第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（解析版）

第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、

对称性

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考点要求考题统计考情分析

(1)借助函数图像，会用符从近几年高考命题来看，本节是高考的

号语言表达函数的单调性、最2022年〃卷第8题，5分一个重点，函数的单调性、奇偶性、对

大值、最小值，理解它们的作2022年/卷第12题，5分称性、周期性是高考的必考内容，重点

用和实际意义.2021年〃卷第8题，5分关注周期性、对称性、奇偶性结合在一

(2)结合具体函数，了解奇2021年甲卷第12题，5分起，与函数图像、函数零点和不等式相

偶性的概念和几何意义.结合进行考查.

(3)结合三角函数，了解周

期性的概念和几何意义.

般地，设桥数/(幻的定义域为4,IXWIDUA：

如果对JD内的任意两个门变僦的侨小，*2,

知fl〈的时，都仃，(必)V"孙)，•

那么就说/(幻在区间。上足增函数.3

如果对J。内的任意两个门变量的位;q,x2,

函数的单调性当M<“2时，都有，(孙)</(^2)»,

那么就说八幻在乂间。上是减函数.—

如果对于函数f(x)的定义域内任怠一个X,都有

f(-x)=f(x)•那么函数f(x)就叫做偶函数

函数的奇倡性如果对于函数f(X)的定义域内任患一个X•都有

Vf(-x)=-f(x)•那么函数f(x)就叫做奇函数

函数的性质若函效y=f(x+a)为偶函数•则函款y=f(x)关于x=a对称•

若函数y=f(x+a)为奇函数•则函数y=f(x)关于点(a,0)对称

函数的对称性Sf(x)=f(2a-x)•则函数f(x)关于x=a对称

5f(x)4-f(2a-x)»2b•则函欲f(x)关于点(a,b)对称

对于函致y=f(x)•如果存在一个非零常数丁,使得当X取定义

域内的任何值时，都高f(x+T)=f(x),那么就称函数.f(x)

为周期函数,称T为这个函款的周期.

函数的周期性

・研二必备基础划邈理

1、函数的单调性

(1)单调函数的定义

一般地，设函数/(x)的定义域为A,区间。qA：

如果对于。内的任意两个自变量的值用，吃当王<当时，都有/但)</(刍)，那么就说/(x)在区间。

上是增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值玉，尤2,当司<》2时，都有/(百)</(当)，那么就说f(x)在区间£>

上是减函数.

①属于定义域A内某个区间上：

②任意两个自变量办，Z且办<工2；

③都有/(X,)</(%)或/(X,)>/(X2):

④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.

(2)单调性与单调区间

①单调区间的定义：如果函数f(x)在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间。上具有

单调性，。称为函数/(X)的单调区间.

②函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

(3)复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增(减)函数，内层函数是增

(减)函数，复合函数是增函数；外层函数是增(减)函数，内层函数是减(增)函数，复合函数是减函

2、函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有关于y轴对

偶函数

/(-x)=f(x),那么函数人X)就叫做偶函数称

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有关于原点对

奇函数

/(-x)=-/*),那么函数/(X)就叫做奇函数称

判断了(-幻与/*)的关系时，也可以使用如下结论：如果/(-X)-f(x)=O或以9=1(7(X)HO),则函

f(x)

数/'(x)为偶函数；如果/■(-x)+/(x)=O或幺二D=-l(/(x)wO),则函数f(x)为奇函数.

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x,-x

也在定义域内(即定义域关于原点对称).

3、函数的对称性

⑴若函数y=为偶函数，则函数y=f(x)关于x=a对称.

(2)若函数y=为奇函数，则函数y=/(x)关于点(a,0)对称.

⑶若/(x)=f(2a-x),则函数.f(x)关于x=a对称.

(4)若/(x)+/(2a-x)=2b,则函数/(x)关于点(a,b)对称.

4、函数的周期性

(1)周期函数：

对于函数>=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=/(x),

那么就称函数y=/(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函数/(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做/(x)的最小正周期.

【解题方法总结】

1、单调性技巧

(1)证明函数单调性的步骤

①取值：设无「々是/(X)定义域内一个区间上的任意两个量，且芭<马；

②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

④得出结论.

