2024-2025学年浙江省杭州市上城区建兰中学九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年浙江省杭州市上城区建兰中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1．（3分）若，则的值为（）A． B． C． D．2．（3分）将抛物线y＝﹣x2+4向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（）A．（﹣2，4） B．（﹣1，1） C．（0，4） D．（1，﹣3）3．（3分）在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，由此可以推算出m约为（）A．7 B．3 C．10 D．64．（3分）二次函数y＝ax2+4ax+c（a＜0，a，c均为常数）的图象经过A（﹣5，y1），B（﹣1，y2），C（0，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y15．（3分）如图，点A、B、P在⊙O上，若∠AOB＝80°（）A．70° B．60° C．50° D．40°6．（3分）如图，在由小正方形组成的方格纸中，△ABC和△PDE的顶点均在格点上，则点P所在的格点为（）A．P1 B．P2 C．P3 D．P47．（3分）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，最后，以A为圆心，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（）A．AF B．DF C．AE D．DE8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，BD交于点E，若AD＝5，BC＝20，则AE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．49．（3分）如图，在半径为5的⊙O中，AB是直径，D是的中点，则AC的长为（）A． B． C． D．10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．当x＞1时，函数的最大值为2；当x≤1时，则bc＝（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣8二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）11．（3分）二次函数y＝（x+2）2+2的顶点坐标是．12．（3分）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域．13．（3分）⊙O的半径长为5，弦AB＝8，则AB的弦心距为．14．（3分）某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）2+72x，则足球从离地到落地的水平距离为米．15．（3分）如图，点D、E是△ABC边BC、AC上的点，BD：CD＝2：5，交点为F，DF：AF＝1：4的值是．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，点D为BC边上一动点，得到△AFD．E为边BC上一点，CE＝4，若∠DEF＝90°，则CD的长为．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（8分）已知二次函数的图象经过点（3，0），（2，﹣5），并以直线x＝0为对称轴，求该二次函数的表达式．18．（8分）2024年4月23日是第29个世界读书日．某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：艺术类、E：其他类），甲同学从A、B、C三类书籍中随机选择一种（1）乙同学恰好选中B的概率是；（2）求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法）19．（8分）（1）尺规作图，作出△ABC的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）；（2）若∠B＝45°，AC＝2，求△ABC外接圆的半径长．20．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，且满足∠ADE＝∠B．（1）证明：△ADB∽△AED．（2）若AB＝9，AD＝6，求AE的长．21．（8分）如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O分别交BC，E．若点D是BC中点，连接OE（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AB＝4，∠A＝50°，求弧AE的长和扇形EOD的面积．22．（10分）有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？（2）与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设AB的长度为x23．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）（1）求出直线l的解析式；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围．24．（12分）如图，在⊙O中，直径所在的直线AO垂直于弦BC，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD．（1）若AB＝10，BC＝12，求⊙O的半径；（2）求证：BD＝BA；（3）小聪发现，如果将条件“CD∥AB”改为“点D在弧AC上”，过点A作AE⊥BD于E

