新疆巴音郭楞州和静县第三中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年新疆巴音郭楞州和静三中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一元二次方程的根的情况是(

)A.没有实数根 B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(

)A. B.

C. D.3.将抛物线先向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为(

)A. B.

C. D.4.关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为(

)A. B. C.1 D.25.对于抛物线，下列判断正确的是(

)A.抛物线的开口向上 B.抛物线的顶点坐标是

C.对称轴为直线 D.当时，6.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公式第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是(

)A. B. C. D.7.设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为(

)A. B. C. D.8.如图，直线与抛物线交于A，B两点，且点A的横坐标是，点B的横坐标是3，则当时，自变量x的取值范围是(

)A.

B.

C.或

D.或9.在同一平面坐标系中，函数和是常数，且的图象可能是(

)A. B.

C. D.10.如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转度得到，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为(

)A.

B.

C.2

D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是_____12.已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______.13.如图，把绕点C按顺时针方向旋转后能与重合，且交AB于点E，若，则的度数是______.

14.已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是______.

15.若点与点关于原点对称，则______.16.已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④其中正确结论的序号是______.三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题8分

解方程：

；

；

18.本小题8分

如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标，请解答下列问题：画出关于原点对称的，并求出的面积.19.本小题8分

已知关于x的一元二次方程

有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

如果方程的两根之和等于两根之积，求k的值.20.本小题8分

如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点求抛物线的解析式和顶点坐标；

如果点P在x轴上，且是等腰三角形，求点P的坐标.21.本小题8分

WTT中国大满贯2024年9月26日在北京石景山首钢园区开赛，为了迎接这场乒乓球盛宴，某商店购入一批进价为10元/个的徽章进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量个与销售单价元之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个.

求y与x的函数表达式；

徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？

若商店决定每销售一个徽章向少儿乒乓球俱乐部赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种徽章日销售获得的最大利润为1444元，求m的值.22.本小题8分

如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．

当球上升的最大高度为米时，对方距离球网的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．

若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？排球压线属于没出界

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：一元二次方程中，，，

，

有两个不相等的实数根，

故选：

根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根即可求解．

本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知根的判别式与方程根的关系是解题的关键．2.【答案】C

【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：

根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，正确记忆相关知识点是解题关键．3.【答案】C

【解析】解：抛物线先向左平移5个单位，再向下平移3个单位，

根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是，

故选：

根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可．

本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．4.【答案】A

【解析】解：关于x的一元二次方程的一个根是，

，

解得：

故选：

直接利用一元二次方程的解的意义将代入求出答案．

此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键．5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了二次函数的性质.根据二次项系数a的符号判断A选项；根据顶点式解析式可判断B、C选项；把代入求得y的值即可判断D选项.

【解答】

解：，抛物线的开口向下，选项A错误;

抛物线的顶点坐标为，选项B错误;

抛物线的对称轴为直线，选项C正确;

把代入，解得，选项D错误，

故选6.【答案】A

【解析】【分析】

此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为

主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．

【解答】

解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，

依题意得第三个月投放单车辆，

则

故选：7.【答案】A

【解析】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，

而离直线的距离最远，点离直线最近，

故选：

根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．8.【答案】A

【解析】解：把，代入直线，得，；

把，代入直线，得，；

，

解得，

把解代入得：，

由函数图象知：抛物线开口向上，

，

，

或，

解得，

故选：

根据二次函数与一次函数在A、B处的函数值相等，得出，求出，然后把代入，可得出，然后根据乘法法则得出或，最后解不等式组即可．

本题考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数性质是关键．9.【答案】D

【解析】解：解法一：逐项分析

A、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；

B、由函数的图象可知，对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；

C、由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；

D、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；

解法二：系统分析

当二次函数开口向下时，，，

一次函数图象过一、二、三象限．

当二次函数开口向上时，，，

对称轴，

这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，

一次函数图象过二、三、四象限．

故选：

本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与y轴的交点坐标为

主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．10.【答案】A

【解析】解：由旋转的性质可知，，

，

为等边三角形，

，

，

故选

根据旋转变换的性质得到，根据等边三角形的性质解答即可．

本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．11.【答案】6或10或12

【解析】【分析】

此题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解法．

由等腰三角形的底和腰是方程的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当2是等腰三角形的腰时与当4是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．

