数学素材：空间几何体

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨练习A1．答：通常把直尺放在一个面的各个方向上，看看直尺的边缘与这个面有没有空隙,如果不出现空隙就可以判断这个物体表面是平的．2．略．3．解：例如两条交叉走向的立交桥所在的直线．4．（1)对；(2）不对；（3）不对．练习B解：如图所示．练习A1．略．2．矩形3．长方体是四棱柱,直四棱柱不一定是长方体,如底面是梯形的直四棱柱就不是长方体．4．答案不唯一，如图所示．沿虚线折起即可构成正方体．练习B1．直四棱柱2．A⊂B⊂C⊂D思考与讨论答：观察所给多面体能否还原成棱锥，若能则它是棱台,否则它不是棱台．练习A1．略．2．不一定3．是相交于一点,因为棱台可看作由棱锥截得的．练习B1．如图所示．2．都是直角三角形提示：本题考查识图能力，并记住△SOA，△SOB，△SOC，△SOD都是直角三角形，这些三角形在今后学习中会不断地运用．3．(1）eq\r（178）；（2）11eq\r(57)；（3)228。4．解：如图中的正三棱台ABCA′B′C′，其中OO′为高，过A′作A′D⊥OA于D，则OO′＝A′D。在△ABC中可求得AO＝eq\f（5,3)eq\r（3）(cm)．在△A′B′C′中可求得A′O′＝eq\f（2，3)eq\r(3）（cm)．∴AD＝AO－A′O′＝eq\r（3）（cm）．又AA′＝5(cm），∴A′D＝eq\r（AA′2－AD2）＝eq\r(25－3）＝eq\r（22）(cm），即棱台的高为eq\r（22)cm.探索与研究解答:(1)平行于底面的截面，图形都是圆．（2）过轴的截面，对于圆柱是矩形,对于圆锥是等腰三角形，对于圆台是等腰梯形．(3）圆柱的上底面变小，就变为圆台，当上底面变为一个点时，它就变成了圆锥．圆台是由圆锥截得的，“还台为锥”不失为解决圆台问题的很好的办法．练习A1．略．2．它是一个矩形，其长为圆柱的底面周长，宽为圆柱的高．3．任意一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，它的半径为圆锥的母线长,扇形的弧长为底面圆周长；任意一个圆台的侧面展开图是一个扇环，如图所示，其中AB,A1B1，A′B′的长为圆台的母线长，的长度为⊙O′的周长,的长度为⊙O的周长．4．圆柱的轴截面为矩形，其长为母线长5，宽为底面圆直径4,故面积为5×4＝20.5．解：如图所示为圆锥的轴截面，其中PA＝20cm，∠APO＝30°，OP为高,在Rt△OAP中，OP＝AP·cos30°＝20×eq\f（\r（3),2)＝10eq\r(3)(cm）．练习B1．略．2．略．3．解:圆台的轴截面如图所示，其中A1B1＝2,A2B2＝8，A1A2＝5，O1O2为高，过A1作A1H⊥A2B2于H，则A1H＝O1O2。在Rt△A1A2H中,A1A2＝5，A2H＝eq\f(8－2，2)＝3，∴A1H＝eq\r（A1A\o\al（2,2)－A2H2）＝eq\r（52－32）＝4.故圆台的高为4。4．解：圆台的轴截面如图所示，其中A1A2＝20cm，∠A2A1H＝30°,A1O1＝15cm。在△A1A2H中，A1H＝A1A2·cos30°＝10eq\r(3)cm，A2H＝A1A2·sin30°＝10cm.∴圆台的高为10eq\r（3)cm，圆台的下底面半径O2A2为25cm，则下底面面积为S＝πR2＝252π＝625π(cm2)．思考与讨论解答：类比平面上直线与圆的位置关系，平面与球有以下几种位置关系：相离、相切、相交，其中相离是平面与球无公共点，相切是平面与球有且只有一个公共点，相交则是平面与球有无数多个公共点．练习A1．1nmile所对的弧长为αR＝eq\f（1,60）·eq\f（π,180）·6370≈1。85（km）．2．解：如图所示为球的大圆,其中O为球心，AB为截面圆直径，O1为截面圆圆心,由题意知OA＝25（cm）．∵＝49π，∴O1A＝7(cm)．在Rt△OO1A中，OO1＝eq\r（OA2－AO\o\al(2,1）)＝24(cm)，即球心到截面的距离为24cm.3．课本图126中的基本几何体有：圆锥、圆柱、棱柱、圆台等．练习B1．略．2．解：如图，直线与球有三种位置关系：相离—-无公共点或球心到直线的距离大于球半径〔如图（1)〕;相切-—有且只有一个公共点或球心到直线的距离等于球半径〔如图（2）〕;相交——有多于一个公共点或球心到直线的距离小于球半径〔如图（3）〕．