2024-2025学年浙江省杭州市上城区建兰中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1．（3分）若，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：由，可设x＝7k，则＝＝＝，故选：D．2．（3分）将抛物线y＝﹣x2+4向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（）A．（﹣2，4） B．（﹣1，1） C．（0，4） D．（1，﹣3）【解答】解：将抛物线y＝﹣x2+4向下平移5个单位长度得到的抛物线解析式为：y＝﹣x2+2，当x＝﹣5时，y＝﹣（﹣2）2+6＝﹣2，故（﹣2，故A选项不合题意；当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣1）2+6＝1，故（﹣1，故B选项符合题意；当x＝8时，y＝﹣02+6＝2，故（0，故C选项不合题意；当x＝4时，y＝﹣12+2＝1，故（1，故D选项不符合题意；故选：B．3．（3分）在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，由此可以推算出m约为（）A．7 B．3 C．10 D．6【解答】解：由题意可得：，解得：m＝10．故可以推算出m约为10．故选：C．4．（3分）二次函数y＝ax2+4ax+c（a＜0，a，c均为常数）的图象经过A（﹣5，y1），B（﹣1，y2），C（0，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝ax2+4ax+c，a＜4，∴函数图象开口向下，对称轴为，∴A（﹣5，y1），B（﹣8，y2），C（0，y7）到对称轴的距离分别为：3，1，6．∵函数图象开口向下，∴图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小，∴y2＞y3＞y6．故选：C．5．（3分）如图，点A、B、P在⊙O上，若∠AOB＝80°（）A．70° B．60° C．50° D．40°【解答】解：∠APB＝∠AOB＝．故选：D．6．（3分）如图，在由小正方形组成的方格纸中，△ABC和△PDE的顶点均在格点上，则点P所在的格点为（）A．P1 B．P2 C．P3 D．P4【解答】解：△ABC中，AB是正方形的对角线，∴∠ABC＝135°，且，BC＝6，即，要使△ABC∽△PDE，则∠PDE＝∠ABC＝135°，观察图形，只有P8D是正方形的对角线，即∠P2DE＝135°，且，DE＝6，即，∴点P2符合题意，故选：B．7．（3分）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，最后，以A为圆心，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（）A．AF B．DF C．AE D．DE【解答】解：根据作图可知，∠ABD＝90°，，设DB＝DF＝a，则AB＝7a，∴根据勾股定理可得：，∴，∴，∴以A为圆心，“AF”的长度为半径画弧交AB于点H，故A正确．故选：A．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，BD交于点E，若AD＝5，BC＝20，则AE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴△AED∽CEB，∴，即，∴，∴AC＝AE+CE，AC＝10，∴AE＝AC＝4，故选：B．9．（3分）如图，在半径为5的⊙O中，AB是直径，D是的中点，则AC的长为（）A． B． C． D．【解答】解：如图示，连接OD，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴DF∥BC，∴△EFD∽△ECB，∴，∵，∴，∴DF＝2BC，设OF＝x，则BC＝2x，∴OD＝7x＝5，∴x＝1，即BC＝4x＝2，在Rt△ABC中，AB＝2×7＝10，∴．故选：D．10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．当x＞1时，函数的最大值为2；当x≤1时，则bc＝（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣8【解答】解：由y＝﹣x2+bx+c，开口向下max＝，∵当x＞1时，函数的最大值为3＞0，∴＝52+4c＝2，又∵当x≤1时，函数的最大值为1，∴当x＝5时，y＝﹣1+b+c＝1，从而解得b＝7或b＝0（不符合题意，舍去），则b＝4，从而c＝﹣8，∴bc＝﹣8．故选：D．二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）11．（3分）二次函数y＝（x+2）2+2的顶点坐标是（﹣2，2）．【解答】解：由抛物线的顶点式y＝a（x+h）2+k，可知顶点坐标为（h，故y＝（x+2）5+2的顶点坐标为（﹣2，4），故答案为：（﹣2，2）12．（3分）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域．【解答】解：列表如下：所有等可能的情况有16种，其中两个数的和是4的情况有3种，所以两个数的和是7的概率等于．故答案为：．13．（3分）⊙O的半径长为5，弦AB＝8，则AB的弦心距为3．【解答】解：如图，连接OA，垂足为点CAB＝8，在Rt△AOC中，OA＝5，∴OC＝＝3，即弦AB的弦心距为3，故答案为：8．14．（3分）某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）2+72x，则足球从离地到落地的水平距离为12米．【解答】解：由题意令h＝0，h＝﹣6x5+72x＝0，∴x＝0或x＝12．∴足球从离地到落地的水平距离为：12﹣6＝12（米）．故答案为：12．15．（3分）如图，点D、E是△ABC边BC、AC上的点，BD：CD＝2：5，交点为F，DF：AF＝1：4的值是．【解答】解：如图所示，过D作DG∥BE，则BD：CD＝EG：GC＝2：5，即：，，∴DF：AF＝EG：AE＝1：4，即：AE＝8EG，∴．