【解答】

解：，

，

解得：或，

等腰三角形的底和腰是方程的两根，

当2是等腰三角形的腰时，，不能组成三角形，舍去；

当4是等腰三角形的腰时，，则这个三角形的周长为

当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为

当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为

这个三角形的周长为10或6或

故答案为6或10或12.【答案】

【解析】解：二次函数，

对称轴为直线，

当时，y随x的增大而减小，

解得，

故答案为：

由题意知，对称轴为直线，再结合已知进行求解即可．

本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．13.【答案】

【解析】解：绕点C按顺时针方向旋转后能与重合，

，

故答案为

先根据旋转的性质得到，然后根据三角形外角性质计算出的度数．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．14.【答案】

【解析】解：由函数图象可知，当时，函数图象在x轴的下方，

不等式的解集是

故答案为：

直接根据二次函数的图象即可得出结论．

本题考查的是二次函数与不等式，能利用数形结合求不等式的解集是解答此题的关键．15.【答案】3

【解析】解：点与点关于原点对称，

，，

解得：，

故答案为：

直接利用关于原点对称点的性质得出答案．

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．16.【答案】①②③④

【解析】解：二次函数开口向上，与y轴交于正半轴，

，，

抛物线对称轴为直线，

，

，即，故②正确；

，故①正确；

当时，，

，

，即，故③正确；

当时，，且抛物线对称轴为直线，

当时，，

，故④正确；

正确的有①②③④，

故答案为：①②③④．

根据二次函数开口向上，与y轴交于正半轴，得到，，根据对称轴为，得到，即即可判断①②；当时，即可判断③；根据当时，，即可判断④．

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．17.【答案】解：，

，

或，

解得，；

，

移项及合并同类项，得：，

系数化为1，得：，

；

，

，

或，

解得，

【解析】把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可；

先整理原方程为一元二次方程的一般形式，再利用直接开平方的方法解方程即可；

把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可．

本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．18.【答案】解：如图所示：

即为所求，

【解析】根据点的对称，作出三个顶点关于原点对称的点，连线即可得到，在网格中间接表示的面积即可得到答案．

本题考查对称作图及网格中求三角形面积，熟练掌握对称作图及网格中三角形面积的求法是解决问题的关键．19.【答案】解：因为方程有两个不相等的实数根，

所以，

解得，

所以k的取值范围是

由题知，

该方程的两根之和为，两根之积为

因为方程的两根之和等于两根之积，

所以，

解得，

因为时方程有实数根，

所以舍去，

所以

【解析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．

利用一元二次方程根与系数的关系，用k表示出两根之积及两根之和即可解决问题．

本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．20.【答案】解：把、代入解析式得：

，

解得，

抛物线的解析式为；

，

顶点坐标为；

当时，，

，

设，

①当时，

则，

解得，

的坐标为；

②当时，

则，

解得或舍去，

的坐标为；

③当时，

则，

解得：，

的坐标为或，

综上，P的坐标为或或或

【解析】把点、代入求解即可；

分；；三种情况讨论即可．

本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是求出函数解析式．21.【答案】解：设一次函数解析式为，

当销售单价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个，

，

，

；

销售单价为元，进价为10元/个，

每个徽章的利润为，且日销售量个，

设利润为w元，

，

，

当时，w有最大值，最大值为1600元；

由可得，每个徽章的利润为，赠送一件价值为元的礼品，

此时每个徽章的利润为，日销售量个，利润为w元，

，

，

，

二次函数w有最大值，

当时，w取得最大值，且最大利润为14