新高考数学二轮复习 易错点3函数概念与基本函数（解析版）

易错点03函数概念与基本函数易错点1：求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则；研究与函数有关的问题时，一定要先明确函数的定义域是什么，才能进行下一步工作。易错点2：判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系得到结论；易错点3：根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值,作差,判正负)；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.易错点4：指对型函数比较大小要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）.易错点5：用函数图象解题时作图不准“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。易错点6：在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件；要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）；易错点7：抽象函数的推理不严谨致误；所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点;解决抽象函数的方法有：换元法、方程组法、待定系数法、赋值法、转化法、递推法等；考点一：函数的单调性和奇偶性1．(2021年高考全国甲卷理科)设函数SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0是奇函数，所以SKIPIF1<0①；因为SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0②．令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，由②得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．思路一：从定义入手．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．故选：D．2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】1.对于A，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的减函数，不合题意，舍.对于B，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的减函数，不合题意，舍.对于C，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为减函数，不合题意，舍.对于D，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，符合题意，故选：D.3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数SKIPIF1<0，则下列函数中为奇函数的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由题意可得SKIPIF1<0，对于A，SKIPIF1<0不是奇函数；对于B，SKIPIF1<0是奇函数；对于C，SKIPIF1<0，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，SKIPIF1<0，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B4．(2021年高考全国乙卷理科)设函数SKIPIF1<0，则下列函数中为奇函数的是 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意可得SKIPIF1<0，对于A，SKIPIF1<0不是奇函数；对于B，SKIPIF1<0是奇函数；对于C，SKIPIF1<0，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，SKIPIF1<0，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选：B5. （2021新高考2卷）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0为奇函数，则（）ASKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为周期的周期函数，因为函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，其它三个选项未知.故选：B6．（2021年上海卷）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数() A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题易知，只有SKIPIF1<0既是奇函数又是减函数，故选A考点二：指对型函数比较大小1. （2021年天津卷5）设SKIPIF1<0，则a，b，c的大小关系为A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D.2.（2021年新高考2卷7）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列判断正确的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：C.3．（2020年全国2卷11）若SKIPIF1<0，则 A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故选A．4．（2021年全国1卷理12）若SKIPIF1<0，则 A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由指数与对数运算可得：SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由指对函数单调性可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递增，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以选B.5．（2019全国Ⅲ理11）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则A．B．C．D．【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，所以，

因为，，所以，

又在上单调递减，所以.故选C．6.（2015年全国2卷12）设函数f’(x)是奇函数的导函数，SKIPIF1<0，当时，，则使得成立的x的取值范围是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】【解析】令，因为为奇函数，所以为偶函数，由于，当时，，所以在上单调递减，根据对称性在上单调递增，又，，数形结合可知，使得成立的的取值范围是．考点三、函数的图像与性质1. （2021年天津卷3）函数SKIPIF1<0的图像大致为A. B.C. D.【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，关于原点对称，又SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为偶函数，排除AC；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，排除D.故选：B.2.（2019全国Ⅲ理7）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的图像大致为B．C．D．【解析】因为SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，因此排除C，

又SKIPIF1<0，因此排除A，D．故选B．3．（2021年浙江卷7）已知函数SKIPIF1<0，则图象为右图的函数可能是（）. A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0 【答案】D 【解析】SKIPIF1<0是偶函数，SKIPIF1<0是奇函数，由于图象是奇函数，所以C，D正确，由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C选项不符合，故选D．4．（2021年全国甲卷16）已知函数SKIPIF1<0的部分图象如图所示，则满足条件SKIPIF1<0的最小正整数SKIPIF1<0为_____________.【答案】2【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，等价于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由图像得最小整数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0★5.（2015年全国2卷）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（）【答案】B【解析】由于SKIPIF1<0，故排除选项C、D；当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0．不难发现SKIPIF1<0的图像是非线性，排除A．故选B.★6.（2014年全国1卷）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角SKIPIF1<0的始边为射线SKIPIF1<0，终边为射线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离表示为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0在[0,SKIPIF1<0]上的图像大致为（）【答案】C【解析】由题意知，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故选C．考点四、分段函数1．（2021年浙江卷12）已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0． 【答案】2 【解析】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0．2．（2015新课标Ⅱ）设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．3B．6C．9D．12【答案】C【解析】由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．3.（2017新课标Ⅲ）设函数SKIPIF1<0则满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范围是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0时，不等式为SKIPIF1<0恒成立；当SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立；当SKIPIF1<0时，不等式为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；综上，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．

4．(2014新课标)设函数SKIPIF1<0则使得SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范围是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，综上SKIPIF1<0．5. （2021年天津卷9）设SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内恰有6个零点，则a的取值范围是A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0最多有2个根，所以SKIPIF1<0至少有4个根，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，（1）SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有4个零点，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有5个零点，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有6个零点，即SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0无零点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有1个零点；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0有2个零点；所以若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有1个零点.综上，要使SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内恰有6个零点，则应满足SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则可解得a的取值范围是SKIPIF1<0.6.(2018全国卷Ⅰ)已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）【答案】C【解析】函数SKIPIF1<0存在2个零点，即关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有2个不同的实根，即函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0有2个交点，作出直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象，如图所示，由图可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选C．1.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（）.A．[-2,2]QUOTE[−2,2]B．[-1,2]QUOTE[−1,1]C．[0,4]QUOTE[0,4]D．[1,3]【答案】D【解析】由函数SKIPIF1<0为奇函数，得SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，所以得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，选D．2．设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域都为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0是偶函数，则下列结论正确的是（）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0是偶函数B．SKIPIF1<0|SKIPIF1<0|是奇函数C．|SKIPIF1<0|SKIPIF1<0是奇函数D．|SKIPIF1<0SKIPIF1<0|是奇函数【答案】B【解析】SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0为偶函数，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0|SKIPIF1<0|为奇函数，|SKIPIF1<0|SKIPIF1<0为偶函数，|SKIPIF1<0SKIPIF1<0|为偶函数，故选B．3．下列函数中，既是偶函数又在SKIPIF1<0单调递增的函数是()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，在SKIPIF1<0上为减函数．4.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，指数函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，故选A．5.若SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】选项A，考虑幂函数SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为增函数，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A错．对于选项B，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C．6．设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．3B．6C．9D．12【答案】C【解析】由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．7.