案例6：电力系统短路分析基本理论

案例6：电力系统短路分析基本理论

一、案例正文

电力系统作为一个利用电能输送能量的设施，是现代社会不可或

缺的基础设施之一。在电力系统的运行中，短路故障是一种经常出现

的故障。短路故障是指系统中两个或多个电路相互接通而形成低阻抗

的情况，这会导致耳流急剧增加，造成电压下降、电力装置过载或烧

毁等多种后果。为了精确选择和校验电气设备，准确地整定供配电系

统的保护装置，避免在短路电流作用下损害设备，保证供配电系统中

出现短路时，保护装置不拒动、不误动。需要针对电力系统短路故障

进行建模分析，首先要做的就是明确计算理论。

1.1短路的基本概念

1.1.1短路的定义

所谓短路，是指电力系统中正常情况以外的一切相与相之间或相

与地之间发生通路情况。电力系统的短路故障通常称为横向故障。

1.1.2短路的原因

产生短路的主要原因是电气设备载流部分的相间绝缘或相对地

绝缘被破坏，包括自然和人为因素。

1.1.2.1自然因素：

①元件损坏，例如绝缘材料的自然老化，鸟兽跨接在袒露的载流

部分等；

②气象条件差，例如雷击造成的闪络放电或避雷器动作，架空线

路由于大风或导线覆冰引起电杆倒塌等。

1

1.122人为因素：

①设计、安装及维护不足所带来的设备缺陷最终造成短路等；

②人为事故，例如运行人员带负荷拉隔离开关，线路或设备检修

后未拆除接地线就上电等。

1.1.3短路的现象

①系统总阻抗大幅减小，电流增加；

②系统中电压大幅度下降。

1.1.4短路的危害

①短路电流的热效应会使设备发热快速增加，可能导致出现过

电流，从而造成设备过热损坏甚至烧毁；

②短路电流产生很大的电动力，可引起设备机械变形、扭曲甚

至损坏；

③短路时系统电压大幅度下降，严重影响电气设备的正常工

作；

④严重的短路可导致并列运行的发电厂失去同步而解列，破坏

系统的稳定性；

⑤不对称短路产生不平衡磁场，会对附近的通讯系统及弱电设

备产生电磁干扰影响其正常工作。

1.1.5减少短路电流危害的措施

①限制短路电流的数值（采用限流电抗器）；

②限制短路电流存在的时长（继电保护装置）；

③采用继电保护和重合闸装置相配合。

2

1.1.6短路计算的任务

①选择有一定机械强度和热稳定度的电气设备，如断路器、互

感器、母线等；

②合理分配安置各种继电保护和自动重合闸装置并正确计算整

定其参数；

③在设计和选择电气主接线时，为类比各种不同方案的接线

图，确定是否需要采用限制短路电流的措施等。

1.1.7短路种类

①对称短路：三相短路；

②不对称短路：两相短路、两相短路接地、单相短路接地。

在各种短路故障中，单相接地占大多数(65%),三相短路的机会

占比最低(5%)。但三相短路的短路电流通常最大，造成的损失最严

重。

表1短路类型

3

G1

GS2

(b)等值接线图

z，/

S=8s»__________/

Z=0----------------f1

(c)等值电路

图1无限大容量电源系统

(1)当许多有限容量的发动机并联。等值电源内阻抗小于等于

短路回路总阻抗的5%-10%,就可以将电源内阻抗忽略，认为系统

是无限大容量电源：

(2)电源距短路点的距离较远。短路电抗以电源额定容量做基

准容量时的标幺值＞3,也可以看作无限大功率电源。

其中，无限大功率电源的特点：

对于无限大容量电源，因短路而起的电源送出功率的变化

AS=AP+jAQ,远小于电源的容量S,S远大于AS。

①因为尸远大于AP,因此，在短路过程中，认为频率恒定；

②因为Q远大于AQ,因此，在短路过程中，认为端电压恒

定;

5

③内阻抗为0,Zs=Q；

④电源功率无限大，s=8；

⑤惯性时间常数为无穷大；

⑥短路比为无穷大。

1.4无限大容量系统供电的三相短路暂态过程分析

图2无限容量系统中三相短路

短路前，系统中的a相电压和电流分别为

Ua=Umsin(wt+9Q)⑴

ia=lmSin(wt+/-0)⑵

式中

i_________________________

Im-J22⑶

J(R+Rf)+(X+X，)

X+Xf

(P=arctan-----(4)

丫R+Rr

短路后看作两个单独回路。对于右半回路，由于有电阻存在，电流将

从短路发生瞬间的值不断衰减到0。故电路暂态过程的分析与计算主

要针对左半回路。

6

图3短路后等值电路

短路后电路电流满足：

Ria+L器=Umsin（wt+8。）(5)

