案例7：电力系统短路分析计算应用

案例7：电力系统短路分析计算应用

一、案例正文

在上个案例中，我们学习了针对电力系统短路分析计算的基础理

论及一些方程的计算方法。本次案例我们继续学习短路计算在实际应

用方面的内容。以同步发电机为例，针对其突然短路时做计算分析,

而后引出在电力系统中发生三相短路场景时的计算应用。

1.1同步发电机突然短路分析

正常稳定运行忖，同步发电机定子、转子各电磁量的相互关系

，•一/矽那⑼小

5。]T”3M•矶0]TEq[o]T必[0]

（1）励磁电流）=Uf/Rf.

（2）5——总磁链，由励磁电流产生，由两部分构成：

I.仅与励磁绕组交链的励磁绕组漏磁链矽那；

II.穿过空气隙与定子绕组相交链的互感磁链必“o

（3）Eq——空载电动势

主磁链的正方向是转子d轴的方向，它随转子一起以同步速

度旋转，切割静止的定子绕组，产生空载电动势，落在q轴上，故用

Eq表ZFCo

（4）以——定子与外电路接通后，其中将流过同步频率的三相

对称电流。

1.1.1不计及阻尼绕组时同步发电机的电磁暂态过程

不计及阻尼绕组时，同步发电机转子上只有励磁绕组，设励磁绕

组正常运行时励磁电流为"⑼，当同步发电机定子回路突然三相短路

时，依据磁链守恒定律及电枢反应原理做如下分析:

（1）由于定子回路外接阻抗的骤然减小，定子电流将产生同步

频率的电流增量与公，由于加3是有源的，所以是强制分量，不衰减；

（2）励磁绕组为了保持它交链的合成磁链不突变，短路瞬间将

产生一个直流电流

（3）直流电流Ai加在主磁链中产生增量△%,在闭合的定子绕

组中将出现定子基频周期分量A^o

（4）△哈因加加而产生，他们都是没有外部电源供给的自由电

流，一起以励磁绕组的时间常数禽按指数规律衰减到零；

（5）根据定子绕组的磁链守恒，短路后瞬间，定子各相绕组分

别产生直流分量Ai和倍频分量加23，以维持磁链恒定；

（6）三相定子绕组的直流电流At。产生的直流磁场在空间静止

不动，转子以同步速度旋转，励磁绕组切割定子直流磁场，感应产生

一个基频周期分量定子绕组的倍频分量加23形成的旋转磁场

与转子绕组的相对速度为①，仍在励磁绕组中感应出一个基频周期分

量43；

（7）加加是基频交流，在转子中产生一个同步速度旋转的脉振

磁场，这个脉振分解为两个大小相等、方向相反，以同步速旋转的磁

场。一个相对于转子以同步速度顺转子转向旋转，相对于定子以二倍

同步速度旋转，这个旋转磁场交链于定子绕组，从而定子绕组产生二

倍频电流加23以抵消它；另一个旋转磁场以同步速度逆转子转向旋

转，与定子相对静止，从而定子绕组产生直流电流加。以抵消它；

(8)43和加a、加23相对应，他们都是没有外部电源供给的自

由电流，一起以定子绕组的时间常数乙按指数规律衰减到零。

综上，不计及阻尼绕组时，同步发电机定子突然三相短路前后，

定子、转子绕组流发生了如下变化：

定子绕组：

ig[O]T。3[0]+AJ)+At*+Ma+加23=G+^2a)

(2)

转子绕组：

if[o]—)[o]+'If3+Mfa(3)

注：G=ico[Q]+Aj指稳态短路电流。

1.1.2计及阻尼绕组时同步发电机的暂态过程

计及发电机阻尼绕组，在定子回路突然三相短路瞬间，各个绕组

电流分量的分析方法和上述一致，只是计及了阻尼绕组，增加了该绕

组磁链守恒的分析及与其他绕组的电枢反应分析。由于阻尼绕组和励

磁绕组都在转子上，所以，其自身的自由电流分量性质同励磁绕组,

其与定子绕组的电枢反应作用也同励磁绕组。

(1)在直轴方向有直轴阻尼绕组D,为了维持磁链守恒，产生

自由直流分量加。”在定子绕组中感应产生基频次暂态分量加%,

Aioa和位2按照阻尼绕组D的时间数衰减；

(2)在交轴方向有交轴阻尼绕组Q,为了维持磁链守恒，产生

自由直流分量AiQa，在定子绕组中感应产生基频次暂态分量加出，

△，Qa和位右按照阻尼绕组Q的时间常数邛衰减;

