2024-2025学年广东省东莞市可园中学九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年广东省东莞市可园中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+y+3＝0 B．3x2﹣2＝0 C． D．5x+3＝02．（3分）下面各组图形中，不是相似图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（）A．（x+2）2＝6 B．（x﹣2）2＝6 C．（x+2）2＝﹣6 D．（x+2）2＝﹣24．（3分）一元二次方程x2+x﹣2＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根5．（3分）在我市组织的一次青少年足球比赛预赛中，每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场（）A．7 B．8 C．12 D．146．（3分）将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（）A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣37．（3分）下列对抛物线y＝﹣2（x+3）2﹣1描述不正确的是（）A．开口向下 B．y有最大值 C．对称轴是直线x＝﹣3 D．顶点坐标为（3，﹣1）8．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣2m+2024的值为（）A．2022 B．2023 C．2024 D．20259．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4（）A． B．1 C． D．210．（3分）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）x00.511.52y＝ax2+bx+c﹣1﹣0.513.57A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）一元二次方程x2＝2024x的解是．12．（3分）二次函数y＝﹣x2+2的图象与y轴的交点坐标为．13．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两个实数根，若x1＝2，则x2的值为．14．（3分）若点A（3，y1），B（5，y2）在函数y＝﹣x2+4x+1的图象上，则y1y2（用“＜”、“＞”或者“＝”连接）．15．（3分）如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，镜子与旗杆的水平距离为10米．则旗杆的高度为米．16．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＜0；③2a+c＜0；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为，x2＝﹣1．其中正确的结论有．（请填序号）三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤）17．（4分）解方程：x2+2x﹣3＝0．18．（4分）已知二次函数的图象以A（1，﹣4）为顶点，且过点B（﹣2，5）19．（6分）如图，在等腰△ABC中，AD是顶角∠BAC的角平分线，垂足为点E．求证：△ACD∽△BCE．20．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；x…01234…y…30﹣1…（2）当x时，y随x的增大而减小；（3）当y＞0时，x的取值范围是；（4）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是．21．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0（a为常数）．（1）当a＝2时，求出该一元二次方程实数根；（2）若x1，x2是这个一元二次方程两根，且x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，求a的值．22．（10分）根据以下素材，探索完成任务．素材1随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．素材2该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，问题解决任务1该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；任务2为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？23．（10分）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．（1）求点P的坐标和a的值；（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．24．（12分）如图，抛物线与x轴交于点A，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交该抛物线于点E．（1）求直线AB的表达式；（2）若△ABE的面积取得最大值，求出这个最大值；（3）当以B，E，D为顶点的三角形与△CDA相似时，求点C的坐标．25．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）＝0有实数根．（1）求m的值；（2）先作y＝x2﹣（m+1）x+（m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度；（3）在（2）的条件下，当直线y＝2x+n（n≥m），求n2﹣4n的最大值和最小值．

2024-2025学年广东省东莞市可园中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+y+3＝0 B．3x2﹣2＝0 C． D．5x+3＝0【解答】解：A、该方程属于二元二次方程．B、该方程属于一元二次方程．C、该方程属于分式方程．D、该方程属于一元一次二次方程．故选：B．2．（3分）下面各组图形中，不是相似图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、两个图形相似；B、两个图形相似；C、五角星和六角星不相似；D、所有的圆都相似，故选：C．3．（3分）一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（）A．（x+2）2＝6 B．（x﹣2）2＝6 C．（x+2）2＝﹣6 D．（x+2）2＝﹣2【解答】解：∵x2+4x＝2，∴x2+4x+5＝2+4，∴（x+4）2＝6．故选：A．4．（3分）一元二次方程x2+x﹣2＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【解答】解：Δ＝12﹣7×1×（﹣2）＝5＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：D．5．（3分）在我市组织的一次青少年足球比赛预赛中，每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场（）A．7 B．8 C．12 D．14【解答】解：设共有x支队伍参赛，依题意得：x（x﹣6）＝28，整理得：x2﹣x﹣56＝0，解得：x7＝8，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴共有8支队伍参赛．故选：B．6．（3分）将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（）A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣3【解答】解：∵将抛物线y＝x2向上平移3个单位再向右平移6个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2+8．故选：B．7．（3分）下列对抛物线y＝﹣2（x+3）2﹣1描述不正确的是（）A．开口向下 B．y有最大值 C．对称轴是直线x＝﹣3 D．顶点坐标为（3，﹣1）【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x+3）5﹣1中a＝﹣2＜7，∴抛物线开口向下，y有最大值、B正确；∵抛物线的解析式为；y＝﹣2（x+3）8﹣1，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣4，故C正确．故选：D．8．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣2m+2024的值为（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【解答】解：把点（m，0）代入y＝x2﹣5x﹣1，得m2﹣3m﹣1＝0，∴m7﹣2m＝1，∴m6﹣2m+2024＝1+2024＝2025．故选：D．9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4（）A． B．1 C． D．2【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC＝AC，∵点E为OC的中点，∴CE＝OC＝，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴＝，即＝，∴EF＝1，故选：B．