3．解:如图所示,AB为球O截得的线段，且AB＝8,OA＝5，过O作OC⊥AB于C，则AC＝4.∴OC＝eq\r（OA2－AC2)＝3,∴球心到直线的距离为3。思考与讨论若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形的关系是相似．练习A1．(1)不正确；(2）不正确；(3)不正确;(4）正确．2．解：取A′B′、B′C′、A′C′的中点D′、E′、F′，连接A′E′，B′F′，C′D′,三线的交点即为△ABC的重心M在投影面内的平行投影M′，如图所示．3．解：如图所示为正方形的直观图．如图所示为等边三角形的直观图．4．解：如图所示．练习B1．（1）正确；（2)不正确．2．解：直观图如图所示．3．解：边长为1.5cm，高为3cm的正三棱锥的直观图如图所示．4．解：底面半径为1cm,高为3cm的圆柱和圆锥的直观图如图所示．思考与讨论解:在平面上表示立体图形有斜二测画法、正等测画法、三视图等，其画法规则各自不同．练习A1．如图所示．2．如图所示．3．如图所示．4．略．练习B1．如图所示．2．如图所示．探索与研究解：(1）当旋转体底面水平放置即轴线为铅垂线时,其三视图比较简单，此时主视图、左视图相同(圆柱、圆锥、圆台分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形),俯视图为圆(或带圆心），有时为了方便一般只画出它们的主视图和俯视图(二视图)．（2）球的三视图也符合上述特征．练习A1．S全＝S侧＋2S底＝6ah＋3eq\r（3）a2＝3a（2h＋eq\r（3)a)．2．S侧＝12eq\r（3)，S全＝16eq\r（3）.3．S全＝S侧＋S上＋S下＝（48eq\r(15)＋80）(cm2)．4．因为2πR＝16π，所以R＝8,S＝4πR2＝256π（cm2)．练习B1．解：正方体的对角线长即为球的直径,设正方体的棱长为a，则2R＝eq\r（3)a，∴S正方体＝6a2，S球＝4π·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r(3),2)a）)2＝3πa2.∴eq\f(S球,S正方体)＝eq\f（π，2）.2．解：斜高h′＝eq\r(\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1。5，2）)）2＋0.852）＝eq\r(1.285)≈1.1336，S全＝eq\f(1，2）×h′×1。5×4≈3.4(平方米）．3．解:（1）由面积的比等于对应边的平方比,得S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.（2）如图所示,∵小棱锥底面边长为4cm，则大棱锥的底面边长为8cm,又PA＝12cm，则A1A＝6cm,梯形ABB1A1的高h′＝eq\r(62－22）＝4eq\r（2)(cm），∴S台侧＝6×eq\f(4＋8,2）×4eq\r（2）＝144eq\r（2）(cm2），S台全＝S台侧＋S上底＋S下底＝144eq\r(2)＋24eq\r(3)＋96eq\r（3）＝144eq\r（2）＋120eq\r(3）(cm2)．练习A1．解：长方体的体积等于正方体的体积，设正方体棱长为a，则a3＝2×4×8，∴a＝4.2．解：三棱锥A′－BC′D的体积是正方体的体积减去四个小棱锥（如A′－ABD)的体积，设正方体的棱长为a，则V正方体＝a3.VA′－ABD＝eq\f（1,3)×eq\f（1,2）a3＝eq\f（1，6）a3，∴VA′－BC′D＝a3－4×eq\f(1,6)a3＝eq\f(1，3)a3，则eq\f(VA′－BC′D，V正方体)＝eq\f(\f(1,3）a3,a3)＝eq\f(1，3）.故三棱锥A′－BC′D的体积是正方体体积的eq\f(1，3).3．解：设原来球的半径为R，则S大圆＝πR2,V球＝eq\f(4，3)πR3，当大圆面积增长为原来的100倍时，面积为100πR2.设大圆面积变为原来的100倍后球的半径为x，则有100πR2＝πx2，∴x＝10R。V′球＝eq\f（4,3）πx3＝1000·eq\f（4,3)πR3.故球的体积变为原来的1000倍．练习B1．