新高考数学二轮复习 专题突破 专题6 第2讲　圆锥曲线的方程与性质（含解析）

第2讲圆锥曲线的方程与性质[考情分析]高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．考点一圆锥曲线的定义与标准方程核心提炼1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．例1(1)(2022·衡水中学模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2＋eq\r(2)，则该椭圆方程为()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1答案D解析设椭圆的半焦距为c，因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以AP⊥PF1.又因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1.又因为|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2B是等腰直角三角形，于是△F1AP也是等腰直角三角形，因为|AP|＝2＋eq\r(2)，所以|F1A|＝eq\r(2)(2＋eq\r(2))，得a＋c＝eq\r(2)(2＋eq\r(2))，又b＝c，所以a＝eq\r(2)c，解得a＝2eq\r(2)，c＝2，得b2＝a2－c2＝4，所以椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.答案4解析延长F2M交PF1于点Q，由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点．根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，即|QF1|＝2a，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，所以|MO|＝eq\f(1,2)|QF1|＝a＝4.易错提醒求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．跟踪演练1(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1答案D解析设双曲线方程为eq\f(x2,2m)－eq\f(y2,m)＝1(m≠0)，∵2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.故所求双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1.(2)已知A，B是抛物线y2＝8x上两点，当线段AB的中点到y轴的距离为3时，|AB|的最大值为()A．5 B．5eq\r(2)C．10 D．10eq\r(2)答案C解析设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，线段AB的中点为M.如图，分别过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为C，D，N，连接AF，BF.因为线段AB的中点到y轴的距离为3，抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2，所以|MN|＝5.因为|AB|≤|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MN|＝10，当且仅当A，B，F三点共线时取等号，所以|AB|max＝10.考点二椭圆、双曲线的几何性质核心提炼1．求离心率通常有两种方法(1)求出a，c，代入公式e＝eq\f(c,a).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．2．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．考向1椭圆、双曲线的几何性质例2(2022·河南五市联考)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心的圆恰好与双曲线C的两条渐近线相切，且该圆恰好经过线段OF2的中点，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(3)x B．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±eq\f(2\r(3),3)x D．y＝±2x答案B解析由题意知，渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，焦点F2(c，0)，c2＝a2＋b2，因为以F2为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，则圆的半径r等于圆心到切线的距离，即r＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(±\f(b,a)·c)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(b,a)))2))＝b，又该圆过线段OF2的中点，故eq\f(c,2)＝r＝b，所以eq\f(b,a)＝eq\r(\f(b2,a2))＝eq\r(\f(b2,c2－b2))＝eq\f(\r(3),3).所以渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x.考向2离心率问题例3(2022·全国乙卷改编)双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2＝eq\f(3,5)，则C的离心率为()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\f(3,2)C.eq\f(\r(13),2)或eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(17),2)或eq\f(3,2)答案C解析不妨设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1(－c，0)，F2(c，0)．当两个交点M，N在双曲线两支上时，如图1所示，图1设过F1的直线与圆D相切于点P，连接OP，由题意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，所以|F1P|＝b.过点F2作F2Q⊥F1N，交F1N于点Q.由中位线的性质，可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.因为cos∠F1NF2＝eq\f(3,5)，所以sin∠F1NF2＝eq\f(4,5)，故|NF2|＝eq\f(5,2)a，|QN|＝eq\f(3,2)a，所以|NF1|＝|F1Q|＋|QN|＝2b＋eq\f(3,2)a.由双曲线的定义可知|NF1|－|NF2|＝2a，所以2b＋eq\f(3,2)a－eq\f(5,2)a＝2a，所以2b＝3a.两边平方得4b2＝9a2，即4(c2－a2)＝9a2，整理得4c2＝13a2，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(13,4)，故eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),2)，即e＝eq\f(\r(13),2).当两个交点M，N都在双曲线上的左支上时，如图2所示，图2同理可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.