解微分方程得：

UmT

ia=--sin(wt+口。-0忆)+Cea

(6)

=Ipmsin(wt+册一(pG+C届=ip+inp

j--m

Pm-⑺

X

(pk—arctan-(8)

由于短路中存有电感，而电流在电感中不能突变，则短路前一瞬间

(t=0-)的电流与短路后瞬间(匚0+)电流相等。即：

7sm伍-(p)=Ipmsin^90-(pk)+C(9)

则：

C=/msin(0o-<P)-IpmSin^o-(pk)=inpQ(10)

所以

ia=IpmSin(wt+0O-0k)+

-t

[ImSin^o-(p)-Ipmsin(ie0-@Q]e石(II)

7

图4三相短路电流波形

全电流表达式特点：

①短路的瞬间，电感电流保持不变；

②短路电流中包含周期分量和非周期分量；

③二相短路电流的交流分量=相对称；

④三相短路电流的直流分量彼此不等，但以同样乙衰减；

⑤三相短路电流的全电流三相不对称，但对于某一相来说，相路

电流III）线的对称轴为直流分量Illi线；

⑥短路电流瞬时值的大小与直流分量的起始值有关；

⑦在确定回路阻抗电源、电压幅值的情况下，直流分量的初始值

与电源电压的起始相角及短路之前回路中的电流有关。

综上，当短路在电感电路中发生且短路前为空载的情形下，电流

的直流分量最大，若初始角为|a-（p\=9Q°则一相（a相）短路电流的直

流分量起始值的绝对值达到最大值（等于短路稳态电流的幅值）。

8

1.5短路冲击电流

定义：在最严重短路情况下，三相短路电流的最大可能瞬时值。

作用：检验电气设备和载流导体的动稳定度。

非周期分量电流的初始值/次0+）最大时，短路全电流的瞬时值为

最大，短路情况最使非周期电流有最大初，直的条件是：

①短路前空载;

②短路瞬间电源电压过零，即初相角二0。

对应的短路电流变化曲线如图所示。

图5直流分量最大时短路电流波形

短路冲击电流出现在约半个周期后，f为50Hz时，此时间约为

O.OlSo冲击电流值:

认一幻七十tpiriTu(12)

一0.01-0.01

eTa

hmp=1pm+1pm=%m(1+e%)=y/2KimpIp(13)

一o.oi

Kimp=(1+ek)叫做冲击系数。

当电阻/?二0时，Ta=三=亲=8,小口=2,代表短路电流非周

期分量不衰减。

9

当电抗X=0时，兀=玄=焉=0,Kimp=\,代表不产生非周期分

量。

因此，冲击系数的范围：1VK由V2

实际应用中，当短路发生在发电机母线时，Kimp=l.9；

当短路发生在高压侧母线时，KMP=L85；

当短路发生在其他点时，Kimp=L8。

1.6短路电流最大有效值

在暂态过程中，任一时刻t的短路电流的有效值是指以时刻t为

中心的一个周期内路全电流瞬时值的均方根值，即

T

lt=字①+•)2立(14)

N2

式中，八前、/研分别为t时刻的短路电流、短路电流的周期分量

以及短路电流的非周期分量的瞬时值。

在电力系统中，短路电流非周期分量的幅值在一般情况下是衰减

的。为了简化计算，通常假设:短路电流非周期分量在以时间t为中心

的一个周期内恒定不变，因而它时间t的有效值就等于它的瞬时值,

即/刖=i研。对于短路电流的周期分量，也认为它在计算的时间内幅值

是恒定的。因此,t时刻的周期电流的有效值应为Ipl=Ip=Ipitl/V2,因此，

短路电流的有效值可以简化为：

-=+/嬴(15)

短路电流的最大有效值出现在短路后的第一个周期。在最不利的

情况下发生三相短路时，加〃=/〃,〃，而第一个周期的中心为t=0.01s,这

10

时，非周期分量的有效值为

-0.01

[ap=^pmeTa=(Kjmp-1)(16)

将上述式子整理可得：

limp=JM+[(Kgp_l)=%Jl+2(Kimp-1),(17)

当冲击系数Kimp，9时，Iimp=1.6/p；

当冲击系数Kimp=L8时，/imp=l・52/p。

可用来检查断路器的开断能力。

1.7短路容量

短路容量又称为短路功率，它等于短路电流有效值与该点正常工

作电(在近似计算中取为平均额定电压)的乘积。7时刻的短路容量为

Skt=^UaMkt(18)

用标幺值表示为：

Skt*=—=4^^=—=Ikt*=—(19)

bB6UB】BIB

就是说，短路功率的标幺值和短路电流的标么值相等。利用这一

关系短路功率容易求得:

Skt=SB1kt*(20)

