2024年新高一数学初升高衔接《对数函数及其性质》含答案解析

数学PAGE1数学第17讲对数函数及其性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型；2．会求简单的对数型函数的定义域；3．会用描点法画出对数函数的简图；4．掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题.知识点1对数函数的概念1、对数函数的概念：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．2、判断一个函数是对数函数的依据（1）形如，且系数为1；（2）底数满足，且；（3）真数是x而不是x的函数；（4）整体只有一项；（5）定义域为．例如，，都不是对数函数，可称为对数型函数．3、两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数．（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数．知识点2对数函数及其性质1、对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数2、底数a对函数图象的影响（1）底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势；（2）函数与（，且）的图象关于轴对称；（3）底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．知识点3反函数1、反函数的定义一般地，函数，设它的值域为，根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到．如果在中的任何取值，通过，在中都有唯一值和它对应，则就表示是关于自变量的函数．这样的函数叫做的反函数，记作．例如，对数函数(,且)是指数函数(,且)的反函数．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；（2）若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立；（3）互为反函数的两个函数的单调性相同；（4）反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；（5）单调函数必有反函数．考点一：对数函数的概念辨析例1．（22-23高一上·云南曲靖·月考）下列函数是对数函数的是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（22-23高一上·河北唐山·月考）下列函数是对数函数的是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（23-24高一上·全国·课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（

）A． B． C． D．（是常数）考点二：对数函数过定点问题例2.（23-24高一下·广东湛江·开学考试）函数（且）的图象所过的定点为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（23-24高一下·甘肃威武·开学考试）函数（，）的图象过定点，则的坐标为（

）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24高一上·全国·专题练习）函数（且）的图象恒过的定点是（

）A． B． C． D．【变式2-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（

）A．16 B．10 C．8 D．4考点三：与对数函数有关的函数图象例3.（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数的图象是（

）A． B．C． D．【变式3-1】（23-24高一上·四川攀枝花·月考）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（

）A．B．C．D．【变式3-2】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（

）A．B．C．D．【变式3-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（

）A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c考点四：对数型复合函数的定义域例4.（23-24高一上·四川广安·期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式4-1】（23-24高一上·河南洛阳·月考）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（23-24高一下·河南·开学考试）函数的定义域为（

）A．且 B． C． D．【变式4-3】（23-24高一上·湖北·期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．考点五：对数型复合函数的单调性例5.（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【变式5-1】（23-24高一下·山西大同·月考）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【变式5-2】（22-23高一下·湖南长沙·期末）已知在上为减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5-3】（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知函数是上的单调递增函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．考点六：对数型函数有关的值域例6.（23-24高三上·陕西汉中·月考）已知，，则的值域为（

）A． B． C． D．【变式6-1】（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【变式6-2】（22-23高一下·云南保山·月考）函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式6-3】（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是．考点七：利用单调性比较大小例7.（23-24高一下·湖北·月考）已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式7-1】（23-24高一下·河南开封·月考）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式7-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，则，，的大小关系（

）A． B． C． D．【变式7-3】（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知，，，则（

）A． B． C． D．考点八：利用单调性解对数不等式例8.不等式的解集为（）A．B．C．D．【变式8-1】（22-23高一下·湖南株洲·期中）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式8-2】（23-24高一上·四川内江·月考）设函数，则使得成立的的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式8-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）已知不等式成立，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．考点九：对数型函数的奇偶性例9.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）函数的图象关于（

）对称.A．直线y=x B．原点 C．x轴 D．y轴【变式9-1】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数是定义在的奇函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式9-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数.(1)求的定义域；(2)求证：函数为偶函数；(3)求的值.【变式9-3】（23-24高一上·陕西安康·期末）已知函数（为常数）是奇函数.(1)求的值与函数的定义域；(2)若恒成立，求实数的取值范围.考点十：反函数及其性质应用例10.（23-24高一上·湖南长沙·期中）若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为（

）A． B． C． D．【变式10-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数y的反函数是（

）A． B．C． D．【变式10-2】（23-24高二上·天津和平·月考）如果直线与直线关于直线对称，那么，的值分别为（

）A．， B．， C．， D．，【变式10-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）设函数存在反函数，且函数的图象过点，则函数的图象一定过点（

）A． B． C． D．一、单选题1．（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（

）A．1或2 B．1 C．2 D．且3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，在同一坐标系中，函数与的图象可能是（

）A．B．C．D．4．（23-24高一上·福建福州·月考）已知函数，是的反函数，则（

）A．10 B．8 C．5 D．25．（23-24高一下·湖南衡阳·开学考试）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．6．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题7．（23-24高一上·贵州黔南·月考）关于函数，下列说法正确的是（