因为cos∠F1NF2＝eq\f(3,5)，所以sin∠F1NF2＝eq\f(4,5)，可得|NF2|＝eq\f(5,2)a，|NQ|＝eq\f(3,2)a，所以|NF1|＝|NQ|－|QF1|＝eq\f(3,2)a－2b，所以|NF2|＝|NF1|＋2a＝eq\f(7,2)a－2b，又|NF2|＝eq\f(5,2)a，所以eq\f(7,2)a－2b＝eq\f(5,2)a，即a＝2b，故e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(5),2).综上，C的离心率为eq\f(\r(13),2)或eq\f(\r(5),2).规律方法(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．跟踪演练2(1)(2022·全国甲卷)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq\f(1,4)，则C的离心率为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)答案A解析设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，所以kAP·kAQ＝eq\f(n,m＋a)·eq\f(n,－m＋a)＝eq\f(n2,a2－m2)＝eq\f(1,4).(*)因为点P在椭圆C上，所以eq\f(m2,a2)＋eq\f(n2,b2)＝1，得n2＝eq\f(b2,a2)(a2－m2)，代入(*)式，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),2).故选A.(2)(2022·衡水中学模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|，则下列结论正确的是________．(填序号)①∠AF1B＝∠F1AB；②双曲线的离心率e＝eq\f(\r(33),3)；③双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(6),3)x；④原点O在以F2为圆心，|AF2|为半径的圆上．答案①②解析设|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|＝2m，则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝3m.由双曲线的定义知，|AF1|－|AF2|＝2m－m＝2a，即m＝2a，又|BF1|－|BF2|＝2a，即|BF1|－2m＝m，∴|BF1|＝3m＝|AB|，∠AF1B＝∠F1AB，故①正确；由余弦定理知，在△ABF1中，cos∠AF1B＝eq\f(|AF1|2＋|BF1|2－|AB|2,2|AF1|·|BF1|)＝eq\f(4m2＋9m2－9m2,2·2m·3m)＝eq\f(1,3)，在△AF1F2中，cos∠F1AB＝eq\f(|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2,2·|AF1|·|AF2|)＝eq\f(4m2＋m2－4c2,2·2m·m)＝cos∠AF1B＝eq\f(1,3)，化简整理得12c2＝11m2＝44a2，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(44,12))＝eq\f(\r(33),3)，故②正确；双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(\f(c2－a2,a2))x＝±eq\r(e2－1)x＝±eq\f(2\r(6),3)x，故③错误；若原点O在以F2为圆心，|AF2|为半径的圆上，则c＝m＝2a，与eq\f(c,a)＝eq\f(\r(33),3)相矛盾，故④错误．考点三抛物线的几何性质核心提炼抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.例4(1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，射线FM与y轴交于点A(0,2)，与抛物线C的准线交于点N，eq\o(FM,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5),5)eq\o(MN,\s\up6(→))，则p的值等于()A.eq\f(1,8)B．2C.eq\f(1,4)D．4答案B解析设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B.由抛物线的定义知，|MM′|＝|FM|.因为eq\f(|FM|,|MN|)＝eq\f(\r(5),5)，所以eq\f(|MM′|,|MN|)＝eq\f(\r(5),5)，即cos∠NMM′＝eq\f(|MM′|,|MN|)＝eq\f(\r(5),5)，所以cos∠OFA＝cos∠NMM′＝eq\f(\r(5),5)，而cos∠OFA＝eq\f(|OF|,|AF|)＝eq\f(\f(p,2),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2＋22))＝eq\f(\r(5),5)，解得p＝2.(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p，0)．若|AF|＝|AM|，则下列结论正确的是________．(填序号)①直线AB的斜率为2eq\r(6)；②|OB|＝|OF|；③|AB|>4|OF|；④∠OAM＋∠OBM<180°.答案①③④解析对于①，由题意，得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).因为|AF|＝|AM|，且M(p，0)，所以xA＝eq\f(xF＋xM,2)＝eq\f(3,4)p，将其代入抛物线方程y2＝2px，得yA＝eq\f(\r(6),2)p，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)p，\f(\r(6),2)p))，所以直线AB的斜率kAB＝kAF＝eq\f(\f(\r(6),2)p－0,\f(3,4)p－\f(p,2))＝2eq\r(6)，故①正确；对于②，根据①的分析，知直线AB的方程为y＝2eq\r(6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，代入y2＝2px，得12x2－13px＋3p2＝0，解得x＝eq\f(3,4)p或x＝eq\f(1,3)p，所以xB＝eq\f(1,3)p，所以yB＝－eq\f(\r(6),3)p，所以|OB|＝eq\r(x\o\al(2,B)＋y\o\al(2,B))＝eq\f(\r(7),3)p≠|OF|，故②不正确；对于③，由抛物线的定义及①②的分析，得|AB|＝xA＋xB＋p＝eq\f(13,12)p＋p＝eq\f(25,12)p>2p，即|AB|>4|OF|，故③正确；对于④，易知|OA|＝eq\f(\r(33),4)p，|AM|＝eq\f(5,4)p，|OB|＝eq\f(\r(7),3)p，|BM|＝eq\f(\r(10),3)p，则cos∠OAM＝eq\f(|OA|2＋|AM|2－|OM|2,2|OA|·|AM|)＝eq\f(\f(33,16)p2＋\f(25,16)p2－p2,2×\f(\r(33),4)p·\f(5,4)p)＝eq\f(21,5\r(33))>0，cos∠OBM＝eq\f(|OB|2＋|BM|2－|OM|2,2|OB|·|BM|)＝eq\f(\f(7,9)p2＋\f(10,9)p2－p2,2×\f(\r(7),3)p·\f(\r(10),3)p)＝eq\f(4,\r(70))>0，所以∠OAM<90°，∠OBM<90°，所以∠OAM＋∠OBM<180°，故④正确．