10．（3分）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）x00.511.52y＝ax2+bx+c﹣1﹣0.513.57A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣4.5，y＝1，∴方程ax8+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是5.5＜x＜1．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）一元二次方程x2＝2024x的解是x1＝0，x2＝2024．【解答】解：x2＝2024x，移项，得x2﹣2024x＝8，分解因式，得x（x﹣2024）＝0，则x＝0，x﹣2024＝5，解得x1＝0，x2＝2024．故答案为：x1＝0，x6＝2024．12．（3分）二次函数y＝﹣x2+2的图象与y轴的交点坐标为（0，2）．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣1×62+2＝3，∴二次函数y＝﹣x2+2的图象与y轴的交点坐标为（8，2）．故答案为：（0，7）．13．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两个实数根，若x1＝2，则x2的值为4．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x6﹣6x+m＝0的两个实数根，∴x2+x2＝6，∵x3＝2，∴x2＝4．故答案为：4．14．（3分）若点A（3，y1），B（5，y2）在函数y＝﹣x2+4x+1的图象上，则y1＞y2（用“＜”、“＞”或者“＝”连接）．【解答】解：当x＝3时，y1＝﹣32+4×4+1＝4；当x＝6时，y2＝﹣57+4×5+3＝﹣4．∵4＞﹣7，∴y1＞y2．故答案为：＞．15．（3分）如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，镜子与旗杆的水平距离为10米．则旗杆的高度为8米．【解答】解：由题意得：∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴＝，∵AB＝1.6米，OB＝7米，∴＝，解得：CD＝8，∴旗杆的高度为8米，故答案为：3．16．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＜0；③2a+c＜0；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为，x2＝﹣1．其中正确的结论有①②④．（请填序号）【解答】解：①由图象可得抛物线开口向下，则a＜0，因此a、b异号，抛物线与y轴交于正半轴，故abc＜0，故①正确；②当x＝4时，y＝4a+2b+c＞5；③根据抛物线与x轴有交点（3，0），2），故当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，又，则b＝﹣2a，∴2a+c＝0，∴2a+a+c＝7，2a+c＝﹣a，∴2a+c＞4，故③错误；④ac≠0，m≠06+bx+c＝0的一个根为m，则am2+bm+c＝5，两边同时除以m2，得到a+b×+c×，则是cx7+bx+a＝0的一个根．由图象可知ax2+bx+c＝4的两个根为3，﹣1，则﹣1为一元二次方程cx7+bx+a＝0的两个根，故④正确；故答案为：①②④．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤）17．（4分）解方程：x2+2x﹣3＝0．【解答】解：x2+2x﹣8＝0∴（x+3）（x﹣2）＝0∴x1＝8，x2＝﹣3．18．（4分）已知二次函数的图象以A（1，﹣4）为顶点，且过点B（﹣2，5）【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，把B（2，5）代入得4＝a（﹣2﹣1）2﹣4，解得a＝1，所以抛物线解析式为y＝（x﹣7）2﹣4．19．（6分）如图，在等腰△ABC中，AD是顶角∠BAC的角平分线，垂足为点E．求证：△ACD∽△BCE．【解答】证明：∵AD是等腰△ABC的顶角∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵BE是腰AC边上的高，∴∠BEC＝90°，∵∠ACD＝∠BCE，∠ADC＝∠BEC，∴△ACD∽△BCE．20．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；x…01234…y…30﹣1…（2）当x＜2时，y随x的增大而减小；（3）当y＞0时，x的取值范围是x＜1或x＞3；（4）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．【解答】解：（1）当x＝3时，y＝x2﹣3x+3＝0；当x＝7时，y＝x2﹣4x+6＝3；补全表格为：x______…08234…y…30﹣503…如图，（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝5，抛物线开口向上，∴当x＜2时，y随x的增大而减小；故答案为：＜2；（3）抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），0），当y＞3时，x的取值范围是x＜1或x＞3；故答案为：x＜5或x＞3；（4）当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y有最小值为﹣1，当x＝6时，y＝0，∴当0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．故答案为：﹣7≤y≤3．21．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0（a为常数）．（1）当a＝2时，求出该一元二次方程实数根；（2）若x1，x2是这个一元二次方程两根，且x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，求a的值．【解答】解：（1）把a＝2代入一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝5得2x2﹣7x+1＝0，则（8x﹣1）（x﹣1）＝5，解得x1＝，x2＝1；（2）∵x4，x2是一元二次方程2x7﹣（a+1）x+a﹣1＝6两根，∴x1+x2＝，x1x6＝，∵x5，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，∴x52+x24＝（）2，∴（x8+x2）2﹣2x1x2＝3，∴（）7﹣2×＝5，解得a1＝﹣5（负值舍去），a2＝5．故a的值为6．22．（10分）根据以下素材，探索完成任务．素材1随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．素材2该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，问题解决任务1该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；任务2为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？【解答】解：（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，根据题意得：100（2+x）2＝114，解得：x1＝8.2＝20%，x2＝﹣3.2（不符合题意，舍去）．答：该车间4月份到3月份生产数量的平均增长率为20%；（2）设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为（y﹣30）元，根据题意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000，整理得：y2﹣130y+4000＝0，解得：y8＝50，y2＝80，又∵要尽可能让车企得到实惠，∴y＝50．答：该零件的实际售价应定为50元．23．（10分）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．（1）求点P的坐标和a的值；（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．【解答】解：（1）在y＝﹣0.4x+3.8中，令x＝0得y＝5.8，∴点P的坐标为（0，3.8）；把P（0，6.8）代入y＝a（x﹣1）8+3.2得：a+3.2＝2.3，解得：a＝﹣0.4，∴a的值是﹣6.4；（2）∵OA＝3m，CA＝4m，∴OC＝5m，∴C（5，3），在y＝﹣0.4x+3.8中，令y＝0得x＝2，在y＝﹣0.4（x﹣6）2+3.8中，令y＝0得x＝﹣2+1≈8.83，∵|7﹣5|＞|4.83﹣5|，∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近．24．（12分）如图，抛物线与x轴交于点A，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交该抛物线于点E．（1）求直线AB的表达式；（2）若△ABE的面积取得最大值，求出这个最大值；（3）当以B，E，D为顶点的三角形与△CDA相似时，求点C的坐标．【解答】解：（1）令y＝0，则＝0，∴x＝﹣或x＝3，∴A（3，2），令x＝0，