(2)函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调

区间.

(3)记住几条常用的结论：

①若f(x)是增函数，则-/。)为减函数；若f(x)是减函数，则-/(x)为增函数；

②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在和g(x)的公共定义域上/(x)+g(x)为增(或减)函数；

③若/(x)>0且/(幻为增函数，则函数77而为增函数，」一为减函数；

f(x)

④若f(x)>0且/(x)为减函数，则函数为减函数，一L为增函数.

fM

2、奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数f(x)是偶函数=函数/(x)的图象关于y轴对称；

函数/(%)是奇函数o函数/(x)的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数y=/(x)在x=0处有意义，则有/(0)=0；

偶函数y=/(x)必满足.f(x)=/(|x|).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的

两个区间上单调性相同.

(5)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数/(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记

g(x)=g"(X)+f(-x)］，，(x)=；"(x)-/(-%)］，贝|Jf(x)=g(x)+//(x).

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的

函数，如/(x)+g(x),/'(x)-g(x),/(x)xg(x),/(x)+g(x).

对于运算函数有如下结论：奇士奇=奇；偶士偶=偶；奇士偶=非奇非偶；

奇、(十)奇=偶：奇乂")偶=奇；偶乂(十)偶=偶.

(7)复合函数y=/［g(x)］的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数f(x)=皿"+1)(x*0)或函数f(x)=m(-——-).

aa+\

②函数/(x)=±(优-尸).

③函数/(x)=log„叶生=log“(1+3-)或函数/(x)=log"七型=10gli(1一-—)

x—mx—mx+ntx+m

④函数/(x)=log.(J/+1+x)或函数f(x)=log“(Vx2+1-x).

注意：关于①式，可以写成函数/(X)=%+3L(XN0)或函数f(x)=机-2-QweR).

ax-I优+1

偶函数:①函数/")=土(屋+「).

②函数f(X)=log,,(4"+l)--y-

③函数f(|x|)类型的一切函数.

④常数函数

3、周期性技巧

函数式满足关系(xeR)周期

/(x+T)=/(x)T

f(x+T)=-f(x)2T

f(x+T)=;/(x+7,)=2T

f(x),f(x)

f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

f/(«+X)=/(a-x)

2s-a)

[f(b+x)=f(b-x)

[f{a+x)=f[a-x)

[f(x)为偶函数2a

{f(a+x)=-f(a-x)

2(/?-a)

f{b+x)=-f(b-x)

[f(a+x)=-f{a-x)

2a

/(x)为奇函数

{,f(a+x)=/(a-x)

4(b-a)

f(b+JC)=-f(b-x)

f/(a+x)=/(a-x)

4。

为奇函数

f(a+x)=-f(a-x)

4a

/(©为偶函数

4、函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数/(%)是周期函数，且7=2(。-〃)；

(2)若函数y=/(x)的图象有两个对称中心3c),S,c)(〃v。)，则函数y=/(幻是周期函数，且

T=2(b-a)；

(3)若函数y=/(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心S,O)S<"),则函数y=/(x)是周期函数，且

7=4(。-a).

5、对称性技巧

(1)若函数y=f(x)关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x).

(2)若函数y=/(x)关于点(a,力对称,WOf(a+x)+f(a-x)=2b.

(3)函数y=/(a+x)与y=/(a-x)关于y轴对称，函数y=/(a+x)与y=-/(。一］)关于原点对称.

一提升・必考题型归纳

【典例例题】

题型一：函数的单调性及其应用

例1.已知函数/(X)的定义域是R,若对于任意两个不相等的实数4，々，总有：/一)：〃>>0成立,

“2一%

则函数一定是（）

A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数

【答案】C

【解析】对于任意两个不相等的实数4，々，总有1色上"也）＞0成立,

超一西

等价于对于任意两个不相等的实数王＜々，总有/（王）＜/（马）.

所以函数/（x）一定是增函数.