规律方法利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．跟踪演练3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．答案x＝－eq\f(3,2)解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq\f(|OF|,|PF|)＝eq\f(|PF|,|FQ|)，即eq\f(\f(p,2),p)＝eq\f(p,6)，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).方法二(应用射影定理法)由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).(2)(2022·济宁模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(BF,\s\up6(→))，则线段BC的中点到准线的距离为()A．3B．4C．5D．6答案B解析由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，渐近线的方程为x＝－1，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(BF,\s\up6(→))，可得eq\f(|AB|,|BF|)＝eq\r(2)，由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图所示，作BE垂直准线于点E，准线交x轴于点N，则|BF|＝|BE|，故eq\f(|AB|,|BF|)＝eq\f(|AB|,|BE|)＝eq\r(2)，故∠ABE＝eq\f(π,4)，而BE∥x轴，故∠AFN＝eq\f(π,4)，所以直线AB的倾斜角为eq\f(π,4)，所以直线AB的方程为y＝x－1，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x，))整理可得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，所以BC的中点的横坐标为3，则线段BC的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.专题强化练一、选择题1．(2022·中山模拟)抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为()A．y2＝4x B．y2＝8xC．y2＝12x D．y2＝16x答案B解析因抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，则p>0，抛物线准线方程为x＝－eq\f(p,2)，由抛物线定义得1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)))＝3，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.2．已知双曲线eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的一个焦点为F(3,0)，则其渐近线方程为()A．y＝±eq\f(\r(2),4)x B．y＝±2eq\r(2)xC．y＝±2x D．y＝±eq\f(1,2)x答案A解析因为双曲线eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的一个焦点为F(3,0)，所以由m＋1＝32，得m＝8，所以双曲线方程为eq\f(x2,8)－y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),4)x.3．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于()A．2B．2eq\r(2)C．3D．3eq\r(2)答案B解析方法一由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)，y0))，则由抛物线的定义可知|AF|＝eq\f(y\o\al(2,0),4)＋1.因为|BF|＝3－1＝2，所以由|AF|＝|BF|，可得eq\f(y\o\al(2,0),4)＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．不妨取A(1,2)，则|AB|＝eq\r(1－32＋2－02)＝eq\r(8)＝2eq\r(2)，故选B.方法二由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以|AB|＝eq\r(22＋22)＝eq\r(8)＝2eq\r(2).故选B.4.(2022·潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为()A.eq\f(5,3)B.eq\f(5,4)C.eq\f(4,3)D.eq\f(4,5)答案B解析点F(0，c)到渐近线y＝±eq\f(a,b)x，即ax±by＝0的距离d＝eq\f(|±bc|,\r(a2＋b2))＝b＝12，又由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝36，,a2＋122＝c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝16，,c＝20，))所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(20,16)＝eq\f(5,4).5．(2022·石家庄模拟)已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M(3,4)，则|PM|＋|PN|的最小值是()A．2eq\r(5)－1B.eq\r(5)－1C.eq\r(5)＋1D．2eq\r(5)＋1答案A解析由抛物线C：y2＝4x知，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，由抛物线定义知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1，当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PN|最小，最小值为|MF|－1＝eq\r(3－12＋4－02)－1＝2eq\r(5)－1.6．(2022·福州质检)已知点F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，且满足AF1⊥AB，eq\f(|AF1|,|AB|)＝eq\f(4,3)，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(6),3)答案B解析如图所示，设|AF1|＝4x，则|AB|＝3x，因为AF1⊥AB，则|BF1|＝eq\r(|AB|2＋|AF1|2)＝5x，由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝12x，则x＝eq\f(a,3)，所以|AF1|＝4x＝eq\f(4a,3)，则|AF2|＝2a－eq\f(4a,3)＝eq\f(2a,3)，由勾股定理可得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)))2＝4c2，则c＝eq\f(\r(5),3)a，因此该椭圆的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).7．