1.2.1基本方程的实用化

为使所分析的问题简单化、实用化，我们做如下合理的假设：

（1）转子转速不变，并等于电机的额定转速；

（2）电机直轴方向三个绕组只有一个公共磁通，而不存在只同

两个组交链的漏磁通；

（3）略去定子电势方程中的变压器电势，即认为入叨尸为二。，

这条假设适用于不计定子回路电磁暂态过程或者对定子电流中的非

周期分量另行考虑的场合；

（4）定子回路的电阻只在计算定子电流非周期分量衰减时予以

计及，而在其他计算中则略去不计。

上述四项假设主要用于一般的短路计算和电力系统的对称运行

分析。

1.2.2空载电势和同步电抗

同步发电机对称稳态运行时，定子三相电流、电压、磁链都是对

称的，经过派克变发后的〃、iq、%、Uq、Wa、%都是常数，所有零

轴分量均为零，WaRq=。，阻尼绕组和Q中电流6、iQ为零,励磁电

流为"=常数，则由上一案例中dqO坐标系统标么值的电势方

程和磁链方程，可将发电机定子电压方程式简化为如下代数方程：

ud=Xq%

u(6)

q——X/d+Xadtf=Eq-Xdid

式子中场=Xa/f为空载电势。

由于稳态运行时定子三相电流、电压等均为正弦变化量，而且它

们分别是Q、%、!在a、b、C轴线上的投影，故可将id、iq、

%、Uq等当作相量。令q轴为虚轴、d轴为实轴，则id、%均为实轴

相量，iq、Uq均为虚轴相量。即：

L=〃d；Uq=j%；id=〃；iq=为⑺

空载电势的相量应超前励磁主磁通相量90%即在q轴方向

Eq=jEq(8)

则可改写为相量形式

OLE)

Uq=Eq-jXjd\

两式相加后得电压、电流向量关系：

£+jXHXqiq(10)

即为：

u=Eq-jxdid-jxqiqdi)

其中：u——发电机端电压相量，/——电流相量。

通常已知的是发电机的端电压和端电流以及它们之间的相角差

⑦而空载电势是未知的，d、q轴的方向也是未知的。为了求出空载

电势，需首先确定q轴位置。为了确定q轴位置，借助下述的虚拟电

势拓。将式(11)改写如下:

%=U+jXld+jXqiq=U+jXqid+j(Xa-Xq)K+jXqiq

(12)

%=U+jXqi+j(Xd-Xq)id(13)

将式(13)中的0+jXqj命为虚拟电势％,则：

EQ=u+jxqi(14)

则空载电势;

Eq=EQ+j（Xd-Xqyd（15）

在式子（15）中/（Xd—Xq）%显然是在q轴方向的量（即与&同方

向），因此&也一定在q轴方向上，而为可以由。和/求得。利用％确

定q轴、d轴，即可求得〃，然后由式（15）计算空载电势。其空载

电势相量图如图1所不。

图1凸极机空载电势相量图

由上图可知，电流在d轴上的分量为:

Id=Isin(S+cp)(16)

空载电势数值表达式:

Eq=EQ+J(Xd-Xq)(17)

对应的式（1-9）的一组数值表达式为:

Eq=%+Id^d

(18)

O=Ud-XqIq

根据式（9）画出d轴、q轴等值电路，如图2所示。

佟2稳态运行时发电机q轴、d轴等值电路

至此，可以得出如下结论：

(I)虚拟电势为没有物理意义，只是为了确定q轴。q轴确定

了，d轴也就确定，电机稳态时的端电压和端电流在d、q轴上的分量

就得到了，进而能够求解空载电势；

(2)对于隐极机，空载电势等于虚拟电势；凸极机，空载电势

大于虚拟电势：

(3)空载电势正比于直流励磁电流。空载电势在短路瞬间急剧

增大(Eq。=("[0]+Mfa))°

1.2.3暂态电势和暂态电抗

根据同步发电机dqO坐标系统的标么直磁链方程，不计及阻尼绕

组时的磁链方程如下：

Wd=—jX/a+Xadif=-Xaid+乂@4("一

%=-Xqiq1(19)

