2024年广东省中考数学模拟题汇编：圆（附答案解析）

2024年广东省中考数学模拟题汇编：圆

一.选择题（共10小题）

1.如图，△ABC是。。的内接三角形，若NBCA=6（T,则NABO=（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

2.如图，点A、8、C、O都在。。上，OA_L3c.若乙4。8=40°,则NA。。的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.80°

3.如图，四边形ABCQ是菱形，NB=60°,AB=2,扇形AEF的半径为2,圆心角为60°,

则图中阴影部分的面积是（）

/3/—27rV3271/—

A.TC—B.n—V3C.———D.——y/3

2323

4.如图，点A、B、。是。。上的点，ZAOB=56°,则NAC8的度数是（）

A.56°B.30°C.28°D.20°

5.如图，四边形A8CO内接于O。,若它的一个外角NOCE=65°,则ZBOD的度数为（）

A.105°B.110°C.120’D.130°

6.如图，的内接正方形A8C。的边长为4,则的半径为（）

A.V2B.2V2C.4&D.2

7.圆锥的底面圆半径是3c母线长是4c/〃，则圆锥的侧面积是（）

A.9nB.12KC.15nD.20n

8.如图，在正方形A8CZ）中，尸是8c边上一点，连接AF,以4尸为斜边作等腰直角三角

AEF.有下列四个垢论：①NC4F=ND4E；②FC=③当NAEC=135°时，

£为△AEC的外心；④若点尸在8。上以一定的速度，从3往C运动，则点E与点尸的

运动速度相等.其中正确的结论为（）

A.①②B.®®®C.④D.③④

9.已知。0的半径为8,点A在OO内，则Q4的长可能为（）

A.6B.8C.10D.12

10.如图，点P1〜P8是。。的八等分点.若△尸IP3P7,四边形尸3P4P6P7的周长分别为

则下列正确的是（

A.a<bB.a=b

C.a>bD.a,b大小无法比较

二.填空题（共5小题）

TC个

11.若扇形的圆心角为30°,面积为孑cm?,则它的半径为cm.

12.如图，扇形AO8的半径08=2,将扇形AO8绕点A逆时针旋转得扇形ACQ,当点C

落在油上时旋转停止，则扇形ACO中空白部分的面积为（结

果保留IT）.

13.如图，然为。。的直径，A8=4,点C为。0上一点，乙48。=30°,则图中阴影部

分的面积为（结果保留IT）.

14.如图，从直径为四的圆形纸片中剪出一个圆心角为90°的扇形8AC,且点A、B、

C在圆周上，若把这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的高度

是

15.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材

料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.一个巢房的横截

面为正六边形AACDE”，如图所示，若边心距。M=V577im,则这个正六边形的面积是

innr.

三.解答题（共5小题）

16.“世界读书日”来临，某校为了解学生读书情况抽取部分学生进行调查，调查结果如下

表所示.

平均每周的课外阅读时间频数分布表

组别平均每周的课外阅读时间t/h人数

Ar<616

B6WV8a

C8W/V10b

D♦2108

根据以上图表信息，叵答下列问题：

（1）这一次被选取调查人数为人，。=;

（2）如图，8组所在扇形的圆周角的大小为；

（3）若该校共1000名学生，请你估计平均每周的课外阅读时间不小于8/?的人数.

平均每周的课外阅读时间扇形统计图

17.如图，A8为。。的直径，点C在上，过点C作。O切线8交SA的延长线于点

D,过点。作。上〃AC交切线QC于点£,交BC于点F.

(1)求证：NB=NAS；

(2)若BC=8,求0E的长.

18.如图，已知等腰△ABC,AB=AC,4Q平分NBAC,以AO为直径作。0,交AB于点E,

交AC于点尸.

(1)求证：6c是的切线；

(2)连接03与石厂交于点P,若0G=3,EG=4,①求AQ的长；②求PG的长.

19.日轻仪也称日孱，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当

时的时辰或刻度.小明为了探究口器的樊秘，在不同的时刻对口唇进行了观察.如图，

口唇的平面是以点。为圆心的圆，线段。石为口器的底座，点C为口唇与底座的接触点，

QE与。。相切于点C,点A,8,r均在OO上，且CM,OB,。?为不同时刻卷针的影

长，OF,OB的延长线分别与。E相交于点石，。，连接AC,BC,已知OE〃BC.