(2022·临沂模拟)2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列结论错误的是()A．椭圆的长轴长为4eq\r(2)B．|AB|的取值范围是[4,2＋2eq\r(2)]C．△ABF面积的最小值是4D．△AFG的周长为4＋4eq\r(2)答案C解析由题意知，椭圆中的几何量b＝c＝2，得a＝2eq\r(2)，则2a＝4eq\r(2)，A正确；|AB|＝|OB|＋|OA|＝2＋|OA|，由椭圆性质可知2≤|OA|≤2eq\r(2)，所以4≤|AB|≤2＋2eq\r(2)，B正确；记∠AOF＝θ，则S△ABF＝S△AOF＋S△OBF＝eq\f(1,2)|OA|·|OF|sinθ＋eq\f(1,2)|OB|·|OF|sin(π－θ)＝|OA|sinθ＋2sinθ＝(|OA|＋2)sinθ，取θ＝eq\f(π,6)，则S△ABF＝1＋eq\f(1,2)|OA|<1＋eq\f(1,2)×2eq\r(2)<4，C错误；由椭圆定义知|AF|＋|AG|＝2a＝4eq\r(2)，所以△AFG的周长L＝|FG|＋4eq\r(2)＝4＋4eq\r(2)，D正确．8．(2022·济宁模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则下列结论正确的是()A．||PA1|－|PA2||＝2aB．若焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为5C．若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之积为eq\f(1,2)D．若双曲线C为等轴双曲线，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，则∠PA1A2＝eq\f(π,10)答案D解析对于A，在△PA1A2中，根据三角形两边之差小于第三边，可知||PA1|－|PA2||<|A1A2|＝2a，故A错误；对于B，焦点F2(c，0)，渐近线不妨取y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，设F2关于双曲线C的渐近线的对称点为(m，n)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n,m－c)×\f(b,a)＝－1，,b×\f(m＋c,2)－a×\f(n,2)＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(a2－b2,c)，,n＝\f(2ab,c)，))即F2关于双曲线C的渐近线的对称点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2－b2,c)，\f(2ab,c)))，由题意知该点在双曲线上，故eq\f(a2－b22,a2c2)－eq\f(2ab2,b2c2)＝1，将c2＝a2＋b2代入，化简整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝5，即e＝eq\r(5)，故B错误；对于C，双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)，设P(x0，y0)(y0≠0)，则xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,0)＝a2，即xeq\o\al(2,0)－a2＝yeq\o\al(2,0)，故SKIPIF1<0＝eq\f(y0,x0＋a)·eq\f(y0,x0－a)＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－a2)＝1，故C错误；对于D，双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，设∠PA1A2＝θ，∠A1PA2＝3θ，则∠PA2x＝4θ，根据选项C的结论知SKIPIF1<0＝1，即有tanθ·tan4θ＝1，∴eq\f(sinθ,cosθ)·eq\f(sin4θ,cos4θ)＝1，∴cos5θ＝0，∵θ＋3θ∈(0，π)，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，5θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,4)))，∴5θ＝eq\f(π,2)，∴∠PA1A2＝θ＝eq\f(π,10)，故D正确．二、填空题9．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：______________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为eq\f(1,3).答案eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1(答案不唯一)解析只要椭圆方程形如eq\f(x2,9m)＋eq\f(y2,8m)＝1(m>0)或eq\f(y2,9m)＋eq\f(x2,8m)＝1(m>0)即可．10．(2022·淄博模拟)已知P1，P2，…，P8是抛物线x2＝4y上不同的点，且F(0,1)．若eq\o(FP1,\s\up6(→))＋eq\o(FP2,\s\up6(→))＋…＋eq\o(FP8,\s\up6(→))＝0，则|eq\o(FP1,\s\up6(→))|＋|eq\o(FP2,\s\up6(→))|＋…＋|eq\o(FP8,\s\up6(→))|＝________.答案16解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，…，P8(x8，y8),P1，P2，P3，…，P8是抛物线x2＝4y上不同的点，点F(0,1)，准线为y＝－1，则eq\o(FPi,\s\up6(→))＝(xi，yi－1)(i＝1,2，…，8)，所以eq\o(FP1,\s\up6(→))＋eq\o(FP2,\s\up6(→))＋…＋eq\o(FP8,\s\up6(→))＝(x1＋x2＋…＋x8，(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y8－1))＝0，所以(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y8－1)＝0，即y1＋y2＋y3＋…＋y8＝8，∴|eq\o(FP1,\s\up6(→))|＋|eq\o(FP2,\s\up6(→))|＋…＋|eq\o(FP8,\s\up6(→))|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋…＋(y8＋1)＝y1＋y2＋…＋y8＋8＝16.11．(2022·济南模拟)已知椭圆C1：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的焦点分别为F1，F2，且F2是抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点，若P是C1与C2的交点，且|PF1|＝7，则cos∠PF1F2的值为________．答案eq\f(5,7)解析依题意，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝12，而|PF1|＝7，则|PF2|＝5，因为点F2是抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线l过点F1，如图，过点P作PQ⊥l于点Q，由抛物线定义知|PQ|＝|PF2|＝5，而F1F2∥PQ，则∠PF1F2＝∠F1PQ，所以cos∠PF1F2＝cos∠F1PQ＝eq\f(|PQ|,|PF1|)＝eq\f(5,7).12．(2022·福州质检)已知O为坐标原点，F是双