Wf=—Xa/a+Xfif=Xad(if-id)4-Xfaif)

与式(19)对应的等值电路如图3所示。

Xfb

(a)d轴方向

(b)q轴方向

图3无阻尼绕组发电机的磁链平衡等值电路

利用电路中的戴维南定理，从定子侧看，化为最简，得出等效电

源电势即定义为暂态电势，等效电抗即为暂态电抗:

用=郎％(20)

…+娥(21)

则图3(a)可以化简为图4(a)的等侑电路。

©

J

-AV\/»

x

(b)

图4暂态电势和暂态电抗等值电路

由式(20)看出，暂态电势段同励磁绕组的总磁链如成正比。运

行状态突变瞬间励磁绕组磁链守恒，必不能突变，暂态电势用也不能

突变。

由式(21)看出，如果沿d轴方向把同步电机看作是双绕组变压

器，当副方绕组(即励磁绕组)短路时，从原方(即定子绕组)测得的电抗

即是X3其等值电路示于图4(b)o根据图4得出一组方程：

W-XM0、

%=-寸"。2)

根据同步发电机dqO坐标系统的标么道电势方程，当变压器电势

%=心=。时，由%=和%=-6，定子磁链方程变为定子电势

方程：

U(，u-X^id]⑶

ud-Aqlq)

这组方程既适用于稳态分析，也适用于暂态分析中将变压器电势

略去或另作处理的场合。或者说，方程组(23)反映了定子方面电势、

电压和电流的基频分量之间的关系。所以这组用暂态参数表示的电势

方程式也可以写成交流相量的形式或数值形式：

为=琦-J%*或%=%-X成⑷

ud=-jXqiqr%=XqiqJ6

相量相加得：

U=%-jX'di「jXqiq(25)

将虚拟电势%=U代入上式经变换可得：

%=4+j(X『Xq)id(26)

或写作数值表达式:

%=%+.-Xq)(27)

由于X^VXq,所以用〈与。

将式子(25)整理后可得：

同=。+M+儿(Xq-XQ(28)

r

设：E=U+jlx'd

(29)

则：琉—jiq〔Xq_XQO

可近似认为：Xq、X3则用。小。

图5同步电机的相量图

电势户'称为暂态电抗后的电势。这个电势没有物理意义，纯粹是

虚构的计算用电势，它的相位落后于暂态电势段。在不要求精确计算

的场合，常认为舄守恒即是小守恒，并且用£'的相位代替转子q轴的

方向。这是一种不太精确的处理方法，但是颇有实用价值。

采用暂态参数时，同步电机的相量图示于图5。

以上根据磁链平衡方程式导出了暂态电势和暂态电抗的表达式,

并对这些参数的意义作了说明。暂态电抗是同步电机的结构参数，可

以根据设计资料计算出来，也可以进行实测，因此是实在的参数,暂

态电势属于运行参数，它只能根据给定的运行状态(稳态或暂态)计算

出来，但无法进行实测。暂态电势在运行状态发生突变瞬间能够守恒,

利用这一特点，可以从突变前瞬间的稳态中计算出它的数值，并且直

接应用于突变后瞬间的计算中，从而给暂态分析带来极大的方便。

至此，我们可以得出以下结论：

(1)暂态电势场与励磁绕组磁链成正比，短路瞬间不突变；

(2)暂态电势场不是暂态才有的电势，可根据稳态的电压和电

流求得；

(3)实用计算中，用暂态电抗后的电势所代替暂态电势场。

1.2.4次暂态电势和次暂态电抗

对于计及阻尼绕组的同步发电机，根据同步发电机的磁链方程,

可以作出对应电路如图6所示。

(a)d轴方向

(b)q轴方向

图6有阻尼绕组电机磁链平衡的等值电路

直轴方向的等值电路又可简化为图7(a)所示的电路。应用戴维

南可以导出

iVWW

f—-V

Xfa

(b)

图7次暂态电势以和次暂态电抗X7的等值电路

交轴的次暂态电势：

盯।一

埒二任一：工(3。)

xadXq^D(T

直轴次暂态电抗：

x.X0+—L](31)