）A．的定义域为 B．的定义域为C．的单调递增区间为 D．的单调递减区间为8．（23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．在上单调递增 D．的值域为三、填空题9．（23-24高一·上海·假期作业）函数的值域是．10．（23-24高一上·云南曲靖·月考）函数（且）的图象恒过定点.11．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的图象与的图象关于直线对称，则的值域为．四、解答题12．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数且．(1)若，解不等式；(2)若在上的最大值与最小值之差为1，求的值．13．（23-24高一上·河南驻马店·月考）已知函数．(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性并说明理由；(3)求证：对于任意的都有．第17讲对数函数及其性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型；2．会求简单的对数型函数的定义域；3．会用描点法画出对数函数的简图；4．掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题.知识点1对数函数的概念1、对数函数的概念：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．2、判断一个函数是对数函数的依据（1）形如，且系数为1；（2）底数满足，且；（3）真数是x而不是x的函数；（4）整体只有一项；（5）定义域为．例如，，都不是对数函数，可称为对数型函数．3、两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数．（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数．知识点2对数函数及其性质1、对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数2、底数a对函数图象的影响（1）底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势；（2）函数与（，且）的图象关于轴对称；（3）底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．知识点3反函数1、反函数的定义一般地，函数，设它的值域为，根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到．如果在中的任何取值，通过，在中都有唯一值和它对应，则就表示是关于自变量的函数．这样的函数叫做的反函数，记作．例如，对数函数(,且)是指数函数(,且)的反函数．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；（2）若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立；（3）互为反函数的两个函数的单调性相同；（4）反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；（5）单调函数必有反函数．考点一：对数函数的概念辨析例1．（22-23高一上·云南曲靖·月考）下列函数是对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是，对于A，满足，故A正确；对于B，C，D，形式均不正确，均错误.故选：A【变式1-1】（22-23高一上·河北唐山·月考）下列函数是对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数(且)为对数函数，所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D.【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；函数是对数函数，C是；函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.故选：C【变式1-3】（23-24高一上·全国·课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（

）A． B． C． D．（是常数）【答案】CD【解析】对于A，真数是，故A不是对数函数；对于B，，真数是，不是，故B不是对数函数；对于C，的系数为1，真数是，故C是对数函数；对于D，底数，真数是，故D是对数函数．故选：CD考点二：对数函数过定点问题例2.（23-24高一下·广东湛江·开学考试）函数（且）的图象所过的定点为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数（且），令，解得，则，所以的图象所过的定点为.故选：A.【变式2-1】（23-24高一下·甘肃威武·开学考试）函数（，）的图象过定点，则的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，此时，故定点的坐标为.故选：C【变式2-2】（23-24高一上·全国·专题练习）函数（且）的图象恒过的定点是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，恒等于0，恒等于1，故恒等于，所以的图象恒过的定点是.故选：B【变式2-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（

）A．16 B．10 C．8 D．4【答案】C【解析】对于，令，即，则，即曲线（且）过定点，即，故，又，，则，当且仅当，结合，即时等号成立，故选：C考点三：与对数函数有关的函数图象例3.（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，故排除D；当时，，故排除BC；结合对数函数的性质可知A正确.故选：A.【变式3-1】（23-24高一上·四川攀枝花·月考）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A；因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D．故选：C．【变式3-2】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，由对数函数可知，且，当时，为过原点的减函数，为减函数，则B错误，D正确；当时，为过原点的增函数，为增函数，则A错误，C错误；故选：D.【变式3-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（

）A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c【答案】A【解析】由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A.考点四：对数型复合函数的定义域例4.（23-24高一上·四川广安·期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使函数有意义，则，解得，且.故函数的定义域为.故选：D.【变式4-1】（23-24高一上·河南洛阳·月考）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，则，解得且，即其定义域为.故选：D．【变式4-2】（23-24高一下·河南·开学考试）函数的定义域为（