解:设圆柱体和正方体的高为h，圆柱的底面半径为R，则由侧面积相等得4h2＝2πRh,∴2h＝πR，即R＝eq\f(2,π）h。∴V正方体＝h3,V圆柱＝πR2·h＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2，π）h))2·h＝eq\f（4，π)h3.∴V正方体∶V圆柱＝π∶4.2．解：如图所示．∵PC＝eq\r(3），而△PAB为正三角形,∴AC＝1,PA＝2，∴OC＝AC＝1。在Rt△POC中，PO＝eq\r(2).∴V棱锥＝eq\f（1,3)·S·h＝eq\f(1,3）×22×eq\r(2)＝eq\f（4,3)eq\r（2).3．解:∵V台＝eq\f（1，3)h（S上＋S下＋eq\r(S上·S下)），又S下＝62＝36(dm2)，S上＝42＝16(dm2),∴190＝eq\f（1，3)h（36＋16＋eq\r(36×16）)，∴h＝eq\f（3×190,76）＝7.5（dm)＝75（cm)．故它的深度为75cm。习题11A1．解:侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱．底面为正多边形的直棱柱为正棱柱．2．解:由面积的比等于对应边的平方比可知，截面截一条侧棱所得两条线段的比为1∶(eq\r（2）－1）(或(eq\r（2）－1）∶1)．3．对角线长d＝eq\r（122＋42＋32)＝13.4．解：（1)都在同一直线上(有可能是重合的点)；(2)平行于投影面的线段的平行投影的长度与原线段的长度相等；平行于投影面的线段的中心投影的长度与原线段的长度相应成比例；(3）与投射面垂直的面上的若干图形的正投影在一条直线上．5．解：直观图、三视图如图所示．6．解：直观图、三视图如图所示．(1)(2）7．解：设长、宽、高分别为4x、2x、x,则由体积公式得1000＝4x·2x·x，∴x3＝125，∴x＝5（cm）．则长为20cm，宽为10cm，高为5cm.8．解：设它的棱长为xcm，由题意得8x3＝（x＋1)3，解得x＝1.则它的棱长为1cm。9．解：由题意知底面为等腰三角形，其面积S＝eq\f（1，2）×2×2eq\r(2）＝2eq\r(2)（cm2)．侧棱长为棱柱的高，∴V＝Sh＝2eq\r（2)×4＝8eq\r（2）(cm3)．10．解：正六棱柱的底面积S＝150eq\r(3)(cm2）．正六棱柱的体积V＝Sh＝150eq\r(3)×15＝2250eq\r（3）（cm3）．11．解：设地球半径为R，则火星半径为eq\f(R，2），∴eq\f（V地，V火)＝eq\f(\f(4，3）πR3，\f(4,3）π\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(R,2）））3）＝8.若R＝6370,则V地＝eq\f（4，3）π×63703≈1.083×1012(km3）．V火＝eq\f（V地，8）≈1.353×1011(km3）．习题11B1．解：由左视图可知正三棱柱的高为2mm，由俯左一样宽可知正三棱柱的底面正三角形的高为2eq\r（3）mm，由此可计算出正三角形的边长为4mm,∴正三棱柱的表面积＝S侧＋2S底＝3×4×2＋2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）×4×2\r(3)）)＝(24＋8eq\r（3))(mm2）．2．解:圆柱的底面不变，要使它的体积扩大到原来的5倍，则需要把它的高扩大到原来的5倍；如果圆柱高不变，半径扩大到原来的eq\r（5）倍也可使它的体积扩大到原来的5倍．3．解：因为正三棱柱的高h不变，因此内切圆柱和外接圆柱的体积只与其底面圆半径有关．设正三棱柱的底面边长为a，内切圆半径为r，外接圆半径为R，则由平面几何性质知R＝2r。所以V内切圆柱∶V外接圆柱＝πr2h∶πR2h＝r2∶R2＝1∶4。4．解：V正三棱锥＝eq\f(1,3）×eq\f（1,2）a2×a＝eq\f(1，6）a3。5．解:等边三角形绕其一边旋转一周后，所形成的几何体是两个对底的圆锥，每一个圆锥的母线长为a，底面圆半径为r，r＝eq\f（\r(3），2）a，高为h，h＝eq\f(a,2)，则V＝2×eq\f(1，3）πr2×h＝2×eq\f（1,3)π×eq\f（3,4)a2×eq\f（a,2）＝eq\f（π,4）a3。6．解:∵圆锥的母线长为5cm，高为4cm