江乐酝

交轴次暂态电势将'同励磁绕组的磁链四和直轴阻尼绕组的磁链

成正比。在运行态突变瞬间都不能突变，所以电势场’也不能突变。

如果沿同步电机直轴方向，把电机看作是三绕组变压器，次暂态

电抗端就是这个变器的两个副方绕组(即励磁绕组和直轴阻尼绕组)都

短路时从原方(定子绕组侧)测得电抗。如图7(b)所示。

»

>

L

(b)

图8次暂态电势码和次暂态电抗X；；的等值电路

同样，交轴方向的等值电路也可以作类似的简化，如图8所示。

直轴次暂态电势:

WQ

(32)

XaqXQA

交轴次暂态电抗:

xq=X。+1:1(33)

X

XaqQa

直轴次暂态电势瑞同交轴阻尼绕组的磁链成正比，运行状态发

生突变时，WQ不能突变，瑞'也就不能突变。

交轴次暂态电抗冷的等值电路示于图8(b)o

引入次暂态电势和次暂态电抗以后，同步电机的磁链方程可以改

写为:

Wd=4'-x；i/

(34)

%=E：-x'K,

当电机处于稳态或变压器电势%=九=0时，利用同步发电机

dqO坐标系统的标么值电势方程，ipd=%和%=-代入式(34)便

得定子电势方程，其交流相量形式为：

1一呼］⑶)

%=砧-MJ

交、直轴次暂态电势表达式为：

与:小学(36)

砧=Ud+/./J

两式相加得：

EH=琦+碍(37)

式中：£〃=用，+E；称为次暂态电势，电势相量图见9。根据图

看出，式(36)数值表达式为：

E'=Uq+X?d\葡

E；=Ud+X'q)

将式子(37)整理可得：

rr

E=UA-jX^id+j(X^-X^lq(39)

略去右边的第三项可得：

即(40)

可以看出，由式(37)和(40)确定的次暂态电势在数值上和相位上

都相差很小。因此，在实用计算中，对于有阻尼绕组电机常根据式(40)

作出等值电路，并近似认为其中的电势E〃的数值是不突变的。

结论：

(1)交轴次暂态电势%同励磁绕组的磁链剪和直轴阻尼绕组的

磁链30成正比，在短路瞬间不突变；直轴次暂态电势4'同交轴阻尼

绕组的磁链WQ成正比，在短路瞬间不突变。

（2）交轴次暂态电势场'和直轴次暂态电势4'，不是次暂态过程

才有的电势，可利用稳态的电压和电流求解。

（3）实用计算中，可使用式（40）求解次暂态电势E〃。

1.2.5各种电抗、电势大小比较

（1）各种电抗大小比较

各种电抗都是从定子绕组看进去的等值电抗，其大小与电枢反应

电抗与其他绕组漏抗的并联情况有关，并联的支路数越多，电抗越小,

从而有如下大小关系：

俨d>X}>X3

Xq>X,⑷）

（Xd>Xq

表2各电抗大小比较

电抗类型水轮发电机汽轮发电机

Xd0.7-1.41.2-2.2

X：0.2-0.350.15-0.24

X，0.14-0.260.1-0.15

Xq0.45-0.71.2-2.2

X，0.15-0.350.1-0.15

（2）各种电势大小比较

依据公式（18）、（24）、（38）,利用短路前发电机的电压和电流

进行分析。

I.短路前空载：

发电机的端电流为0,其在d轴分量〃=0;发电机的端电压就

等于空载电势，由于空载电势是q轴方向，所以发电机端电压为q轴

方向，即为=%,因此有：

Eq==Eq；E,二0(42)

II.短路前带载:

在式(18)、(24)、(38)中，每个电势都由两部分组成，第一部

分相等为分,第二部分与电抗有关，考虑电抗的大小关系，有：

Eq>EQ>E'q>E^瑞工0(43)

1.2.6同步发电机突然三相短路电流(标幺值)

(1)一般表达式:

la=^^3(3亡+。0)+

T

edcos(a)t+00)4-

Ad

二E"__

dCOS(Ci)t+狐)--6%SlTl^Cdt+0Q)一

Xq

£121

0)eT^cos(2a)t十％+0)(44)