(1)求证：OELAC；

(2)若OE=4,AB=2V7,求BC的长.

A

O

20.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,-5),以原点。为圆心，3为半径作圆.P

从点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴负半轴运动，运动时间为/($).连结AP,

将沿AP翻折，得到△4PQ.求△4P。有一边所在直线与。。相切时直线AP的解

2024年广东省中考数学模拟题汇编：圆

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.如图，△ABC是。。的内接三角形，若NBCA=60°,则NA8O=()

【考点】三角形的外接圆与外心；圆心角、孤、弦的关系；I员I周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；运算能力.

【答案】A

【分析】根据圆周角N8CA=60°可得对应的圆心角为120。，依据等腰三角形底角的计

算方法得到NAB。的度数即可.

【解答】解：・・・/8C4=60°,

/.ZAOB=2ZBCA=\20°,

在等腰三角形AO8中，由三角形内角和可得：

ZABO=1(180°-120°)=30°,

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角的性质，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，熟练掌握圆周

角定理是解答本题的关键.

2.如图，点4、B、C、。都在。0上，。4_LBC.若NAO8=40°,则NAOC的度数为()

A.20°B.30°C.40°D.8()°

【考点】圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】A

【分析】先根据垂径定理由OA_LBC得到祀=XB,然后根据圆周角定理计算即可.

【解答】解：•・・04_L6C,

：.AC=AB,

：.ZADC=^ZAOB=1x40°=20°.

乙乙

故选：4.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理.

3.如图，四边形48CQ是菱形，ZB=60°fAB=2,扇形4E”的半径为2,圆心角为60°,

则图中阴影部分的面秩是（）

丹l27Ty/321TL

A.n一亍B.7T—>/3C.---D.——y3

2323

【考点】扇形面积的计算：等边三角形的判定与性质；菱形的性质：圆周角定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；运算能

力；推理能力.

【答案】D

【分析】根据菱形的性质得出△ADC和△4BC是等边三角形，进而利用全等三角形的判

定得出△A。”丝△ACG,得出四边形AGC”的面积等于△AQC的面积，进而求出卬可.

【解答】解：连接AC,

•・•四边形A3c。是菱形，

/.ZB=ZD=60°,AB=AD=DC=BC=2,

；・NBCD=NDAB=120°,

・・・NACB=NACQ=60°，

•••△ABC、△ADC都是等边三角形，

：.AC=AD=2,

*：AB=2,

•••△AOC的高为百，

•・•扇形的半径为2,圆心角为60°,

AZEAC+ZCAF=ZI)AF+ZCAF=()()9,

：,ZEAC=^DAF,

设4F、DC相交于//G设BC、AE相交于点G,

在△A。，和△4CG中，

(LEAC=LDAF

]AC=AC,

LACB=3=60°

AADH^AACG(ASA).

••・四边形AGCH的面积等于△4OC的面积，

工图中阴影部分的面积是：S场形AM-SMCD=翌手-1x2xV3=^-V3,

□OUZJ

故选：D.

【点评】此题主要考查了塌形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已

知得出四边形EBFD的面积等于AAB。的面积是解题关键.

4.如图，点A、8、C是OO上的点，ZAOB=56°,则NACB的度数是()

【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系.

【专题】与恻有关的计算；运算能力.

【答案】C

【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角

的一半.根据圆周角定理，即可求解.

【解答】解：根据题意，/-ACB=^LAOB=ix56°=28°.

故选：C.

【点评】本题主要考查了圆周角定理，理解并熟练掌握圆周角定理是解题的关健.

5.如图，四边形ABCO内接于O。,若它的一个外角/。CE=65°,则N8O。的度数为（）

A.105°B.110°C.120'D.130°

【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系.

【专题】与圆有关的计算；运算能力.

【答案】。

【分析】先根据圆内接四边形的性质和平角的定义求iHNA=NOCE=65°,再根据圆周

角定理即可求解.

【解答】解：•・•四边形/WCD内接于。0,

AZA+BCD=180°,

VZBCD+ZZ）CE=180°,

・・・NA=NQCE=65°,

・・・NBOO=2N4=13（r.

故选：D.

【点评】此题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理，圆内接四边形的性质：圆内接

四边形的对角互补；圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.

6.如图，。。的内接正方形ABC。的边长为4,则。。的半径为（)

A

A.V2B.2V2C.4V2D.2

【考点】正多边形和圆；正方形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；运算能力.