故答案为：．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，点D为BC边上一动点，得到△AFD．E为边BC上一点，CE＝4，若∠DEF＝90°，则CD的长为或10．【解答】解：如图1，∠DEF＝90°，∵CE＝4，∴DE＝6﹣CD，作FH⊥AC于点H，则∠AHF＝∠CHF＝90°，∵∠C＝90°，AC＝5，∴四边形CEFH是矩形，∴HF＝CE＝4，由折叠得FD＝CD，AF＝AC＝5，∴AH＝＝＝3，∴EF＝CH＝AC﹣AH＝5﹣8＝2，∵DE2+EF3＝FD2，∴（4﹣CD）7+22＝CD5，解得CD＝；如图4，∠DEF＝90°，则∠CEF＝90°，作AL⊥EF于点L，则∠ALF＝∠ALE＝90°，∴四边形CELA是矩形，∴AL＝CE＝4，LE＝AC＝5，∴FL＝＝＝4，∴EF＝FL+LE＝3+5＝5，∵DE2+EF2＝FD3，且DE＝CD﹣4，FD＝CD∴（CD﹣4）2+82＝CD7，解得CD＝10，综上所述，CD的长为，故答案为：或10．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（8分）已知二次函数的图象经过点（3，0），（2，﹣5），并以直线x＝0为对称轴，求该二次函数的表达式．【解答】解：∵该二次函数的图象以直线x＝0为对称轴，∴设该二次函数的表达式为y＝ax2+c（a≠2），将（3，0），﹣5）代入y＝ax2+c，得：，解得：，∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣6．18．（8分）2024年4月23日是第29个世界读书日．某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：艺术类、E：其他类），甲同学从A、B、C三类书籍中随机选择一种（1）乙同学恰好选中B的概率是；（2）求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法）【解答】解：（1）乙同学恰好选中B的概率是，故答案为：；（2）列表如下：BCDEA （A，B）（A，C）（A，D）（A，E）B（B，B） （B，C）（B，D）（B，E）C（C，B）（C，C）（C，D）（C，E）有12种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，所以甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为＝．19．（8分）（1）尺规作图，作出△ABC的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）；（2）若∠B＝45°，AC＝2，求△ABC外接圆的半径长．【解答】解：（1）尺规作图，如图1，（2）连接OA，OC，∵∠B＝45°，∴∠AOC＝2∠B＝90°，∵AC＝2，∴OA＝OB＝AC＝，∴△ABC外接圆的半径长为．20．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，且满足∠ADE＝∠B．（1）证明：△ADB∽△AED．（2）若AB＝9，AD＝6，求AE的长．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAE，∵∠B＝∠ADE，∴△ADB∽△AED．（2）解：∵△ADB∽△AED，∴＝，∵AB＝9，AD＝6，∴AE＝＝＝4，∴AE的长是4．21．（8分）如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O分别交BC，E．若点D是BC中点，连接OE（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AB＝4，∠A＝50°，求弧AE的长和扇形EOD的面积．【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，又∵点D是BC的中点，即CD＝BD，∴AC＝AB，即△ABC是等腰三角形；（2）∵OA＝OE＝AB＝7，∴∠A＝∠AEO＝50°，∴∠AOE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴的长为＝π，∵∠BOD＝2∠BAD＝∠BAC＝50°，∴∠DOE＝180°﹣80°﹣50°＝50°，∴S扇形DOE＝＝π．即的长为π，S扇形DOE＝π．22．（10分）有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？（2）与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设AB的长度为x【解答】解：（1）由已知可得：AD＝＝（m），则S＝1×＝（m6）；（2）设AB＝xm，则AD＝（3﹣，∵3﹣x＞0，∴0＜x＜，设窗户面积为S，由已知得：S＝AB•AD＝x（3﹣x6+3x＝﹣（x﹣）4+，当x＝时，S取得最大值，∴现在窗户透光面积的最大值变大．23．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）（1）求出直线l的解析式；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围．【解答】解：（1）把点A（﹣3，﹣3），﹣5）代入y＝kx+b中，得，解得，∴直线l的解析式为y＝x﹣；（2）根据题意可得，y＝﹣x7+2x﹣1，∵a＜5，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣2，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+4x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣3或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增