故选：C

例2.若定义在R上的函数1x）对任意两个不相等的实数a,b,总有/⑷彳®＞0成立,则必有（）

a-b

A.y（x）在R上是增函数B.火x）在R上是减函数

C.函数兀v）先增后减D.函数./U）先减后增

【答案】A

【解析】由及2也＞0知处0次办与aS同号，即当时，勺（份，或当a泌时，所以_/U）在

a-b

A上是增函数.

故选：A.

例3.下列函数中，满足“〃了+力=〃月/3”的单调递增函数是

A.=fB./（x）=x3

C./（x）=^JD.小）=3'

【答案】D

【解析】由于优•优=a』，所以指数函数f（x）=。'满足f（x+），）=/（x）+/（y）,且当时单调递增，

Ovx＜l时单调递减，所以/'（"=3'满足题意，故选D.

考点：幕函数、指数函数的单调性.

变式1.函数f（x）=|x2-3x+2|的单调递增区间是（）

3、「3~1

A.—,+°°IB.1,—■和［2,+8）

C.（70,1］和|,2D.卜8,g［和［2,+8）

【答案】B

x*12-3x+2,x<1

【解析】y-|x2-3x+2|=.—x"+3x—2,1<x<2

x2-3x+2,x>2

3

函数的单调递增区间是1弓和［2,+8）.

故选：B.

21

变式2.（江苏省泰州市海陵区2022・2023学年高三上学期期中数学试题）已知函数/（尤）=——-,XG（O,+＜X））.

x+1

（1）判断函数/（X）的单调性，并利用定义证明；

（2）若/（2加一1）＞/（1一吗），求实数m的取值范围.

【解析】（1）/（x）在（0,+8）上递减，理由如下:

任取司,々e(0,+<»),且占<》2，则

，(％)-小)=-a+二

x2+lxt+1

_2X1(x2+1)-2w(X]+1)

(X2+l)(x(+1)

2(X[-X2)

因为XpWW（0,+OO）,且西＜々，

所以%-七<0,(x2+1)(%,+1)>0,

所以/(%,)-/(^)<0,即/(x2)</(%)),

所以/（X）在（0,m）上递减；

（2）由⑴可知〃幻在（0,+8）上递减,

所以由/（2机_1）＞”1_〃?），得

2加一1＞0

12

・1一机＞0,解得一＜加＜一，

23

所以实数小的取值范围为

变式3.(2023・全国•高三专题练习)设a>0,awl,证明：函数g(x)=是x的增函数(x>0).

【解析】证明：当三>士>0,在伯努利不等式定理3中取l+x=a&,r=A,0<r<l,

X2

则有(1+x)'41+b,即(优2户<1+五("2—1),

则有<1+五('2-I),从绘匚>9^,

X2工2%

即研毛)>。(%).

所以当x>0时，S(x)是x的增函数.

变式4.(2023・上海静安•高三校考期中)已知函数f(x)=/3a>0),且f(0)=0.

(1)求。的值，并指出函数/(x)的奇偶性：

(2)在(1)的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数/*)在(-8,+8)上是增函数.

【解析】(1)因为f(0)=2-a=0,又a>0,所以a=l,

a

所以/(x)=2,-《，xe(-oo,+oo),

此时/(-x)=^-2'=-/U)，所以为奇函数；

(2)任取为<々，则/(%)_/(々)=2为_!_2*2+1

212-

=⑵-2&)+2"-2"=(2,-2-)(1+/)1=2'(1+-V1)(l-2*』),

因为公<x?，所以2演f>1,所以1-2—<0,2为(1+不1)>0

所以f(%)一)<0即f(%)<f(%)，

所以函数/(X)在(-8,«»)上是增函数.

【解题总结】

函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调

区间.

题型二：复合函数单调性的判断

例4.函数丫=正言的单调递减区间为()

B.『5，+刃

C.[O,-hx））D.（—oo,—3j

【答案】D

【解析】由题意，得f+3x20,解得xV-3或xNO,

所以函数y=&+3x的定义域为（9,-3]J[0,E）,

3

令r=£+3x，则r=f+3x开口向上，对称轴为x=-二，

所以f=/+3x在（—,-3]上单调递减，在[0,y）上单调递增，

而y=〃在f0,+O上单调递增，

所以函数y=的单调递减区间为（0，一刃.