【答案】B

【分析】根据圆内接正方形的性质：圆的半径等于正方形对角线的一半求解即可.

【解答】解：•・•四边形人8CO是。。的内接正方形，且边长为4,

:,正方形ABCD对角线长为V42+42=4vL

的半径为三x4-72=2板.

2

故选：B.

【点评】本题考行了圆的内接正方形，熟记圆内接正方形的性质是解题的关键.

7.圆锥的底面圆半径是母线长是4°〃，则圆锥的侧面积是（）

A.9TTB.12TTC.15TTD.20ir

【考点】圆锥的计算.

【专题】与圆有关的计算；运算能力.

【答案】B

【分析】根据扇形面积公式计算即可.

【解答】解：圆锥的侧面积为：|X2TTX3X4=I2K,

故选：B.

【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键.

8.如图，在正方形ABCZ）中，尸是8。边上一点，连接AF,以A/为斜边作等腰直角三角

形AEF.有下列四个结论：®^CAF=ZDAE,②尸C=企。/；③当NAEC=135°时，

E为△AEC的外心；④若点F在8c上以一定的速度，从4往C运动，则点E与点尸的

运动速度相等.其中正确的结论为（）

AD

A.①②B.®®®C.①③④D.①®@④

【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形

的性质：圆周角定理.

【专题】几何综合题：压轴题：图形的全等：矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；

图形的相似；推理能力.

【答案】A

【分析】根据等腰直角三角形的性质可以判断①；根据AOE凡△AQC是等腰直角三角

4尸ACl

形，可得AC=&A。，AF=y[2AE,所以一=—=、2,因为所以△

AEAD

CAF^ADAE,进而可以判断②；证明(SAS),进而可得NE4C=/石C4

=22.5°,可得CE,AE分别平分NOC4,ZCAD,DE平分NAOC,得点E是△4OC角

平分线的交点，进而可以判断③；根据正方形的性质可得当点尸与点8重合时，点E与

点。重合：当点尸与点。重合时，点E与点。重合，点E的运动轨迹为线段点尸

的运动轨迹是线段8C,BC-CD=y[2OD,且点歹与点E的运动时间相同，进而可以判

断④.

【解答】解：•・•西边形ABC。是正方形，

：,AD=CD,ZADC=90°,ND4C=NDC4=45°,

•・•△。底/是等腰直角三角形，

・・・NEA尸=/OAC=45°,

AZEAF-ZCAE=ZDAC-MAE,

：.ZCAF=ZDAE,故①正确；

VADEF,△AOC是等腰直角三角形，

：.AC=\[2AD,AF=yflAE,

9：ZCAF=ZDAE,

FCAC

:.—=—=V2r,

DEAD

:.FC=0DE,故②正确；

VACAF^ADAE,

AZACF=ZADE=45a,

VZADC=90°,

AZADE=ZCDE=45°,

在△人QE和△CDE中，

AD=CD

Z.ADE=Z-CDE>

DE=DE

•••△4。四△COE(SAS),

**»AE=CEt

：.ZEAC=ZECA,

VZAEC=135°,

AZEAC=ZECA=22.5°,

•・・/OAC=NZ)CA=45°=2ZEAC=2^ECA,

:.CE,AE分别平分NDC4,NC4O,

VZADE=ZCDE=45°,

...QE平分NA。。，

:.点E是△AQC角平分线的交点，

，七为△40。的内心，故③错误；

如图，连接8。交AC丁点0,

V^ADE=ZCDE=45°,

当点尸与点8重合时，点E与点。重合；当点尸与点C重合时，点E与点。重合,

・•.点E的运动轨迹为线段OD，点、卜的运动轨迹是线段BC,

9：BC=CD=V20D,且点尸与点E的运动时间相同，

/.VF=>[2vEy

・••点尸与点E的运动速度不相同，故④错误.

综上所述：正确的结论是①②，共2个.

故选:A.

【点评】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了三角形的内切圆与内心，

全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，

勾股定理，点的运动轨迹，解决本题的关键是确定点E的运动轨迹.

9.已知。0的半径为8,点A在。。内，则。4的长可能为（）

A.6B.8C.10D.12

【考点】点与圆的位置关系.

【专题】圆的有关概念及性质：推理能力.

【答案】A

【分析】先得到圆的半径为8,根据点与圆的位置关系的判定方法得到当/>8时，点P

在外；当d=8时，点尸在。0上；当d<8时，点P在。。内，然后对各选项进行

判断.

