2024-2025学年浙江省台州市山海协作体高二上学期期中联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省台州市山海协作体高二上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x=tan75∘A.0∘ B.75∘ C.92.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，若a=2AB+AD−3AA.−1,−3,2 B.2,1,−3 C.1,9,−8 D.−1,−9,83.已知双曲线x2m−y2=1A.y=±22x B.y=±24.已知向量a，b是平面α的两个不共线向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则“a，b，c三个向量共面”是“l//α”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知P是直线l：x−2y+6=0上一动点，过点P作圆C：x2+y2−4x=0的两条切线，切点分别为A、B，则四边形A.5π B.6π C.8π5 D.6.椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0A.12 B.24 C.7.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C:(x2+y2)①曲线C关于直线y=x对称；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③存在一个以原点为中心、边长为22的正方形，使曲线C在此正方形区域内(含边界其中，正确结论的序号是(

)A.①② B.②③ C.①③ D.①②③8.如图，在三棱锥P−ABC中，点G为▵ABC的重心，点M在PG上，若PD=mPA，PE=nPB，PF=tPCA.若点G为▵ABC的重心，则PG=13PA+12PB+16PC

B.若PM=12mPA+13nPB+1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l：3kx+k+2y−6k=0，则下列选项正确的是(

)A.当直线l与直线x+y+2=0平行时，k=1

B.当直线l与直线x+y+2=0垂直时，k=−12

C.当实数k变化时，直线，恒过点2,1

D.原点到直线l10.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1A.三棱锥A1−PC1D的体积为定值

B.若E为DD1的中点，则直线BD1⊥平面A1C1E

C.若点P运动到线段B11.已知点P是椭圆x24+y2=1上的一点，O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为FA.PF2∈2−3,2+3

B.若PF1=3，且N是PF1的中点，则ON=12

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知方程x22k−1+y22−k=1表示焦点在y13.已知a=x1,y1,z1，b=x2,14.设O为坐标原点，A(3,4)，若⊙M：x2+y+832=r2(r>0)上存在点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知A1,1，B(1)若直线l过点M2,0，且点A，B到l的距离相等，求直线l(2)在y轴上存在一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P16.(本小题15分)已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0过点P0,1，直线l1：x−3y+1=0(1)求圆的标准方程；(2)过点P的直线l与圆C相交于M点，且∠PCM=2π3，求直线l17.(本小题15分)动点Mx,y与定点F3,0的距离和它到定直线l：x=33(1)求动点M的轨迹；(2)已知直线x−y+m=0与曲线C交于不同的两点A,B，且线段AB的中点在圆x2+y218.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，PA=BC=3，AB=AD=2，PB=13，E为PD中点，点F在PC上，且

(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)求平面FAE与平面AED夹角的余弦值；(3)线段AD上是否存在点Q，使得CQ//平面FAE，说明理由？19.(本小题17分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，若点(1)求C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线x=4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于两点P，Q．(ⅰ)证明：点B在以PQ为直径的圆内；(ⅱ)求四边形APBQ面积的最大值．

参考答案1.C

2.A

3.B

4.B

5.D

6.C

7.A

8.D

9.AB

10.ACD

11.ABC

12.k<113.−314.[515.解：(1)当直线l过线段AB中点时，则线段AB的中点C的坐标为2,−1∵直线l过点M2,0，且点A，B到l∴直线l的方程为x−2=0，当直线l与线段AB平行时，则kl得直线l的方程为：y=−32x−2∴综上所知：所求的直线l的方程为x−2=0和3x+2y−6=0；(2)点A1,1关于y轴对称的点为A′−1,1，则当且仅当A′，P，B三点共线时，PA+PB的最小值为由两点式可知，直线A′B的方程为y−1−2−1化简，得3x+4y−1=0，当x=0时，y=1所以点P的坐标为0,1

16.解：(1)由点P在圆C上，则1+E+F=0①，又直线l1和l2均平分圆C，则直线l1和l联立方程组x−3y+1=0x−y−1=0，解得所以直线l1和l2的交点坐标为(2,1)，即圆心C的坐标为由圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0则−D2将E=−2代入①，得F=1，所以圆C的方程为：x2+y故圆C的标准方程为：x−22(2)由题可知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+1，即kx−y+1=0，取弦PM的中点为N，则CN⊥PM，由∠PCM=2π3，且▵PCM为等腰三角形，则又PC=CM=2，则圆心C2,1到直线由点到直线的距离公式可知：CN=2k所以直线l的方程为y=±33x+1，即直线l的一般式方程为：

17.解：(1)设d是点M到直线l的距离，则动点M的轨迹就是点的集合P=M由此得x−两边平方，并化简，得2x2−即点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为2、虚轴长为2(2)设曲线C与直线x−y+m=0的交点分别为Ax1,则x−y+m=0x2−∴∴y∴线段AB的中点坐标为m,2m，又∵线段AB的中点在圆x2∴m2+4

18.解：(1)∵PA=3，AB=2，PB=∴PA∴∠PAB=90∘又∵AB⊥AD，且AD∩AP=A，且两直线在平面内，∴AB⊥平面PAD．(2)∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=ABAB⊥AD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面PAB，又因为AP⊂面PAB，∴AD⊥AP．由(1)已证AB⊥AP，且已知AB⊥AD，以A为原点，建立空间直角坐标系A−xyz如图所示，

则A0,0,0，B0,2,0，D2,0,0，C∴AD=2,0,0，AB=∵E为PD的中点，∴又∵PF=2FC，∴设平面FAE的法向量为n=x,y,z令x=−3，则y=3，z=2，∴由(1)可知，AB⊥平面PAD，∴平面PAD的法向量为AB=∴∴平面FAE与平面AED夹角的余弦值为3(3)线段AD上存在点Q，使得CQ//平面FAE，设Qa,0,0，则由(2)可知，平面FAE的法向量n=则n⋅解得a=1∴当Q是AD中点时，则CQ//平面FAE．

19.解：(1)由椭圆对称性可知，P31,3则P1，P设点P1则4a2+代入P22,0，可得a=2，b=3，即椭圆方程为x24+y23=1．

(2)(ⅰ)易知A根据题意可知直线AM，BM斜率均存在，且kMA=t所以直线AM的方程为y=t6x+2，BM联立直线AM和椭圆方程y=t6x+2x2由韦达定理可得−2xP=4t联立直线BM和椭圆方程y=t2x−2x2由韦达定理可得2xq=4t则BP=BQ=所以BP⋅