几何问题的处理方法(第2课时)课件

几何问题的处理方法（第2课时）想一想：在公理的基础上，我们已证得了许多与平行线、三角形有关的图形的属性，并将这些图形的属性均作为进一步推理的依据，于是又进一步证明等腰三角形、平行四边形的性质与判定定理。例如，有了“边角边”公理，我们以证明了等腰三角形的性质定理“等腰三角形的底角相等”、“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）”。等腰三角形性质定理等腰三角形的两个底角相等。

（简写成“等边对等角”）

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）我们还可以用逻辑推理的方法得到等腰三角形的性质：

以等腰三角形为条件时的常用辅助线:如图：若AB=AC①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.

对一般三角形能用（SSA）判定两个三角形全等吗？为什么？探索与证明

我们曾经通过画图、比较，发现：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形是全等的－－RT△HL定理．

已知：如图，在△ABC和△AˊBˊCˊ中，∠ACB＝∠AˊCˊBˊ＝90°,AB＝AˊBˊ，AC＝AˊCˊ求证：△ABC≌△AˊBˊCˊ探索与证明已知：如图19.2.2，在△ABC和△A’B’C’中,∠ACB=∠A’C’B’=90°，AB=A’B’,AC=A’C’.求证：△ABC≌△A’B’C’

把△ABC和△A’B’C’拼在一起，使相等的直角边AB和A’B’重全在一起，并使点C和C’在A’B’.的两旁，C、B（B’）、C’在一条直线上。19.2.2(A)C(B')A'C'B'c'B'A'CBA19.2.2(A)C(B)A'C'B''c'B'A'CBA证明；如图,把△ABC和△A’B’C’拼在一起,因为∠ABC=∠A’B’C’=90°(已知)所以∠C’B’C=180°（等式的性质）即点C’、B’、C在同一条直线上。在△A’C’C中，因为A’C’=AC=A’C（已知）所以∠C=C’（等边对等角）在△ABC和△A’B’C’中。因为∠ABC=∠A’B’C’（已知）∠C=∠C’（已证）AC=A’C’

（已知）所以△ABC≌△A’B’C’

（A.A.S）1.证明等腰三角形的判定方法证明：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．

已知：在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝ACD等腰三角形的判定定理（简写成“等角对等边”）在△ABC中∵∠B=∠C∴AB=AC如图16.1.2。按照下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形。探索步骤1：画两条平行线；步骤2：在两条线上分别取点A和点B，连结AB；步骤3：沿着水平方向平移AB到DC，就得到ABCD。

图16.1.2ABABDC如图16.1.3。用剪刀把ABCD从方格纸上剪下，再在一张纸上沿ABCD的边沿，画出一个四边形，记为四边形EFGH。则四边形EFGH和四边形ABCD完全一样，也为平行四边形。它们的对应边、对应角都相等。在ABCD中连结AC、BD，它们的交点记为O。用一枚图钉在点O穿过，将ABCD绕点O旋转1800，观察旋转后的ABCD和纸上所画的EFGH是否重合。

旋转1800之后两个平行四边形完全重合。即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心。由此得到：你能从中得出ABCD的一些边角关系吗？AD＝BC，AB＝DC

A＝

C；

B＝

D即平行四边形的对边相等、对角相等。如图29.1.4，四边形ABCD是平行四边形。求证：AB＝CD，BC＝DA。例2证明：连结AC。∵四边形ABCD是平行四边形（已知）∴AB∥CD（平行四边形的定义）。∴∠BAC＝∠DCA（两直线平行，内错角相等）同理∠BCA＝∠DAC在△ABC和△CDA中，

∠BAC＝∠DCA（已证），AC＝CA（公共边），∠BCA＝∠DAC（已证），

∴△ABC≌△CDA

（A.S.A）

∴AB＝CD，BC＝DA（全等三角形的对应边相等）由△ABC≌△CDA

，还可得：∠B＝∠D，同理也可得出:∠BAD=∠DCB.平行四边形的对边相等，对角相等。平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等.′BDCA∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD,BC=DA.定理:平行四边形的对角相等.∵四边形ABCD是平行四边形.∴∠A=∠C,∠B=∠D.定理:平行四边形的对角线互相平分.∵四边形ABCD是平行四边形.∴CO=AO,BO=DO.BDCAO推论:夹在两条平行线间的平行线段相等.∵MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.BDCAMNPQ回顾思考平行四边形的性质边平行四边形的对边平行平行四边形的对边相等角平行四边形的对角相等平行四边形的邻角互补对角线

平行四边形的对角线互相平分温故知新例3：有了平行四边形的性质，还可以证明矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质。例如要证明菱形的对角线互相垂直，可以先证明菱形的四条边相等。这是因为菱形的对边相等，且有一组邻边相等，故四条边都相等。如图29.1.5，四边形ABCD是菱形。求证：AC⊥BD，且AC平分∠BAD。证明：设AC与BD相交于O。∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO（平行四边形的对角线互相平分）AB＝AD（菱形的四条边相等）∴AC⊥BD，且AC平分∠BAD（等腰三角形三线合一）矩形的性质定理:矩形的四个角都是直角.驶向胜利的彼岸已知:如图,四边形ABCD是矩形.分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=900,四边形ABCD是平行四边形.∴∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900,∠D=1800-∠A=900.求证:∠A=∠B=∠C=∠D=900.∴四边形ABCD是矩形.DBCA想一想:正方形的四个角都是直角吗?

我思,我进步定理:矩形的两条对角线相等.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.求证:AC=BD.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900.分析:根据矩形的性质性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.DBCA∵BC=CB,∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB.矩形的性质

我思,我进步定理:菱形的四条边都相等.已知:如图,四边形ABCD是菱形.分析:由菱形的定义,利用平行四边形性质可使问题得证.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD,AD=BC.求证:AB=BC=CD=DA.∴AB=BC=CD=AD.CBDA菱形的性质

我思,我进步定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O.求证:(1).AC⊥BD;(2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,AO=CO.分析:根据平行四边形对角线互相平分和等腰三角形“三线合一”来证明.∵DO=DO,∴△AOD≌△COD(SSS).∴∠AOD=∠COD=900.DBCAO∴AC⊥BD.(2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD;∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.菱形的性质

我思,我进步定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=900.(2)AB=BC=CD=DA.分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明:∴四边形ABCD是矩形,也是菱形.∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.∵四边形ABCD是正方形,ABCD已知:四边形ABCD是正方形.正方形的性质

我思,我进步定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.求证:(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;(2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明:∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.∴AO=CO,BO=DO;AC=BD;∵四边形ABCD是正方形,AC⊥BD;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.ABCDO正方形的性质

我思,我进步等腰梯形的性质定理1.等腰梯形在同一底上的两个角相等.ABCD2.等腰梯形的两条对角线相等.ABCD对上述定理分别作出证明：定理等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等．1.已知：如图19.3.8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．求证：∠ABC＝∠DCB，∠BAD＝∠CDA．分析可以过点D作DE∥AB，交BC于E．请你写出完整的证明过程．演示证明：过D作DE∥AB，交BC于E，因为AD∥BC，所以ABED是平行四边形.所以AB=DE.又因为AB=DC，则DE=DC,所以△DEC是等腰三角形,可得∠DEC=∠C.因为DE∥AB，所以∠ABC=∠DEC(两直线平行同位角相等)所以∠ABC