《微分方程数值解》课程教学大纲

《微分方程数值解》教学大纲课程名称：微分方程数值解英文名称：NumericalMethodsofDifferentialEquations课程编号：F035092182学分：2.5总学时/课内实践学时：40/8课程性质：选修课程开课单位：数理科学与工程学院数学系基层教学组织适应对象：信息与计算科学专业一、课程简介微分方程数值解课程是信息与计算科学及相关专业的重要课程之一，旨在帮助学生掌握微分方程数值求解的基本方法和技巧。该课程的主要内容包括常微分方程和偏微分方程的数值解法，如Euler法、Runge-Kutta法、有限差分法和有限元法等。通过理论讲授与编程实践相结合，学生将学习如何有效地应用这些数值方法解决实际问题。教学方式以讲授为主，辅以上机实验和课题研究，考核方式包括平时作业、实验报告和期末考试。课程的特色在于强调数值方法在工程和科学计算中的广泛应用，并培养学生分析和解决复杂问题的能力。在教学过程中融入思政元素，通过历史数学家的贡献和科学进步的案例，增强学生的责任意识和社会担当，同时培养他们的创新精神和民族自豪感。TheNumericalSolutionsofDifferentialEquationscourseisafundamentalcourseforInformationandComputationalScienceandrelatedmajors.Itaimstoequipstudentswithessentialmethodsandtechniquesforsolvingdifferentialequationsnumerically.Thecoursecoverskeytopicssuchasnumericalmethodsforordinaryandpartialdifferentialequations,includingEuler'smethod,Runge-Kuttamethods,finitedifferencemethods,andfiniteelementmethods.Bycombiningtheoreticallectureswithhands-onprogrammingpractice,studentswilllearnhowtoeffectivelyapplythesenumericalmethodstosolvereal-worldproblems.Thecourseistaughtprimarilythroughlectures,supplementedbycomputerlabsessionsandresearchprojects.Assessmentsincluderegularassignments,labreports,andafinalexam.Thecourseischaracterizedbyitsemphasisontheextensiveapplicationsofnumericalmethodsinengineeringandscientificcomputing,fosteringstudents'abilitiestoanalyzeandsolvecomplexproblems.Ideologicalandpoliticalelementsareintegratedintothecoursebydiscussingthecontributionsofhistoricalmathematiciansandexamplesofscientificprogress,therebyenhancingstudents'senseofresponsibility,socialcommitment,innovationspirit,andnationalpride.二、课程目标1.了解椭圆、抛物和双曲三类典型偏微分方程有限元法和有限差分法的发展历程、前沿研究动态，勤奋踏实，具备良好的科学和文化素养，培养协同合作、服务社会的意识和利用现代技术获取信息、开展学术研究的综合素质，增强科技兴国的使命感。2.掌握变分形式Ritz-Galerkin方法，椭圆型方程和抛物型方程的有限元法，二阶椭圆、抛物和双曲三类典型偏微分方程的有限差分法，离散化方程的解法等相关的基本理论，学会使用成熟的求解偏微分方程的模块化软件，为后续课程的学习和理论的实践应用打下坚实基础。3.培养学生设计和分析数值求解椭圆型方程的有限元法和有限差分法的基本能力，掌握用数值方法处理实际应用问题时所遵循的基本步骤和基本思想；培养独立思考和判断，具备基本的算法编程和数值模拟实验的能力，能够运用所学专业知识解决实际问题的应用和创新能力。1.Toknowtheelliptic,parabolicandhyperbolicpartialdifferentialequationsofthreekindsoftypicaldevelopmentoffiniteelementmethodandfinitedifferencemethod,dynamicandcutting-edgeresearchassiduoussureness,havegoodscientificandculturalquality,cultivatetheconsciousnessofcooperationandservethesocietyandmakeuseofmoderninformationtechnology,todevelopthecomprehensivequalityofacademicresearch,enhancethesenseofscienceandtechnologyandrejuvenatingthecountry.2.MastervariationalRitz-Galerkinmethod,finiteelementmethodforellipticequationsandparabolicequations,finitedifferencemethodforsecond-orderelliptic,parabolicandhyperbolicpartialdifferentialequations,solutionmethodfordiscretizedequationsandotherrelatedbasictheories,andlearntousematuremodularsoftwareforsolvingpartialdifferentialequations.Layasolidfoundationforthestudyofsubsequentcoursesandthepracticalapplicationoftheory.3.Trainstudentstodesignandanalyzethebasicabilityoffiniteelementmethodandfinitedifferencemethodforsolvingellipticequationsnumerically,andmasterthebasicstepsandideasfollowedbynumericalmethodstodealwithpracticalapplicationproblems;Cultivateindependentthinkingandjudgment,havetheabilityofbasicalgorithmprogrammingandnumericalsimulationexperiment,andcanusetheprofessionalknowledgetosolvepracticalproblemswiththeapplicationandinnovationability.三、课程目标与毕业要求对应关系本课程的课程目标对信息与计算科学专业毕业要求指标点的支撑情况如表1所示：表1课程目标与毕业要求对应关系毕业要求指标点课程目标毕业要求1：知识要求具有扎实的数学基础，掌握信息科学、计算科学和计算机科学的基本理论和基本知识。课程目标2毕业要求2：能力要求能运用所学数学和计算机知识解决某些科研或生产中的实际问题。课程目标3毕业要求3：素质要求具有正确的人生观、价值观和道德观，爱国、诚信、友善、守法，具有高度的社会责任感；具有良好的心理素质和积极的人生态度。课程目标1四、课程教学安排课程共有6项教学内容，具体安排如下。表2：课程教学安排表序号教学内容思政元素课堂教学学时实验/实践教学学时学时小计1椭圆型方程的有限差分法培养奋斗精神4482离散化方程的解法883抛物型方程的差分法和有限元法4264双曲型方程的有限差分法厚植爱国主义情怀4265变分形式Ritz-Galerkin方法爱国教育666有限元空间与椭圆型方程的有限元法66合计32840教学安排1.椭圆型方程的有限差分法教学要求：1.掌握差分逼近的基本概念：截断误差、网函数、相容条件、稳定性和先验估计等；2.掌握直接差分化法和有限体积法，了解待定系数法和变分差分法和边值条件的逼近方法；3.掌握Poisson方程的五点差分格式、误差估计和边值条件的处理；4.掌握极值定理、比较定理和五点格式的敛速估计。教学内容：1.差分逼近的基本概念；2.两点边值问题的差分格式；3.二阶椭圆型方程的差分格式；4.极值定理、敛速估计。重点难点：极值定理、敛速估计。思政要素:借助椭圆型方程的实际应用案例，引导学生要像工匠一样吃苦耐劳，精益求精，积极进取，善于创新，为我国的社会主义事业贡献力量。2.离散化方程的解法教学要求：1.掌握离散方程的基本特征、求解的四类一般迭代法；2.掌握交替方向迭代；3.了解共轭梯度法和预共轭梯度法的基本原理；4.了解多重网格法的构造和思想。教学内容：1．基本迭代法；2．交替方向迭代法；3．预处理共轭梯度法；4.多重网格法。重点难点：多重网格法。3.抛物型方程的差分法和有限元法教学要求：1.以一维热传导方程为例，掌握抛物型方程的四种最简差分格式；2.掌握抛物型方程有限差分法的稳定性的定义和判别方法，了解差分格式的收敛性和误差估计；3.掌握抛物型方程的有限元法。教学内容：1．最简差分格式；2．稳定性与收敛性；3．有限元法。重点难点：有限元法。4.双曲型方程的有限差分法教学要求：1.掌握波动方程及其特征，了解依存域、决定域和影响域，掌握显格式的构造及其稳定性分析；2.掌握几种常见的逼近双曲方程的差分格式：迎风格式、积分守恒差分格式和黏性差分格式；3.掌握双曲方程几种边值条件的提法及相应的逼近方法。教学内容：1.波动方程的差分逼近；2.初值问题的差分逼近；3.初边值问题和对流占优扩散方程的差分逼近。重点难点：初边值问题和对流占优扩散方程的差分逼近。思政元素:讲授我国数学家的案例，培养学生科学精神，激发学生爱国情怀。5.变分形式Ritz-Galerkin方法教学要求：1.以二次函数的极值问题为例，掌握变分问题的基本概念和方法；2.了解弦平衡方程的建立，掌握一维Sobolev空间的相关概念和性质，掌握极小位能原理和虚功原理；3.掌握二维Sobolev空间的相关概念和性质，以Poisson方程的第一边值问题为例，掌握一般二阶椭圆边值问题的极小位能原理和虚功原理，初步了解一般和特殊的辩证思维方式；4.掌握求解变分问题的一种重要数值解法：Ritz-Galerkin方法，了解有限元法的发展历程，培养科学和文化素养。教学内容：1．二次函数的极值；2．两点边值问题；3．二阶椭圆边值问题；4.Ritz-Galerkin方法。重点难点：Ritz-Galerkin方法。思政元素：讲授我国古代南北朝数学家祖冲之推算的圆周率的真值比欧洲要早一千多年。他不仅在数学界出名，还是伟大的天文学家。通过这些介绍，学生不仅深刻理解无理数的概念，也认识到我们祖先的聪明智慧，增强民族自豪感，激发学生的求知欲，激励学生发奋学习，积极向上，勇于创新。6.有限元空间与椭圆型方程的有限元法教学要求：1.掌握两点边值问题从不同观点出发可导出相同的有限元法；2.掌握线性有限元法的误差估计的结论及证明过程，特别是要掌握有限元解在关于L2范数下的对偶论证方法；3.会构造基于三角形网格的Lagrange型和