故选：D.

例5.（陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高三下学期期末数学试题）函数y=logzQx-Y）的单调递减区

间为（）

A.（1,2）B.（1,2]

C.（0,1）D.[0,1）

【答案】A

【解析】由2》-r>0，得0cx<2,

^-t=2x-x2.则y=bg2，，

f=2x--在（0,1）上递增,在。,2）上递减,

因为y=log2f在定义域内为增函数，

所以y=log<2x-V）的单调递减区间为（1,2）,

故选：A

例6.（陕西省榆林市2022-2023学年高三下学期阶段性测试）函数y=lg（2cosx-班）的单调递增区间为（）

A.[2k兀+兀,2k7r+27r）（kGZ）B.ylkTT+7t,2k7T+—7C^kGZ）

C.（2攵万一亲2攵万）（攵GZ）D.（2Z肛2%乃+eZ）

【答案】C

【解析】根据题意，2cosx-\/3>0»解得，2kjtC<x<2k7r+JksZ

66

又函数y=/gx在定义域内为单调增函数,

且函数y=2cosx-^3在2.k7r-y,2k7t\,keZ内为单调增函数

根据复合函数的单调性可知:

y=/g(2cosx-月)的单调增区间为2k兀--,2kneZ

选项C正确，选项ABD错误.

故选：C.

【解题总结】

讨论复合函数y=/［g(x)］的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性.一般

需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，

再用复合法则，复合法则如下：

1、若〃=g(x),y=f(“)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y=/［g(x)］为增函数；

2、若〃=g(x),y=/(〃)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则｝?=_/lg(x)］为减函数.列

表如下：

u=g(x)y=fWy=〃g(x)]

复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减.

题型三：利用函数单调性求函数最值

例7.(河南省2023届高三下学期仿真模拟考试数学试题)已知函数/(x)为定义在R上的单调函数，且

/(/(x)-2J-2x)=10,则在［-2,2］上的值域为.

【答案】'一；7,1。'

【解析】因为f(x)为定义在R上的单调函数，

所以存在唯一的feR,使得〃f)=10,

则〃x)-2，-2x=f,f(t)-2'-2t=t,即/⑺=2+3f=10,

因为函数y=2'+3f为增函数，且22+3x2=10,所以f=2,

/(x)=2、+2x+2.

7

易知/(X)在［—2,2］上为增函数，且42)=10,

则/（X）在［-2,2］上的值域为［-（』0.

故答案为：『（』0］

例8.（上海市静安区2023届高三二模数学试题）已知函数〃耳=33>0）为偶函数，则函数/（X）的值

域为.

【答案】［o,1

【解析】一.・函数/（力=白（«>0）是偶函数,

ax2rr1

2---=—=。=>a=72

2V+12A+1a

・••/(力=脚，易得〃x)>0,

设t=(a)'«>0),

则k777=1产5,

IH—

t

当且仅当"!即r=l时，等号成立，

t

所以O<YL

2

所以函数/（x）的值域为（0，J.

故答案为：（o,1.

例9.（河南省部分学校大联考2022-2023学年高三下学期3月质量检测）已知函数/（x）="+3x+l（“>0且

"D,若曲线y=〃x）在点（0"（0））处的切线与直线x+2y-1=0垂直，则〃x）在上的最大值为

【答案】7+—2

【解析】由题意得r（x）=，lna+3,所以/'（0）=lna+3,

因为切线与直线x+2y-l=0垂直，而x+2y-l=0的斜率为

所以切线斜率为2,BPIna+3=2,解得a=ei,

所以〃x)=eT+3x+l,且r(x)=-e-*+3,

显然((x)是增函数，

当时,r(x)>r(-l)=3-e>0,

所以/(x)在［T,2］上单调递增，故/a/="2)=7+士.

e

故答案为：7+4

e

变式5.(新疆乌鲁木齐市第八中学2023届高三上学期第一次月考)若函数〃力=4等在区间［0,1］上的

最大值为3,则实数“片.