【解答】解：的半径为8,

...当时，点夕在。。外；

当d=8时，点。在。。上；

当d<8时，点P在。。内.

故选：A.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关

系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.

10.如图，点Pl〜&是O。的八等分点.若△为尸3尸7,四边形尸3尸4尸6尸7的周长分别为小力，

则下列正确的是（）

A.a<bB.(i=b

C.a>bD.a,b大小无法比较

【考点】正多边形和I员.

【专题】正多边形与阿；运算能力；推理能力.

【答案】A

【分析】利用三角形的三边关系，正多边形的性质证明即可.

【解答】解：连接P4P5,P5P6.

•・•点Pl〜08是OO的八等分点，

/.P3P4=P4P5=P5P6=P6P7,P1P7=P1P3=P4P6，

:.b-a=P3P4+P7P6-PlP3,

•・•尸5P4+P5P6>04代，

，P3P4+P7P6>P1P3,

：.b-a>0,

:・a<b,

故选：4.

【点评】本题考查正多边形与圆，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题，属于中考常考题型.

二.填空题（共5小题）

7T个

11.若扇形的圆心角为30°,面枳为三cm?.则它的半径为」“九

【考点】扇形面积的计算.

【专题】与圆有关的计算；运算能力.

【答案】2.

【分析】设扇形的半径为rem,再根据扇形的面积公式求出，•的值即可.

【解答】解：设扇形的半径为，"〃?，

:嗣形的圆心角为30“，面枳为3口。/，

.3071X7*21

••=n9

3603

解得「=±2（负值舍去）.

故答案为：2.

【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键.

12.如图，扇形408的半径08=2,将扇形AO8绕点A逆时针旋转得扇形ACD,当点C

落在而上时旋转停止，则扇形4co中空白部分的面枳为三+、/§（结果保留H）.

-3-

【考点】扇形面积的计算；旋转的性质.

【专题】与圆有关的计算；运算能力.

【答案】，+后

【分析】连接0C，由旋转的性质得到由旋转的性质得AC=A。，扇形ACO中空白部分

的面积=扇形A08中空白部分的面积，求出扇形BOC的面积，等边三角形AOC的面积，

即可得到扇形A08空白部分的面积.

【解答】解:连接OC

由旋转的性质得：AC=AO,扇形AC。的面积=扇形AO/3的面积，

・•・扇形ACO中空白部分的面积=扇形AOB中空白部分的面积，

yOC=OA,

•••△AOC是等边三角形，

AZAOC=60°,

AABOC=ZAOB-ZAOC=900-60°=30°,

a：013=2,

2

・•・扇形BOC的面积=鳖祟=%r,

JOU3

•・•等边三角形AOC的面积=乎OC'=第x2?=V3,

工扇形404空白部分的面枳=扇形BOC的面积+A40C的面积=in+V3.

O

【点评】本题考查扇形面积的计算，旋转的性质，关雏是求出扇形80C的面积，等边三

角形A0C的面积.

13.如图，43为的直径，AB=4,点。为上一点，NA4C=30°,则图中阴影部

【考点】扇形面枳的计算；圆周角定理.

【专题】马圆有关的计算；运算能力.

【答案】V3.

【分析】作OQ_L5C于点Q,利用垂径定理求得N30C=120°,0。=1,"=CD=乃,

根据扇形面积公式和三角形的面积即可求解.

【解答】解：过点。作OD18C于点D,

TAB为。。的直径，A8=4,NA8C=30",

11

：.OB=^AB=2,OD=^OB=1,NBOD=90°・30°=60°，

AZBOC=2X60°=120°,BD=CD=V22-l2=V3,

1207TX221/-47-

・••图中阴影部分的面积为一八一7X2V3x1=-7T-V3,

36023

故答案为：-7T-V3.

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，垂径定理，扇形面积公

式，解题的关键是添加辅助线，利用扇形面积减三角形面积求得阴影部分面积.

14.如图，从直径为的圆形纸片中剪出一个圆心角为90"的扇形BAC,且点A、B、

c在圆周上，若把这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的高度是—半包_.

-4

【考点】圆锥的计算；展开图折叠成几何体.

【专题】与圆有关的计算；推理能力.

【答案】-y-c/M.

