2024-2025学年浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团八年级（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。1．（3分）如图，四个图标中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A．x2+1＞x B．﹣y+1＞y C．＞1 D．5+4＞84．（3分）不等式2x﹣1＜3的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．5．（3分）下列命题中的真命题是（）A．内错角相等 B．三角形内角和是180° C．是有理数 D．若|a|＝1，则a＝16．（3分）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA7．（3分）如图，点B、D在AM上，点C、E在AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，若∠A＝20°，则∠MDE的度数为（）A．70° B．75° C．80° D．85°8．（3分）将已知关于x的不等式（a﹣2）x＞4﹣2a的解集为x＜﹣2，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≠29．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，以它的四条边为斜边分别向外作等腰直角三角形，其中3个三角形的面积分别为2，5，9，则第4个三角形的面积为（）A．6 B．9 C．11 D．1210．（3分）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，D为斜边AB的中点，直角∠EDF在△ABC内绕点D转动，分别交边AC，BC点E，F（点E不与点A，C重合），下列说法：①∠DEF＝45°；②BF2+AE2＝EF2；③CD＜EF＜CD．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共30分。11．（3分）用不等式表示“2a与3b的和是正数”．12．（3分）写出命题“对顶角相等”的逆命题．13．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，斜边AB上的中线长为．14．（3分）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝120°，∠C＝40°，则∠DAE的度数是．15．（3分）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，过点B作BF⊥AD，交AD于点F，若AF：EF＝2：1，△CDE的面积为a，则△ABC的面积为.（用含a的代数式表示）16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC于点E，EF⊥AB于点F，且交AD于点G，若AG＝1，BC＝6，则DG＝，FG＝．三、解答题：本题共8小题，共72分。17．（8分）解下列一元一次不等式：（1）4+3x＞10；（2）2x﹣1≤5x+2．18．（8分）如图，在正方形网格中点A，B，C均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：（1）作出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'；（2）在直线l上找一点D，使AD+CD最小．19．（8分）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：△OEF是等腰三角形．20．（8分）证明命题：“全等三角形的对应角的平分线相等”是真命题．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点D在BC上，将△ADC沿直线AD翻折，形成△ADC'．（1）若AC′∥CD，求∠CAD的度数；（2）若点C的对称点恰好落在AB上，求线段BD的长．22．（10分）如图，已知点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAP＝60°，连接DP，DC，AD＝DP．（1）求证：△ADC≌△APB；（2）若PA＝15，PB＝8，PC＝17，求∠APB的度数．23．（10分）用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．（1）如图1，若O为AB的中点，求证：直线OC是△ABC的等腰分割线．（2）如图2，已知△ABC的一条等腰分割线BP交边AC于点P，且PB＝PA，请求出CP的长度．（3）如图3，在△ABC，点Q是边AB上的一点，如果直线CQ是△ABC的等腰分割线，求线段BQ的长度．24．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，BC⊥AC，P是线段BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AC于点N，交AB于点M，连结AQ．（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的度数．（用含α的式子表示）；（2）求证：QM＝AP；（3）在P点运动过程中线段MB与PQ的比值是否发生变化？若不变请计算它们的比值．

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团八年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。1．（3分）如图，四个图标中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．选：C．2．（3分）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（）A．1 B．2 C．3 D．4选：A．3．（3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A．x2+1＞x B．﹣y+1＞y C．＞1 D．5+4＞8选：B．4．（3分）不等式2x﹣1＜3的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．选：D．5．（3分）下列命题中的真命题是（）A．内错角相等 B．三角形内角和是180° C．是有理数 D．若|a|＝1，则a＝1选：B．6．（3分）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA选：B．7．（3分）如图，点B、D在AM上，点C、E在AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，若∠A＝20°，则∠MDE的度数为（）A．70° B．75° C．80° D．85°选：C．8．（3分）将已知关于x的不等式（a﹣2）x＞4﹣2a的解集为x＜﹣2，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≠2选：B．9．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，以它的四条边为斜边分别向外作等腰直角三角形，其中3个三角形的面积分别为2，5，9，则第4个三角形的面积为（）A．6 B．9 C．11 D．