2o0

当短路不是发生在发电机端，而是发生在外电路电抗X之后时

短路电流计算公式仍然适用，只是须对电抗进行修正：X：TX，+X；

X^TXZ+X；Xd-Xd+X。

(2)同步发电机突然三相短路后定子电流的组成

I.基频周期量：其有效值从短路开始时的数值逐渐衰减到稳

态值等；

xd

H.非周期分量：其数值从短路开始时的初始值，按指数规律逐步

衰减到零；

m.倍频分量：其数值从短路开始时的初始值，按指数规律逐步衰

减到零，即使是隐极机，由于不满足x?二x"所以也会有倍频自由

分量。

127.同步发电机端突然三相短路后定子电流基频分量的起始有

效值和稳态有效值的计算

（I）基频分量起始有效值的计算

I短路前空载

无阻尼绕组：

，'=〃二等（45）

有阻尼绕组：

/〃=以=缪（46）

n短路前负载

F'

无阻尼绕组：r=rd=子空，4血=%+，（%』一％）,矶。〕

（47）

近似计算：r=才，其中，瑞]=[7[0]+//[0]xd

有阻尼绕组：%'=■，"'=零，/〃=J（/，）2+（6）2

（48）

忖中.%。]=%⑼+X,矶矶

八.E?[0]=Ud[Q]-XqIq[0]J

（49）

近似计算时，（X：=X，），则/〃=，（以）2+（6）2=暮

（50）

其中:瑞产。⑼+加0产；

（51）

（2）基频分量稳态有效值计算

(52)

其中：

Eq[O]=EQ[0]+[矶O]（Xd-Xq）（53）

1.3电力系统三相短路的实用计算

1.3.1实用计算假设

（1）对于无限大电源供电的系统三相短路电流的变化情形，认

为短路后电源电压和频率均保持不变，忽略了电源内部的暂态变化过

程，但是当短路点距电源较近时，必须考虑电源内部的暂态变化过程。

（2）对于包含有许多台发电机的实际电力系统，在进行短路电

流的工程实用计算时没有必要作复杂的分析。工程计算只要求计算短

路电流基频交流电流的初始值和短路后某一时刻的基频电流有效值。

短路电流基频交流电流的初始有效值也称为起始次暂态电流。

1.3.2交流电流初始值计算

（1）计算条件和近似

I各台发电机均用次暂态电抗作为其等值电抗，次暂态电势作为

其电源电势。

户〃=0+jix]（54）

II对于调相机和异步电动机，如果离短路点较近，其端电压小于

电势E〃时，才送出短路电流，对应的数学模型为：

0=£〃+jix：（55）

in如果在计算中忽略负荷，则短路前为空载状态，所有电源的次

暂态电动势均取为额定电压，其标么值为1,而且同相位。£〃=1

IV当短路点远离电源时，可将发电机端电压母线看作是恒定电压

源，即无穷大电源，电压值取为额定电压。

V在电网方面，可以忽略线路对地电容和变压器的励磁路。因

为短路时电网电压较低，这些对“地”支路的电流较正常运行时更小，

而短路电流很大。

VI在计算高压电网时还可以忽略电阻。对于必须计及电阻的低压

电网或电缆线路，为了避免复数运算可以近似用阻抗模值进行计算。

vn在标么值运算中采用近似方法，即不考虑变压器的实际变比，

而认为变压器的变比均为平均额定电压之比。

（2）起始次暂态电流计算

I网络化简法

经过星网变换，保留电源点和短路点，得出各个电源对短路点的

转移电抗，短路网络化简法电流为各个电源支路提供的短路电流之和。

图9转移电抗计算

左=如含（56）

进一步将网络化简为一个电源支路，得到等效电源电势和短路点

的输入电抗，则短路电流为等效电源电势除以输入电抗。

”粤（57）

II叠加原理法

系统发生短路时，短路点电压为零。利用叠加原理可分解为：正

常运行等值电路+故障分量等值电路，分别求解再叠加可得最终结果。

图10叠加原理的应用

IH电流分布系数法

所谓电流分布系数，是在各个电源电务都相等的条件下，第，•个

电源送到短路点的电流。与短路电流几之比称为i支路的电流分布系

数，记作C,。

上=里达=法

1

IkE/Xk£Xik

某支路电流分布系数等于网络对短路点的等值阻抗与该电对短

路点的转移阻抗之比。

电流分布系数也可以作另外一种解释：令所有电源电动势都为零,

单独在短路支路接入某电动势，使4=1，则此时任一支路电流在数

值上等于该支路的电流分布系数。以图11为例，说明电流分布系数

及转移阻抗的求解方法。

图11(a)