4

【分析】连接BC,先计算出A8,再设这个圆锥的底面圆的半径为「，然后利用圆锥的侧

面展开图为•扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2口二笔勒，求出r="

loU4

进而求出圆锥的高.

【解答】解:连接BC,如图：

*：BC=\f2cm,ZBAC=90c,AB=AC,

，NABC=NACB=45°，

.*.AB=AC=y/2xsin45°=V2x^-=1(c〃?),

设这个圆锥的底面圆的半径为r,

90X7TX1

:.2nr=

180

解得：丁二/

・•・这个圆锥的高度为:J1-（扔=半（cm）,

故答案为：

4

【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是明确圆锥的侧面展开图为一扇形，这个

扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

15.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材

料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.一个巢房的横截

面为正六边形ABCDEF,如图所示，若边心距OM则这个正六边形的面积是

6V3imrr.

【考点】正多边形和他.

【专题】正多边形与圆；运算能力.

【答案】6V3.

【分析】连接。3,OC,证明△BOC为等边三角形，得出OB=8C=OC,根据勾股定理

求出BO?—（鼻。）2=（百）2,得出80=2,求出SA80C=£BC・OM=]X2X>/5=

V3（7nm2）,得出六边形的面积即可.

【解答】解：连接OB,OC,如图所示:

,:六边形ABCDEF是正六边形，

orno

:.乙BOC=OB=OC,

6=60°.

为等边三角形，

：.OB=BC=OC,

•・・OM_L8C,

1,BM=MC=/c,LBOM=^LBOC=30°,

：.BM=}BO,

222

根据勾股定理得：BO-BM=OMt

即8。2_弓8。)2=(6)2,

解得：80=2,负值舍去，

BC=BO=hnin,

•FBOC=1X2XV3=>/3{mmz),

:.S六边形ABCDEF~6sA80C=6V3m7n2.

故答案为：6vs.

【点评】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面

积计算，解答本题的关键是明确正六边形的特点.

三.解答题(共5小题)

16.“世界读书日”来临，某校为了解学生读书情况抽取部分学生进行调查，调查结果如下

表所示.

平均每周的课外阅读时间频数分布表

组别平均每周的课外阅读时间〃〃人数

4/<616

B64V8a

C8WzV10b

D8

根据以上图表信息，叵答下列问题：

（1）这一次被选取调查人数为80人,a=32；

（2）如图，4组所在扇形的圆周角的大小为1440；

（3）若该校共1000名学生，请你估计平均每周的课外阅读时间不小于8/?的人数.

平均每周的课外阅读时间扇形统计图

【考点】圆周角定理；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；算术平均数.

【专题】统计的应用；应用意识.

【答案】（1）80；32；

（2）1440；

（3）学生平均每周的课外阅读时间不少于8〃的人数为400人.

【分析】（1）用4组的人数+所占百分比计算即可，计算。组的百分比，再计算8组的

百分比，计算即可；

（2）用8组的百分数乘以360°即可;

（3）用C,。两组的百分数之和乘以1200即可.

【解答】解：（1）样本容量为：16+20%=80（人）；84-80=10%,

；・8组的占比为:1-20%-10%-30%=40%,

，a=80X40%=32（人），

故答案为：80；32；

（2）由（1）知B组所占百分数为40%,

・・・8组所在扇形的圆心角为：360°X40%=144°,

故答案为：144°；

C）根据题意.得C。两组所占的百分数之和为10%+30%=40%.

・••学生平均每周的课外阅读时间不少于8人的人数为：1000X40%=400(A).

【点评】本题考查了扇形统计图，频数分布，样本估计整体，熟练掌握样本容量的计算,

圆心角的计算是解题的关键.

17.如图，A8为的直径，点。在。。上，过点。作切线CQ交84的延长线于点

D,过点。作。/〃4C交切线于点E,交BC于点F.

(1)求证：N8=NACO；

(2)若AB=10,BC=8,求0E的长.

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力.

【答案】(1)见解析；

(2)。£=芋25

【分析】(1)连接OC根据切线的性质，得到NOCO=NACO+NACQ=90。，圆周角

定理得到乙4€73=/0。8+乙4。0=90。，推出NOCB=N4CO,根据等边对等角，得到

/B=NOCB,即可得证；

ACAB

(2)勾股定理求出AC的长，证明△ACBS/XOCE,得到一=一,即可得解.