【答案】3

【解析】•••函数〃"=生?=2+竺二

x+1x+1

由复合函数的单调性知，

当机>2时，f(x)=/p在［()』］上单调递减，最大值为"0)=〃?=3；

当〃?<2时，〃x)=彳詈在［()』匕单调递增，最大值为〃1)=21冬=3,

即初=4,显然机=4不合题意，

故实数根=3.

故答案为：3

【解题总结】

利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值.常用到下面的结论：

1、如果函数y=/(x)在区间(。，切上是增函数，在区间g，c)上是减函数，则函数y=/(x)(xea,c)在

x=6处有最大值/S).

2、如果函数y=/(x)在区间3,句上是减函数，在区间g,c)上是增函数，则函数y=f(x)(xea,c)在

x=b处有最小值f(h).

3、若函数y=/(x)在［a,句上是严格单调函数，则函数y=f(x)在［a,句上一定有最大、最小值.

4、若函数y=/(x)在区间［a,0上是单调递增函数，则y=f(x)的最大值是/(。)，最小值是f(a).

5、若函数y=/(x)在区间［a,加上是单调递减函数，则y=f(x)的最大值是/(a),最小值是f(力.

题型四：利用函数单调性求参数的范围

f(3a-l)x+4<v(%<1)

例10.已知函数〃x)=a,、，满足对任意的实数占，血且石工々，都有

I仆I)

［/(3)-/(々)］(西—々)<0,则实数a的取值范围为()

【答案】C

【解析】对任意的实数X尸出，都有"解）-〃X2）］（Xf）<0,即/（V㈤<0成立,

X\~X2

可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0,说明函数是减函数；

可得：\a>0,

3a-\+4a>a

解得〃w

L63J

故选：C

例11.（吉林省松原市2022-2023学年高三上学期第一次月考）若函数/（x）=log“（x3-or）（。>0且）

在区间内单调递增，则。的取值范围是（）

C.修+8

【答案】B

【解析】函数/（x）=log,,（丁-6）（。>0,。Hi）在区间（-；,0）内有意义,

则（—）'^—ci--0,u...-,

224

T§：t=x>-ax,则y=log“t,f=3^-a

（1）当。>1时，y=log,,t是增函数，

要使函数f（X）=logu（P-ax）（a>0,aW1）在区间（-；,0）内单调递增，

需使z=x3-ar在区间（-；,。）内内单调递增，

则需使「=3/30,对任意xe（—0）恒成立，即。交一对任意一-8恒成立；

因为xe（—；1,0）时，0<3》2<39所以。<0与a>；1矛盾，此时不成立.

（2）当0<“<1时，y=iog/是减函数，

要使函数以）（。>0,中1）在区间（-；,。）内单调递增，

需使£=%3一如在区间（-；,。）内内单调递减，

则需使t'=3x2-a<0对任意xe,0)恒成立，

即a23x2对任意xG(-1,0)恒成立，

i3

因为x£(—,0)时,0<3x“<—,

24

3

所以a..一,

4

3

又av1,所以二,,

4

综上，”的取值范围是

4

故选：B

-x1-ax-9,x<\

例12.(四川省广安市2022・2023学年高三上学期期末数学试题)己知函数"司=0在R上

—,x>1

x

单调递增，则实数a的取值范围为()

A.[-5,0)B.(—,-2)

C.[-5,-2]D.(-oo,0)

【答案】C

【解析】由题意，xeR,

-x2-ax-9,x<1

在/(x)=a中，函数单调递增，

—,X>1

-2-x(-1)

.。<0,解得：-5<a<-2,

1

故选：C.

变式6.(江西省临川第一中学2023届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知函数/(乃=丑“卜2_6+3)

在[()」]上是减函数，则实数”的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,4)

C.(0,1)0(1,4)D.[2,4)

【答案】D

【解析】函数/(x)=log„(X?—ar+3)在[0,1]上是减函数,

22

当0<。<1时，x2-ax+3=（%--）2+3-—>3-—>OffiJaJc

244

而函数〃=/-办+3在区间［（）［］匕不单调，因此不符合题意，

当a>1时，函数y=log,,“在O”）上单调递增，于是得函数〃=V-依+3在区间［0,1］上单调递减，

因此521,并且产一〃.1+3>0,解得2Wa<4,

所以实数。的取值范围是［2,4）.