12选：D．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，D为斜边AB的中点，直角∠EDF在△ABC内绕点D转动，分别交边AC，BC点E，F（点E不与点A，C重合），下列说法：①∠DEF＝45°；②BF2+AE2＝EF2；③CD＜EF＜CD．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③选：A．一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共30分。11．（3分）用不等式表示“2a与3b的和是正数”2a+3b＞0．12．（3分）写出命题“对顶角相等”的逆命题如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．13．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，斜边AB上的中线长为5．14．（3分）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝120°，∠C＝40°，则∠DAE的度数是10°．15．（3分）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，过点B作BF⊥AD，交AD于点F，若AF：EF＝2：1，△CDE的面积为a，则△ABC的面积为6a.（用含a的代数式表示）16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC于点E，EF⊥AB于点F，且交AD于点G，若AG＝1，BC＝6，则DG＝3，FG＝．三、解答题：本题共8小题，共72分。17．（8分）解下列一元一次不等式：（1）4+3x＞10；（2）2x﹣1≤5x+2．【解答】解：（1）4+3x＞10，3x＞10﹣4，3x＞6，x＞2；（2）2x﹣1≤5x+2，2x﹣5x≤2+1，﹣3x≤3，x≥﹣1．18．（8分）如图，在正方形网格中点A，B，C均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：（1）作出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'；（2）在直线l上找一点D，使AD+CD最小．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．（2）如图，连接AC'交直线l于点D，连接CD，此时AD+CD＝AD+C'D＝AC'，为最小值，则点D即为所求．19．（8分）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：△OEF是等腰三角形．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF，∴△OEF是等腰三角形．20．（8分）证明命题：“全等三角形的对应角的平分线相等”是真命题．【解答】证明：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是两个三角形的角平分线，求证：AD＝A′D′．证明：∵△ABC≌△A′B′C′，∵AB＝A′B′，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，∵AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，∴∠BAD＝∠BAC，∠B′A′D′＝∠B′A′C′，∴∠BAD＝∠B′A′D′，在△ABD和△A′B′D′中，，∴△ABD≌△A′B′D′（ASA），∴AD＝A′D′，∴全等三角形的对应角的平分线相等．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点D在BC上，将△ADC沿直线AD翻折，形成△ADC'．（1）若AC′∥CD，求∠CAD的度数；（2）若点C的对称点恰好落在AB上，求线段BD的长．【解答】解：（1）如图1，∵AC′∥CD，∴∠C′AD＝∠CDA，由翻折得∠C′AD＝∠CAD，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠C＝90°，∴∠CDA+∠CAD＝2∠CAD＝90°，∴∠CAD＝45°，∴∠CAD的度数是45°．（2）如图2，点C′在AB上，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝＝6，由翻折得AC′＝AC＝6，C′D＝CD＝8﹣BD，∠AC′D＝∠C＝90°，∴BC′＝AB﹣AC′＝10﹣6＝4，∠BC′D＝90°，∴BC′2+C′D2＝BD2，∴42+（8﹣BD）2＝BD2，解得BD＝5，∴线段BD的长是5．22．（10分）如图，已知点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAP＝60°，连接DP，DC，AD＝DP．（1）求证：△ADC≌△APB；（2）若PA＝15，PB＝8，PC＝17，求∠APB的度数．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠BAC＝60°，∵∠DAP＝60°，AD＝DP，∴△ADP是等边三角形，∴∠DAP＝60°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠PAB＝60°﹣∠PAC，在△ADC与△APB中，，∴△ADC≌△APB（SAS）；（2）解：∵△ADC≌△APB，∴CD＝PB＝8，∠APB＝∠ADC，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠PAD＝60°，AD＝AP，∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP＝60°，PD＝PA＝15，∵PC＝17，∴CD2+PD2＝PC2，∴∠PDC＝90°，∴∠APB＝∠ADC+∠ADP＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°．23．（10分）用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．（1）如图1，若O为AB的中点，求证：直线OC是△ABC的等腰分割线．（2）如图2，已知△ABC的一条等腰分割线BP交边AC于点P，且PB＝PA，请求出CP的长度．（3）如图3，在△ABC，点Q是边AB上的一点，如果直线CQ是△ABC的等腰分割线，求线段BQ的长度．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，O为AB中点，在Rt△ACB中，OC＝AB＝AO＝BO，∴等腰△AOC和等腰△BOC．则直线OC是△ABC的等腰分割线；（2）由题可知PA＝PB，BC＝6，设CP＝x，则PA＝PB＝8﹣x，在Rt△BPC中，BC2+PC2＝PB2，∴62+x2＝（8﹣x）2，x＝．即：CP＝．（3）BQ＝5或2或6或．①若△ACQ为等腰三角形，如图（3），当AC＝AQ时，AQ＝8，BQ＝AB﹣AQ＝2，如图（4），当QC＝QA时，Q为AB中点，BQ＝AB＝5．当CA＝CQ时，Q不在线段AB上，舍去．②若△BCQ为等腰三角形．如图（5），当CQ＝CB时，过C作CM⊥AB于M，此时M为BQ的中点，S△ABC＝BC•AC＝AB•CM＝×6×8＝×10×CMCM＝．Rt△CMQ中，BM＝＝，∴BQ＝2QM＝．如图（6），当