）A．且 B． C． D．【答案】C【解析】由题得，解得，即函数的定义域为.故选：【变式4-3】（23-24高一上·湖北·期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，∴，∴，即的定义域为，故选：B考点五：对数型复合函数的单调性例5.（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，，解得，故的定义域为，由为增函数，令，对称轴为，故其单调递减区间为，所以的单调递减区间为.故选：D.【变式5-1】（23-24高一下·山西大同·月考）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于函数，令，即，解得，所以函数的定义域为，又，所以在上单调递减，在上单调递增，函数在定义域上单调递增，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.故选：A【变式5-2】（22-23高一下·湖南长沙·期末）已知在上为减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，因为函数在上是减函数，可得在上是增函数，故有对称轴，即，且，解得，即实数的范围是.故选：B.【变式5-3】（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知函数是上的单调递增函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知是上的单调递增函数，则，解得．故选：B.考点六：对数型函数有关的值域例6.（23-24高三上·陕西汉中·月考）已知，，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，又，所以原函数可变为，，所以，，所以的值域为.故选：A.【变式6-1】（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】．故的值域为．故选：B．【变式6-2】（22-23高一下·云南保山·月考）函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数的值域为，所以，为函数的值域的子集，所以，，解得.故选：C.【变式6-3】（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】由函数，令，令，可得，要使得函数的值域为，则的值域能取遍一切正实数，当时，则满足，解得；当时，可得，符合题意；当时，则满足，此时函数的值域能取遍一切正实数，符合题意，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.考点七：利用单调性比较大小例7.（23-24高一下·湖北·月考）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，且，所以根据对数函数的单调性可知，又因为，所以，故选：B【变式7-1】（23-24高一下·河南开封·月考）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得在上单调递减，在上单调递增，在R上单调递增，故，故，故选：A【变式7-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，则，，的大小关系（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为在定义域内单调递减，可得，即；且在定义域内单调递增，可得，即；又因为，即；所以.故选：A【变式7-3】（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】所以.故选：C.考点八：利用单调性解对数不等式例8.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，不等式的解集为．故选：B【变式8-1】（22-23高一下·湖南株洲·期中）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为在定义域内单调递增，若，则，解得，所以的取值范围为.故选：D.【变式8-2】（23-24高一上·四川内江·月考）设函数，则使得成立的的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为为偶函数，且在上单调递增，因为，所以，即，所以，所以或故选：D.【变式8-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）已知不等式成立，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，不等式即为，由解得，又，所以；当时，不等式即为，由解得或；又，所以.综上，实数的取值范围为.故选：B.考点九：对数型函数的奇偶性例9.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）函数的图象关于（

）对称.A．直线y=x B．原点 C．x轴 D．y轴【答案】B【解析】，令得，故的定义域为，关于原点对称，又，故.该函数为奇函数，关于原点对称.故选：B【变式9-1】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数是定义在的奇函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数是定义在的奇函数，则有，解得，即，有意义，，解得，所以有，此时，满足在上为奇函数，由，所以.故选：C.【变式9-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数.(1)求的定义域；(2)求证：函数为偶函数；(3)求的值.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)【解析】（1）由，则有，解得，所以的定义域为；（2）因为的定义域为，又，故函数为偶函数；（3）.【变式9-3】（23-24高一上·陕西安康·期末）已知函数（为常数）是奇函数.(1)求的值与函数的定义域；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，函数的定义域为；(2)【解析】（1）因为函数（为常数）是奇函数，所以，则，即，所以，即，解得，当时，则令，解得，即函数的定义域为，且，所以为奇函数，符合题意，当时函数无意义，故舍去；综上可得，函数的定义域为.（2）因为，则，因为恒成立，所以对任意的恒成立，又在上单调递增，所以，所以，即的取值范围是.考点十：反函数及其性质应用例10.（23-24高一上·湖南长沙·期中）若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，函数过，即，即，，它的反函数的解析式为.故选：A【变式10-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数y的反函数是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵y，∴，∴，即，∴，将x，y调换可得，，故函数y的反函数是．故选：D．【变式10-2】（23-24高二上·天津和平·月考）如果直线与直线关于直线对称，那么，的值分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】因为直线与直线关于直线对称，显然，所以函数与函数互为反函数，又因为的反函数为，所以，即，故选：A【变式10-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）设函数存在反函数，且函数的图象过点，则函数的图象一定过点（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数的图象过点，所以，解得，即的图象过点，所以的图象过点，的图象过点，所以的图象过点，故选：A一、单选题1．（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，解得且，所以的定义域为.故选：D.2．（23-24高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（

）A．1或2 B．1 C．2 D．且【答案】C【解析】∵函数是对数函数，∴，且，解得或，∴，故选：C．3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，在同一坐标系中，函数与的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意若，则指数函数单调递增，并过定点，函数单调递减，并过定点，而函数与函数关于轴对称，所以单调递增，并过定点，对比选项可知，只有B选项符合题意.故选：B.4．（23-24高一上·福建福州·月考）已知函数，是的反函数，则（

）A．10 B．8 C．5 D．2【答案】C【解析】因为函数，是的反函数，故，故.故选：C5．（23-24高一下·湖南衡阳·开学考试）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D