另外，若已知由电源至某电压级的短路容量S履或断路器的断流

容量s℃,则可用此式求出系统电抗的标么值为：

XR=泡=包(21)

ZSkts℃7

短路功率主要用来校验断路器的切断能力。把短路功率定义为短

路电流和工作电压的乘积，这是因为一方面断路器能切断这样大的短

路电流，另一方面在断路器断流时其触头应能经受工作电压的作用。

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在短路实用计算中，常用短路电流周期分量的初始有效值来计算

冲击电流、最大有效值电流和短路功率。

1.8同步发电机的基本方程

1.8.1理想电机

①对称性。电机定子三相绕组完全对称，在空间互相相差120°

电角度，转子在结构上对于纵轴(d)和横轴(q)分别对称；

②正弦性。定子电流在气隙中产生正弦分布的磁动势，转子绕组

和定子绕组间的互感磁通也在气隙中按正弦规律分布；

③光滑性。电机的定于和转子具有光滑的表面(不考虑定转子槽、

通风沟等)；

④不饱和性。假设电机铁心部分磁导率为常数，忽略磁路饱和、

磁滞、涡流影响，即线性元件，分析中可运用叠加原理。

1.8.2abc坐标系统方程

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如图6所示，分别为同步电机的结构示意图和各绕组的电路图,

图中给出了各绕组电流、电压和磁轴的参考方向，规定如下：

①电压和电流的正方向。在等值电路中，定子按照发电机惯例,

三相电流分别取从端点流向系统为正方向，三相电压取相对于中性点

的方向为正;励磁绕组按照负载惯例，电流从励磁电源流出方向为正:

②在空间，定子三相绕组磁轴的正方向分别于各绕组的正向电流

所产生的磁通的方向相反;转子各绕组磁轴的正方向与正向电流所产

生的磁通的方向相同；

③定子和转子各绕组磁链的正方向与其磁轴的正方向相同，各绕

组由磁链变化所产生的感应电动势服从楞次定律；

④转子d轴的正方向规定为转子的N极，转子q轴的正方向是

沿转子旋转方向超前d轴90°。

另外，考虑到暂态过程中电压、电流和磁链都随时间变化，因此，

用小写字母表示它们的瞬时值。

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其中电势方程为:

o

必

一y0000TaVa

以

一/

00000fWb

.

乙o

0000Q

一YTcWc

—o+2)

wo/0o0n00必

o0o00YD0WD

一,o000)fQ--»Q-.WQ.

也代表该绕组磁链的一阶导数。发电机的电压方程包括定子电压方

程和转子电压方程，通常各绕组的电随是已知因此欲求得各运行参

数，必须先求出各个绕组的磁链；

也%

人%f

abDQ

也一必

4以

//DQ

Wbab

以

以

皎

ab/D以Q

Wc3

叫

2叼％(2

必abfDQ

几

均

“/

WDabDQ

明

与

为%

也一ab/DQ

磁链方程中的电感系数与转子的位置有关，并非常数，当转子旋

转时，这些电感系数也随之变化。上式中，系数矩阵是对称矩阵，对

角元素为绕组的自感系数，非对角元素为绕组间的互感系数。

1.8.3自感系数与互感系数

1.8.3.1定子各绕组的自感系数

以a相为例，分析定子绕组自感系数的变化。在图7中，画出了

转子在四个不同位置时，a相绕组磁通所经过的磁路。由此看出，对

于凸极机，定子绕组的自感系数匕小，晨是周期为"的偶函数;

对于隐极机，定子绕组的自感系数不随转子的转动而变化。

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图7定子绕组自感

183.2定子绕组的互感系数

以a、b两绕组为例，分析定子各绕组间的互感系数。在图8中，

画出了转子在四个不同位置时，交链a、b相绕组通所经过的磁路。

由此得出结论，对于凸极机，定子各绕组间的互感系数M0Mca

是周期为n的偶函数；对于隐极机，定子绕组间互感系数不随转子的

转动而变化。

图8定子绕组间的互感

1.8.3.3转子绕组的自感系数

转子绕组电流产生的磁通，由于磁路的磁导总是不变，因此转子

各绕组的自感系数0、£功和LQQ都是常数。

1.8.3.4转子各绕组间的互感系数

两个纵轴绕组（励磁绕组f和阻尼绕组D）之间的互感系数

M祈尸常数，转子的纵轴绕组f、D和横轴绕组Q的轴线互相垂直，

=

它们之间的互感系数为零，即MfQ—MQf—MDQMQ/）=OO

1.8.3.5定子绕组与转子绕组间的互感系数

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无论是凸极机还是隐极机，这些互感都与转子绕组对于定子绕组

