5.已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的一个焦点，则点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的一条渐近线的距离为()A.SKIPIF1<0B.3C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】由C:SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，则点F到C得一条渐近线得距离SKIPIF1<0故选A.6.P是双曲线右支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为.【答案】x=a【解析】如图所示：SKIPIF1<0，设内切圆与x轴的切点是点H，PF1,PF2与内切圆的切点分别为M、N，由双曲线定义有|PF1|-|PF2|=2a，由圆的切线长定理知，|PM|=|PN|,所以|MF1|-|NF2|=2a,即|HF1|-|HF2|=2a,设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，所以（x+c)-(c-x)=2a,得x=a.7.已知F1、F2为双曲线C：SKIPIF1<0的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为________.【答案】SKIPIF1<0【解析】法1：设SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0,根据双曲线定义SKIPIF1<0=1\*GB3①，在ΔPF1F2中，根据余弦定理SKIPIF1<0SKIPIF1<0=2\*GB3②联立=1\*GB3①=2\*GB3②得SKIPIF1<0，设P到x轴得距离为h，则SKIPIF1<0秒杀法2：由等面积得：SKIPIF1<0设P到x轴得距离为h，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<08.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为_____.【答案】SKIPIF1