2023-2024学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷（含答案）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={0,1,2,3,4}，B={x|x2−5x+4≥0}，则A∩B=A.{1,2,3,4} B.{2,3} C.{1,4} D.{0,1,4}2.已知(2+i)z=i，i为虚数单位，则|z|=(

)A.15 B.13 C.53.已知平面向量a=(2,0)，b=(−1,1)，且(ma−bA.−1 B.0 C.1 D.1±4.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)左，右焦点分别为F1A.[6,+∞) B.(1,6] C.[2,+∞) D.[4,+∞)5.已知2cos2θ−cosθ=1，θ∈(0,π)，则|sinθ|=A.0 B.12 C.32或06.数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x较大时，1+12+13+⋯+1xA.ln30 B.ln3 C.−ln3 D.−ln307.已知α,β∈(0,π2)，则“cos(α−β)<14A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知圆C：x2−2x+y2=0与直线l：y=mx+2m(m>0)，过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A和B，若线段AB长度的最小值为2A.277 B.77 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为4.7，则(

)A.x=7

B.这组数据的中位数为4

C.若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5

D.这组数据的第70百分位数为5.510.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，b=6，c=7，下面说法正确的是(

)A.sinA：sinB：sinC=5：6：7 B.cosA：cosB：cosC=5：6：7

C.△ABC是锐角三角形 D.△ABC的最大内角是最小内角的2倍11.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，PD=23，点E是棱PB上一点(不包括端点)，F是平面PCD内一点，则(

)A.一定不存在点E，使AE//平面PCD

B.一定不存在点E，使PB⊥平面ACE

C.以D为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面PAD的交线长为π3

D.|AE|+|EF|的最小值12.已知函数f(x)=xx−1−ex(x>1)，g(x)=xx−1A.x1=lnx2 B.1x1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.过P(1,3+1)，Q(3,314.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AC=215.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)+sinωx(ω>0)在[0,π]上的值域为[16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点，右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点P，直线PF与C的一个交点为四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

设函数f(x)=sin x−cosx(x∈R)；

(Ⅰ)求函数y=f(x+π2)的最小正周期；

(Ⅱ)求函数y=f(x)18.(本小题12分)

如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，M，N分别为AC，BC上的两点AN=12AC，BM=13BC，AM，BN相交于点P．

(Ⅰ)求|AM|19.(本小题12分)

树人中学从参加普法知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题：

(Ⅰ)补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；

(Ⅱ)如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；

(Ⅲ)若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．20.(本小题12分)

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF//AD，AE=2EF=2，∠EAD=120°，平面ADFE⊥平面ABCD．

(Ⅰ)求证：BD⊥CF；

(Ⅱ)求平面ABE与平面BDF所成锐角的余弦值．21.(本小题12分)

如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，且满足|PD|=2|MD|.当点P在圆上运动时，M的轨迹为Ω．

(Ⅰ)求曲线Ω的方程；

(Ⅱ)点A(2,0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交曲线Ω于点B，交y轴于点C.已知G为AB的中点，是否存在定点Q，对于任意22.(本小题12分)

已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2，…，xn∈D2，使得g(x1)=f(x0)(其中，i=1，2，…，n，n∈N∗)，则称g(x)为f(x)的“n重覆盖函数”．

(Ⅰ)判断g(x)=x2−2x+1，(x∈[0,4])是否为f(x)=x+4(x∈[0,5])的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值：如果不是，说明理由．

(Ⅱ)若g(x)=ax2+(2a−3)x+1,−2≤x≤1x−1,x>1为f(x)=log22x+22x+1的“2参考答案1.D

2.C

3.A

4.A

5.D

6.B

7.B

8.D

9.ACD

10.AC

11.ACD

12.ABC

13.314.80π

15.[116.4+17.解：(Ⅰ)f(x)=sin x−cosx=2(22sinx−22cosx

)=2sin(x−π4)，

y=f(x+π2)=2sin(x+18.解：(Ⅰ)因为BM=13BC，

所以AM=AB+BM=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，

所以19.解：(Ⅰ)[70,80)组的频率为：

1−(0.01+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=0.3，

∴补全频率分布直方图为：

∵[70,80)组对应的小矩形最高，

∴估计本次知识竞赛成绩的众数为70+802=75．

(Ⅱ)由频率分布直方图得分数不低于88分的频率为：

90−8810×0.025×10+0.005×10=0.1，

∴这1000名参赛同学中估计进入复赛的人数为1000×0.1=100．

(Ⅲ)从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，

∵第一组，第二组和第六组的频率之比为2：3：1，

∴第一组抽取6×26=2人，第二组抽取6×36=3人，第六组抽取6×16=1人，

从这6人中任选2人，基本事件总数n=C62=15，

所抽取的20.解：(Ⅰ)证明：连接AF，

因为EF/​/AD，∠EAD=120°，

所以∠AEF=60°，

因为AE=2EF=2，

所以AF=AE2+EF2−2AE⋅EFcos60°=3，

因为AF2+EF2=1+3=AE2，

所以AF⊥EF，

因为EF/​/AD，

所以AF⊥AD，

因为平面ADFE⊥平面ABCD，平面ADFE∩平面ABCD=AD，AF⊂面ADFE，

所以AF⊥面ABCD，

因为BD⊂面ABCD，

所以AF⊥BD，

连接AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，

因为AF∩AC=A，且AF，AC⊂面AFC，

所以BD⊥面AFC，

因为CF⊂面AFC，

所以BD⊥CF．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB，AD，AF两两垂直，以A为原点，AB，AD，AF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系：

则B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,−1,3)，F(0,0,3)，

AB=(2,0,0)，AE=(0,−1,3)，BD=(−2,2,0)，DF=(0,−2,3)，

设平面ABE的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，

由AB⋅m=2x1=0AE⋅m=−y121.解：(Ⅰ)设M(x,y)，由题意满足|PD|=2|MD|，则P(x,2y)，而P在圆x2+y2=4上，

所以x2+2y2=4，

整理可得x24+y22=1；

即曲线Ω的方程为：x24+y22=1；

(Ⅱ)存在定点Q满足条件，证明如下：

由(Ⅰ)可知A为椭圆的右顶点，设直线l的方程为y=k(x−2)，

令x=0，可得yC=−2k，即C(0,−2k)，

联立y=k(x−2)x24+y22=1，整理可得：(1+2k2)x2−8k2x+8k2−4=0，

22.解：(I)g(x)=x2−2x+1=(x−1)2，(x∈[0,4])，f(x)=x+4，x∈[0,5])，

由定义可得，对任意x0∈[0,5]，恰好存在不同的实数x1，x2……xn∈[0,4]，使得g(x1)=f(x0)，其中i=1，2，…n，n∈N∗)，

即(xi−1)2=x0+4∈[4,9]，可得xi∈[3,4]，

所以对于任意x0∈[0,5]，能找到一个x1，使得(x1−1)2=x0+4，

∴g(x)是f(x)的“n重覆盖函数”，n=