的相对位置有关，都是周期为2n的周期函数。同步发电机电感系数

的变化情况，如下表所示。

表2同步发电机电感系数变化情况表

定子绕细日感系数周期为n的函数周期为n的函数周期为n的函数

隐极机为常数隐极机为常数隐极机为常数

Mab-MbaMi-MhMg=M“c

定子绕组间互感系Kc

周期为n的函数周期为n的函数周期为n的函数

隐极机为常数隐极机为常数隐极机为常数

转了•绕组自感系数Lff=Lf（常数）LDD=LD（常数）LQQ=LQ（常数）

转子绕组间互感系

MfD=MDf（常数）MfQ=MQf=OMDQ=MQD=O

数

续表2

Mfa=MafMfb=MbfMfc=Mcf

周期为2rl的函数周期为2n的函数周期为2rl的函数

定子绕组间互感系MDa=MaDMDb=MbDMDc=McD

数周期为2rl的函数周期为2n的函数周期为2rl的函数

MQa=MaQMQb=MbQMQc=McQ

周期为2rl的函数周期为2n的函数周期为2rl的函数

通过分析，得知同步发电机的许多电感系数随着转子的转动而变

化，将电感系数代入电势方程中，可以看出abc坐标系统的电势方程

为变系数微分方程。

1.9派克变换

为了将同步发电机含有变系数的微分方程“改造”成常系数的微

分方程，可以把原来在abc系统中的各个物理量变换到其他的系统中

去研究。在电机的运行过程中，气隙中的合成旋转磁通是起决定性作

用的因素，因为正是这个磁通在绕组中感应电动势，也是这个磁通和

电流一起相互作用产生了电磁转矩，因此，它是各种电机工作的基本

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条件。任何两个能够产生相同的气隙合成磁通的多相绕组系统，对电

机的工作来讲，应该是等效的。由此可见，变换不但可能，而且还会

多种多样。

派克变换就是将a、b、c坐标系统的量经过派克变换(系数可不

同)，转换为dqO系统的另外三个量。例如对于电流：

/cos0cos(0—120°)cos(0+120°)lr/

iq=--sind—sin(8—120°)—sin(6+120°)ib

io-l3111k

222J

(24)

J、iq、%分别为定子电流的d轴，4轴，零轴的分量

i(lqO=Piabc(25)

逆变换后可得:

cos6sin61][id]

cos(0-120°)sin(0-120°)1iq(26)

cos+120°)sin(6+120°)1L'o」

同理，对于电压和磁链也可进行派克变换和逆变换。

1.10派克变换规律

以电流为例：

①当三相电流不平衡时，存在零轴电流%=；(U+*+J)；当

三相电流不对称，但满足三相电流之和等于零时，不存在零轴电流;

当三相电流对称时，不存在零轴电流;

②零轴电流不是零序电流，零轴电流对应的是瞬时值电流，零序

电流对应的是基频周期电流，可用相量表示；

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③平衡系统不一定是对称系统，但对称系统一定是平衡系统。

④若为正序基频交流，则Jq为直流，曲=0；

⑤若心比为直流，则为基频交流，已=：（二+ib+ic）；

⑥若Ube为负序基频交流，则idq为2倍频交流，io=0;

⑦若心兀为2倍频对称交流，则为基频交流，io=（）。

LHdqO坐标系统的同步发电机方程

1.11.1dqO坐标系统的电势方程

经过派克变换后的电势方程有名值表达式为：

「R00000r-idiWf■3%一

Wq

Uq0R0000一3%

00R000To矽

“0—00

Rf00+(27)

%00050

00000RD0WD0

-0JRQJl10J

.00000-Q-WQ-

由此可得：变换后的电压方程由三项构成，分别是电阻压降、变

压器电势、发电机电势。其中,标幺值表达式为:(3*=1)

R00000-id叭一%

产“1Tq

Uq0R0000%Td

劭00R000一%Wo0

—Rf+(28)

Uf00000if屯o

00000RD0记WDo

LoJRQJ

,00000-lQ-.WQ.Lo」

1.11.2dqO坐标系统的磁链方程

经过派克变换后的磁链方程的有名值表达式为:

18

Ld00mafmaDo-「一如

“q0Lq0005一」

00000To

—(29)

料00Lf07

01.5maD00TH”LD0

L-lQ-

-0-0l-5maQ000Q-

Ld、Lq分别是定子的直轴等效绕组和交轴等效绕组的电感系数,

称为直轴同步电感和交轴同步电感，。为零轴绕组等值电感，上式右

边的系数矩阵不对称，是由于定子三相合成磁动势的幅值为一相磁动

势的1.5倍。当选取合适的基准值后，系数矩阵就变得对称。

经派克变换后的磁链方程的标幺值表达式为：

Xd00Xad0[-id]

%0Xq000Xaq