故选：D

变式7.（天津市复兴中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知函数〃x）=V+2丘-5在［-2,4］上

具有单调性，则实数上的取值范围为（）.

A.k<^B.k>2

C.AWT或左22D.或Q2

【答案】C

【解析】函数/（x）=/+2"—5的对称轴'为x=-k,

因为函数/（x）=犬+2丘—5在［-2,4］上具有单调性，

所以一女24或一左V-2,即44-4或&22.

故选：C

【解题总结】

若已知函数的单调性，求参数a的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数。的不等式，利

用下面的结论求解.

1、若a>/（x）在［m,/?］上恒成立<=>a>./'（X）在［m,n\上的最大值.

2、若a<f（x）在［〃?，〃］上恒成立or</（x）在［〃z,〃］上的最小值.

题型五：基本初等函数的单调性

例13.（2023•天津河西・天津市新华中学校考模拟预测）已知函数y=/（x+2）是R上的偶函数，对任意4,

々目2,物），且x产刍都有，］；（々）>0成立.若a=/（log318）,6=c=/（e竽），则a,

b,c的大小关系是（）

A.b<a<cB.a<h<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】因为函数y=/（x+2）是R上的偶函数，

所以函数y="X）的对称轴为X=2,

又因为对任意与，々W2,内），且x产王都有/（*）/（£）>0成立.

所以函数^=/(同在(2,+8)上单调递增,

2

Hij3=log327>log318>log39=2,In=Ine-In\/2=2-In>/2<2,_emVio=5/io>3>

理e2

所以e2>log,18>2>In&,

所以c>a,

因为函数y=/(x)的对称轴为x=2,

所以…［嗓)金卜(2+ln旬,

=f4-ln

而a=f(log318)=〃log39x2)=f(2+log32),

因为Inavlog?2,

2

e-

所以2<4-ln<log18<3,

正3

所以〃<Q,

所以VC.

故选：A.

例14.(多选题)(甘肃省庆阳市宁县第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题)已知函数/(x)在

区间［-5,5］上是偶函数，在区间［0,5］上是单调函数，且/⑶<〃1),则()

A./(-1)</(-3)B./(0)>/(-1)

C./(-1)</(1)D./(-3)>/(5)

【答案】BD

【解析】函数/(x)在区间［0,5］上是单调函数，又3>1,E/(3)</(l),

故此函数在区间［0,5］上是减函数.

由己知条件及偶函数性质，知函数/(x)在区间［-5,0］上是增函数.

对于A,-3<-1,故/(一3)</(—1),故A错误；

对于B,0>-1,故1),故B正确；

对于C,/(-1)=/(1),故C错误；

对于D,/(-3)=/(3)>/(5),故D正确.

故选:BD.

例15.(2023届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题)下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+◎上

单调递增的是()

32w

A.y=xB.y=-x+1C.y=log2xD.j=2

【答案】D

【解析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案.函数>=/是奇函数，不符合；

函数)，=-V+l是偶函数，但是在(0,内)上单调递减，不符合；

函数y=iog?x不是偶函数，不符合；

函数y=2W既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递增，符合.

故选：D

【解题总结】

1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.

2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调

区间(同增异减).

3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为己知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调

区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意

分点左右端点函数值的大小关系.

题型六：函数的奇偶性的判断与证明

例16.利用图象判断下列函数的奇偶性：

⑶丫=钞；

(4)y=|log2(x+l)|；

(5)y=x2-2|x|-l.

