2024-2025学年安徽省“江淮名校”高二上学期期中联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省“江淮名校”高二上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线(a−3)x−y+2=0的倾斜角为30∘，则A.23 B.433 2.若复数z满足(2+3i)z=1+8i，则复数z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若方程x2+y2A.f<12 B.f>2 C.f<−14.已知向量a=(x,1,2)，b=(1,y,−2)，c=(3,1,z)，若a/​/b，bA.−1 B.1 C.−2 D.25.两平行直线l1:mx−2y−10=0，A.522 B.3 C.6.如图，在三棱锥P−ABC中，▵PAC是边长为3的正三角形，M是AB上一点，AM=12MB，D为BC的中点，N为PD上一点且PN=23A.5 B.3 C.5 D.7.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2−4y+3=0，若直线y=kx−1上存在点P，使以P点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数A.(−∞,−14]∪[14,+∞) B.(−∞,−8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA=(b+c)sinB，则a−bA.(13,12) B.(二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l:2x−3y+1=0，则(

)A.l不过原点 B.l在x轴上的截距为12

C.l的斜率为23 D.l10.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，P为空间一动点，若BPA.若λ=μ，则点P的轨迹为线段BC1

B.若λ+μ=1，则点P的轨迹为线段B1C

C.存在λ，μ∈(0,1)，使得AP⊥BC

D.存在λ，μ∈(0,1)11.若点P的坐标是(a,b)，圆M:x2+y2+2x−4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，Q(m,n)A.点P在直线x−y−3=0上

B.2m+n的取值范围是[−5,5]

C.以PM为直径的圆过定点R(2,−1)

D.若直线PA三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.数据1，3，2，2，5，8，3，6，9，8的70%分位数是

．13.在四面体ABCD中，∠BAC=∠CAD=∠DAB=90∘，AB=AC=AD=3，点E在棱CD上，CE=2ED，F是BD的中点，若BE=xAB+yAC+zAD，则x+y+z=

14.已知点P(a,b)在圆C:(x−4)2+(y+3)2=1上，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(3,3)，B(2,1)，B，C关于原点O对称．(1)求BC边上的高所在直线的一般式方程;(2)已知过点B的直线l平分△ABC的面积，求直线l的方程．16.如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中PO是圆锥的高，AB是圆锥底面的一条直径，PO= 2，OA=1，C是AB的中点．

(1)求直线BC与PA所成角的余弦值;(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．17.某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入10个标有一定金额的球(除标注的金额不同外，其余均相同)，其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有5个、3个、2个.参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸n次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额．(1)当n=1时，求甲员工所获得的红包金额不高于200元的概率;(2)当n=2时，设事件A=“甲员工获得的红包总金额不低于300元”，事件B=“甲员工获得的红包总金额不高于500元”，试判断事件A，B是否相互独立，并说明理由．18.已知圆C:x2(1)若直线l1过点P(−3,1)且与圆C相切，求直线l1(2)设直线l2:12x+5y+12=0与圆C相交于A，B两点，点Q为圆C上异于A，B的动点.求△ABQ19.球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用.球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面ABC(阴影部分)叫做球面三角形.若设二面角C−OA−B，A−OB−C，B−OC−A分别为α，β，γ，则球面三角形ABC的面积为S球面△ABC= (α+β+γ−π)R2(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积;(2)将图1中四面体OABC截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，AC⊥BC，设∠AOC=θ1，∠BOC=θ ①证明：cos ②延长AO与球O交于点D，连接BD，CD，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为π4，π3，且BE=λBD，λ∈(0,1]，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ参考答案1.B

2.D

3.A

4.B

5.A

6.D

7.C

8.A

9.ACD

10.ABC

11.AC

12.7

13.0；314.[1−15.解：(1)因为B，C关于原点O对称，所以C(−2,−1)，

kBC=1−(−1)2−(−2)=12，

所以BC边上高所在直线的斜率为−2，

因为A(3,3)，所以BC边上高所在直线的方程为y−3=−2(x−3)，

所以BC边上高所在直线的一般式方程为2x+y−9=0．

(2)因为过点B的直线l平分△ABC的面积，

所以直线l经过边AC的中点(12,1)16.解：(1)以O为原点，OC,OB,OP的方向分别作为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,−1,0)，B(0,1,0)，P(0,0,2)，C(1,0,0)，

所以PA=(0,−1,−2)，BC=(1,−1,0)，

设直线BC与PA所成的角为θ，

则cosθ=|cos<PA，BC>|=|PA⋅BC||PA|⋅|BC|=15×2=1010，

故直线BC与PA所成角的余弦值是1010．

(2)由(1)知PA=(0,−1,−2)，BC=(1,−1,0)，PC=(1,0,−2)，

设平面PBC的法向量为17.解：(1)n=1即只摸1次球，

红包总金额不高于200元，即为100元或200元，

从袋中随机摸出1个球，对应的红包金额为100元的概率为12，为200元的概率为310，

故甲员工所获得的红包金额不高于200元的概率为12+310=45．

(2)当n=2时，AB=“甲员工获得的红包总金额为300元或400元或500元”，

因为300=100+200=200+100，

400=200+200=100+300=300+100，

500=200+300=300+200，

所以P(AB)=510×310+310×510+310×310+510×218.解：(1)圆

C

：

(x+5)2+(y−7)2=4

，圆心

C

的坐标为

−5.7当直线

l1

的斜率不存在时，直线

l1

的方程为

x=−3圆心

C

到

l1

的距离

d=2=r

，

l1

与圆

C当直线

l1

的斜率存在时，设直线

l1

的方程为

y−1=kx+3

，即

由直线

l1

与圆

C

相切，得

d=−5k−7+3k+1k2+1所以直线

l1

的方程为

4x+3y+9=0

综上所述：直线

l1

的方程为

x=−3

或

4x+3y+9=0

(2)圆心

C

到直线

l2

的距离

d=−60+35+12122因为

Q

为圆

C

上异于A

，

B

的动点，所以点

Q

到直线

l2

的距离

ℎ≤r+d=3

所以

▵ABQ

的面积

S=12当

CQ⊥l2

且

Q

，l2

在圆心

所以

▵ABQ

的面积的最大值为

33

19.(1)解：若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，有α=β=γ=π所以球面三角ABC的面积为S=(α+β+γ−π)R(2)①证明：由余弦定理有：AC2=R消去R2，可得：cos②解：由AD是球的直径，则AB⊥BD,AC⊥CD，且AC⊥BC,CD∩BC=C，CD,BC⊂平面BCD，所以AC⊥平面BCD，且BD⊂平面BCD，则AC⊥BD，且AB∩AC=A，AB,AC⊂平面ABC，可得BD⊥平面ABC，由直线直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为π4，π所以∠DAB=π不妨先令R=3，则由AC⊥BC,AC⊥BD,BC⊥BD，以C为坐标原点，以CB,CA所在直线为x,y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系：设