OCOE

【解答】(1)证明：连接OC,如图所示：

〈AB是。。的切线，

・•・ZOCD=NACO+NACO=90°,

•••/W为直径，

・•・NACB=NOCB+NACO=90°,

：・NOCB=NACD,

YOB,OC是。。的半径,

：.OB=OC,

；・/B=/OCB,

，NB=NAC。；

(2)VZACB=90o,A8=10,8c=8,

：,AC=TAB?-BC2="02-82=6,

•：OC=OA=OB,

：.OC=AB=1x10=5,

a：OE\user2||AC,

・•・ZACD=NE,

，NB=NE；

VZACB=ZOCE=9G0,

J△ACBSROCE,

ACAB610

—=—,即-=—,

OCOE5OE

25

JOE若.

【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质.熟练掌握切线

的性质，直径所对的I员周角是直角，是解题的关键.

18.如图，已知等腰△4AC,A4=4C,AQ平分NZMC,以A£＞为直径作O。，交AB于点E,

交AC于点F.

(1)求证：8c是OO的切线；

(2)连接OB与E尸交于点尸，若OG=3,EG=4,①求4。的长；②求尸G的长.

【考点】切线的判定与性质；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理.

【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力.

【答案】(1)见解析；

(2)①10；②3.

【分析】(1)根据三线合一定理得到4O_L8C,即可证明8c是。0的切线；

(2)①如图所示，连接。£,DF,OE,由角平分线的定义和圆周角定理得到NE4Z)=/

FAD,即可利用三线合一定理得到AG_LER利用勾股定理求出OE=5,即可求出HO的

长；

②证明石尸〃8C,得到△AEGSAIQ,利用相似三角形的性质求出8/3=5,证得△0D8、

△OPG是等腰直角三角形，即可求出PG的长.

【解答】(1)证明：A。平分NR4C,

：.AD1BC,

是。。的半径，

••・8C是。0的切线：

(2)解：①连接DF,0E,

•・・AZ）为。。的直径，

/.ZAED=ZAFD=90°,

•••4。平分NZMC,

：.ZEAD=ZFAD,

：.NADE=NADF,

：,AE=AF,

：.AG1EF,

•・・0G=3,EG=4,

：.0E=y/OG2+EG2=5,

；・AG=8,40=10.

®V4G±EF,ADA.BC,

:,EF〃BC,

.△AEGSAAB。,

AGEG

AD~BD

84

••—，

10BD

/.BD=5f

BD=ODr

是等腰直角三角形，

・・・/。8。=45°,

■:EF〃BC,

：./OPG=NOBD=45°,

•••△OPG是等腰直角三角形，

•••PG=OG=3.

【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三线合一定理，勾股定理，相似三

角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

19.FI展仪也称日辱，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据FI影的位置，以指定当

时的时辰或刻度.小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日展进行了观察.如图，

口辱的平面是以点。为圆心的圆，线段为口器的底座，点C为日展与底座的接触点，

。石与OO相切于点C,点4,B,户均在上，且OA,OB,。尸为不同时刻辱针的影

长，OF,OB的延长线分别与。E相交于点E,。，连接AC,BC,已知OE〃BC.

(1)求证：。/JLAC；

(2)若OE=4,AB=2V7,求BC的长.

4一」，KCD

【考点】切线的性质；平行投影；圆周角定理.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】(1)证明见解析:

【分析】(D证出8C'_LAC,则可得出结论;

（2）连接。。，证明△0CES/\BC4,由相似三角形的性质得出77=二7，则可得出答

ABBC

案.

【解答】（1）证明：・・・48为圆O直径，

・・・N4C8=90°,

••・8C_LAC,

■:OE//BC,

；・OEA.AC.

即OFLAC；

（2）解：连接OC

VOC=OB,

；・NOCB=NOBC,

,/OE//BC,

：・/OCB=/EOC,

：.ZOBC=ZEOC,

•・・£C是圆。的切线,

・•・OCA.EC,

・・・NOC£=90°,

；・NOCE=NACB,

:•△OCESXBCN,

OEOC

••=9

ABBC

._4___V7

A2V7=而‘

:.BC=4.

【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确

地作出辅助线是解题的关键.

20.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0,-5）,以原点。为圆心，3为半径作圆.P

从点。出发，以每秒1个单位的速度沿x轴负半轴运动，运动时间为f（s）.连结AP,

将△。从P沿AP翻折，得至IJ4APQ.求△APQ有一边所在直线与相切时直线AP的解

析式.

【考点】切线的性质；