湖南省多校联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

湖南高一年级期中考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前三章．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得集合，然后利用交集的定义求解.【详解】因为，所以．故选：B．2.若函数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用换元法求解析式即可.【详解】令，得，则，则．故选：C．3.若与均为定义在R上的奇函数，则函数的部分图象可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分析ℎx的奇偶性，然后直接判断即可【详解】因为与均为定义在R上的奇函数，所以，又因为的定义域为R且关于原点对称，且，所以ℎx故图象关于轴对称且，符合要求的只有选项B，故选：B.4.若函数满足，则（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用赋值法，令即可得解.【详解】令，得，解得．故选：D．5.若不等式对一切实数都成立，则整数的个数为（）A.67 B.68 C.69 D.70【答案】C【解析】【分析】即恒成立，分和两种情况，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出，得到答案.【详解】依题意可得对一切实数都成立，当时，对一切实数都成立；当时，需满足，解得．综上，，整数的个数为69．故选：C6.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的单调性求解.【详解】由得，所以的定义域为．因为与在上均为增函数，所以在上为增函数，所以，即函数的值域为.故选：A.7.已知正数，满足，则的最小值为（）A18 B.14 C.12 D.10【答案】A【解析】【分析】由条件可得，利用基本不等式中1的妙用求解即可．【详解】由正数，满足，得，则，则，当且仅当且，即时，等号成立，故的最小值为18．故选：A．8.已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，函数在R上单调递减，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可.【详解】不妨假设，由，得，则在R上单调递减，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的大致图象如图所示，若在上单调递增，则的值可以为（）A. B. C.0.8 D.5【答案】BCD【解析】【分析】根据函数单调性的概念及图象特征，列不等式求解的取值范围即可.【详解】由图可知，在上单调递增，所以或，所以的取值范围为．故A不符合题意，BCD符合题意.故选：BCD.10.设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据“循环函数”的概念逐项判断即可.【详解】若，则，得为“循环函数”，故A正确；若，则，得不是“循环函数”，故B错误；若，则，得为“循环函数”，故C正确；若，则，得为“循环函数”，故D正确.故选：ACD.11.已知，，且不等式恒成立，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最大值为【答案】AB【解析】【分析】由，令，利用基本不等式求的最小值，即可求得的取值范围.【详解】由，，则不等式，令，则，又，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立；则，当且仅当时，等号成立；又，当且仅当，即时，等号成立；故，当且仅当时，等号成立；所以，解得，因此可得的最小值为，的最大值为，故选：AB.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知命题：，，则的否定为__________．为__________．（填入“真”或“假”）命题．【答案】①.②.真【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题求出的否定，由二次函数的性质判断的真假.【详解】的否定为，，是增函数，则，故为真命题．故答案为：；真.13.设集合均为质数的真子集的个数为__________．【答案】31【解析】【分析】利用列举法表示集合，进而求出其真子集个数.【详解】依题意，，所以集合的真子集的个数为.故答案为：3114.已知函数，若不等式成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】构造函数，利用的奇偶性与单调性求解即可.【详解】设，定义域为，则，故是奇函数．不等式等价于不等式，即不等式．因为是奇函数，所以．因为均是上的减函数，所以是上的减函数，则，即，解得．则的取值范围是.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知全集，集合.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出全集，再根据补集、交集的定义求解即可；（2）易得，由得，，结合集合元素的互异性求解.【小问1详解】由题意得，则，所以.【小问2详解】由题意得，因为，所以.由，得且，所以，解得（舍去）.16.已知函数的图象经过点，函数．（1）证明：，均为幂函数.（2）判断函数的奇偶性，说明你的理由.（3）若，求的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）偶函数，理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由函数的图象经过点求出，然后根据幂函数的概念判断；（2）根据偶函数定义判断；（3）由条件得，然后利用基本不等式求的最小值．【小问1详解】因为函数的图象经过点，所以16，解得，所以，所以fx,gx【小问2详解】，由解得或，所以ℎx的定义域为，定义域关于原点对称.因，所以ℎx为偶函数【小问3详解】因为，所以，且，所以，即，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.17.梅州金柚､德庆贡柑､信宜三华李､紫金春甜桔､连平鹰嘴蜜桃､阳春马水桔､云安沙糖桔､高州储良龙眼､从化荔枝､徐闻香蕉并称为“岭南十大佳果”.眼下正值梅州金柚热销之时，某水果网店为促销梅州金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表：购买的金柚重量金柚单价元不超过的部分10超过但不超过的部分9超过的部分8记顾客购买的金柚重量为，消费额为元.（1）求函数的解析式.（2）已知甲､乙两人商量在这家网店购买金柚，甲､乙计划购买的金柚重量分别为.请你为他们设计一种购买方案，使得甲､乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额.【答案】（1）（2）甲､乙一起购买12kg的消费总额最少，此时的消费总额为111元【解析】【分析】（1）分，和三种情况，得到函数解析式；（2）在（1）的基础上，代入计算，求出甲､乙两人分开购买和甲､乙一起购买时，消费总额，比较后得到答案.【小问1详解】当时，；当时，；当时，.故【小问2详解】当甲､乙两人分开购买时，消费总额为元.当甲､乙一起购买时，消费总额为元.因为，所以甲､乙一起购买12kg消费总额最少，此时的消费总额为111元.18.已知函数，，（1）用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减．（2）当时，写出的单调区间．（3）若在上为单调函数，求取值范围．（4）求函数的最大值与最小值之差．【答案】（1）证明见解析（2）单调递增区间为，单调递减区间为（3）（4）5【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）根据一次函数与二次函数的性质求解ℎx（3）根据与的单调性及取值情况求解；（4）利用判别式法求出的最大值与最小值即可.【小问1详解】当时，．设是区间上任意两个实数，且，则，于是，由函数单调性的定义可知，函数在区间上单调递减．【小问2详解】当时，所以ℎx的单调递增区间为，ℎx的单调递减区间为．【小问3详解】由，得或．由题意得在R上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．因为ℎx在R上为单调函数，所以ℎx在所以，即的取值范围是．【小问4详解】由，得，即．当时，，则；当时，，则，解得且．综上，的取值范围是，即的最大值为2，最小值为．故的最大值与最小值之差为5．19.对于个集合，，，…，，定义其交集：；定义其并集：.（1）若，求，；（2）若，，且，