【解析】(1)函数/(X)的定义域为(F,0)U(0,+8),

x~+2x+l,x>0

对于函数/(x)=,、，八，

[x+2x-l,x<0

当x>0,f(x)=-x2+2x+l,为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为x=l,

当X<0J(X)=X2+2X-1,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为户-1,

_丫2I'yI1Y'0

画出函数:'八的图象，如图所示，

•V-।ov1vr\

函数图象关于原点对称，所以函数/(X)为奇函数;

(2)函数f(x)的定义域为(-00,0)(0.+oo),

对于函数/（X）=<

x-x,x>0

当x<0J（x）=x2+x,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为了=-；,

当x>0J（x）=V-尤，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为X=g,

+A*YV0

画出函数f（x）=<|,'八的图象，如图所示,

（3）先作出y=（；）r的图象，保留y=（g），图象中.仑0的部分,

再作出y=（；广的图象中%>0部分关于y轴的对称部分，

即得了=（；/的图象，如图实线部分.

由图知y=（g声的图象关于），轴对称，所以该函数为偶函数.

（4）将函数y=log2》的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,

即可得到函数y=|log式x+1）|的图象,如图,

由图知y=|log2（x+l）|的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴时称,

X2-2x-l,x>0

(5)函数y=/(x)=x2_2|x|_l=

x2+2x-1,x<0

当xNOJ（x）=f—2x—l,为二次函数，是一条抛物线，开口向匕对称轴为x=l,

当x<0J（x）=/+2x-l,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为广-1,

%2—2,x—Lxi0

画出函数〃幻=,八21,x<。的图象‘如图'

由图知y=f-2国-1的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.

例17.（2023•北京•高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+8）上单调递增的是（）

1

A.y=cosxB.y=阴C.y=lgxD.y=-

X

【答案】B

【解析】对于A,函数y=cosx的定义域为R,且满足cos（-x）=cosx,所以其为偶函数,

在（0,兀）上单调递减，在（兀,2兀）上单调递减，故A不符合题意;

eA,x>0

对于B,设丫=/（力=朋，函数/（工）=朋=<］）X。的定义域为R'

Ie

且满足=所以函数〃力=朋为偶函数,

当X€（0,+o））时，/（x）=e”为单调递增函数，故B符合题意;

对于C,函数y=lgx的定义域为（0,y），不关于原点对称,

所以函数y=lgx为非奇非偶函数，故C不符合题意;

对于D,设y=〃x)=2，函数/(》)=2的定义域为(-8,0)(0,+8),关于原点对称，

XX

且满足f(r)=-/(x),所以函数f(x)=g为奇函数，

又函数f(x)在(0,M)上单调递减，故D不符合题意.

故选：B.

例18.(多选题)(黑龙江省哈尔滨市第五中学校2022-2023学年高三下学期开学检测数学试题)设函数

/(x),g(x)的定义域都为R,且“X)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()

A.f(x)-g(x)是偶函数B.|/卜旌(可是奇函数

C.〃x>|g(x)|是奇函数D.|/(x>g(x)|是偶函数

【答案】CD

【解析】因为函数f(x),g(x)的定义域都为R,

所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称，

因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,

所以/(r)=-/(x),g(T)=g(x),

对于A,因为f(-x).g(T)=-f(x)g(x),

所以函数/(x),g(x)是奇函数，故A错误；

对于B,因为|/(—x)|.g(—x)=k/(x)|.g(x)=|/(x)|.g(x),

所以函数|/(“工㈤是偶函数,故B错误；

对于C,因为/(-x).|g(-x)|=-/(x>|g(x)|,

所以函数f(x>|g(x)|是奇函数,故C正确；

对于D,因为|/(-力超(—)|=卜/(%"(刈=|/(力超(力|,

所以函数是偶函数，故D正确.

故选：CD.

变式8.(北京市海淀区2023届高三二模数学试题)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的

是()

2

A.y=lgxB.y=-C.y=2wD.y=tanx

x

【答案】D

【解析】对于A,y=lgx的定义域为(0,+e),定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误,

71

对于B,〃耳=：的定义域为(-^,0)11(0,物)，定义域关于原点对称，又〃-力=七-：=寸(力所以/(x)

为奇函数，但在(0,1)单调递减，故B错误，

对于C,y(x)=2.的定义域为R,关于原点对称，又/(-x)=2i心小于"(X),故〃x)为偶函数，故C错误，

对于D,/(x)=tanx,由正切函数的性质可知〃x)=tanx为奇函数