吉林省白城市实验高级中学2024−2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案

吉林省白城市实验高级中学2024−2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．下列说法中正确的是（

）A．已知，平面内到两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B．已知，平面内到两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．平面内到两点的距离之和等于点到的距离之和的点的轨迹是椭圆D．平面内到点距离相等的点的轨迹是椭圆2．若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为（

）A． B．1 C． D．3．“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．过，且在轴上的截距比在轴上的截距大1的直线方程是（

）A． B．或C． D．或5．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为

A．2 B． C． D．6．若直线l过点和，且点在直线l上，则b的值为（

）A．183 B．182 C．181 D．1807．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为A．2 B． C． D．38．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则（）A．曲线是黄金双曲线B．如果双曲线是黄金双曲线，那么（c为半焦距）C．如果双曲线是黄金双曲线，那么右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一D．过双曲线的右焦点且垂直于实轴的直线l交C于M、N两点，O为坐标原点，若，则双曲线C是黄金双曲线10．过点且的双曲线的标准方程是（

）A． B． C． D．11．已知过点的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长可能是（）A．1 B． C． D．312．已知直线和圆，则（

）A．直线恒过定点B．存在使得直线与直线垂直C．直线与圆相交D．直线被圆截得的最短弦长为三、填空题（本大题共4小题）13．已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数.14．已知与垂直，且与垂直，则＝.15．已知，，三点，这三点（填“是”或“否”）在同一直线上．16．已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为．

四、解答题（本大题共6小题）17．求直线关于直线对称的直线的方程．18．如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19．已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，求圆的方程．20．若，又三点，，共线，求的值．21．已知圆，直线.(1)判断直线与圆的位置关系；(2)若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的方程.22．如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值．

参考答案1．【答案】C【分析】根据椭圆的定义以及限制条件可判断.【详解】对于A，，则平面内到两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；对于B，平面内到两点的距离之和等于6，小于，这样的点不存在，所以B错误；对于C，点到两点的距离之和为，则所求动点的轨迹是椭圆，所以C正确；对于D，平面内到距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，所以D错误.故选：C.【点睛】本题考查对椭圆定义的理解，属于基础题.2．【答案】D【详解】试题分析：因为，所以设弦长为，则，即.考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.3．【答案】A【详解】直线和平行，则，等价于，即，故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A.4．【答案】B【详解】设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线方程为，在直线上，或，则直线为或.故选：B.5．【答案】A【分析】先利用点到直线距离求出b与c的关系，再求离心率。【详解】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．6．【答案】A【详解】因为直线l过点和，由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即.由于点直线l上，所以，解得.故选:A.7．【答案】A【详解】分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值.详解：由①得到，，故①无解，所以直线与抛物线是相离的.由，而为到准线的距离，故为到焦点的距离，从而的最小值为到直线的距离，故的最小值为，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.8．【答案】A【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，，，，则，，所以.又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.9．【答案】BD【解析】根据双曲线的离心率以及黄金双曲线的定义分别计算即可一一判断；【详解】解：对于A：，，，所以，所以，故A错误；对于B：双曲线是黄金双曲线，所以，由，所以，故B正确；对于C：双曲线的一条渐近线，则到其距离，而由B可知，，故C错误；对于D：当时，，令，，则，，所以，则，由B可知，双曲线C是黄金双曲线，故D正确；故选：BD10．【答案】AC【详解】∵，∴，当焦点在轴上时，设，代入点，得，此时双曲线方程为，同理求得焦点在轴上时，双曲线方程为，故选AC.11．【答案】BC【详解】当直线的斜率存在时，设过点斜率存在的直线方程为：，由消去y，并整理得，恒成立，设，则，，当直线的斜率不存在时，因此，所以弦长可能是，.故选：BC12．【答案】BCD【详解】对：由可得，，令，即，此时，所以直线恒过定点，故A错误；对：因为直线的斜率为，所以当时，直线的斜率为-2，此时直线与直线垂直，满足题意，正确；对C:因为定点到圆心的距离为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，正确；对:直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确；故选：.13．【答案】4【详解】以为空间一组基底，由于三个向量共面，所以存在，使得，即，整理得，所以，解得.故答案为：14．【答案】60°/【详解】，，两式相减得：，，代入上面两个式子中的任意一个，得，，又，.故答案为：15．【答案】是【详解】由题意可知直线的斜率，直线的斜率.因为，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点，所以，，三点在同一直线上．故答案为：是16．【答案】【详解】设直线的倾斜角为，因为和向上的方向所成的角为，所以，，故．故答案为：.17．【答案】【详解】联立方程组，解得所以直线与相交，且交点为，可得点也在直线上．再在直线上取点，设点关于直线的对称点为，可得，解得，即点的坐标为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故直线的方程为.18．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【详解】（1）证明：因为四棱锥底面是正方形，且平面，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.则，，因为是的中点，所以，所以，所以，且.

所以，，且.所以⊥平面.（2）假设在线段上存在点，使得//平面.设，则.因为//平面，⊥平面，所以.

所以.

所以，在线段上存在点，使得//平面.其中.19．【答案】或【详解】由圆的方程知：圆心，半径为；设圆的方程为：，则圆心为，半径为，则，解得：或，圆的方程为：或.20．【答案】【详解】试题分析：∵、、三点共线，∴直线、的斜率相等，∴，解之得：．21．【答案】(1)直线与圆相交；(2)直线的方程为或.【详解】（1）直线，整理得，令，解得，即直线l过定点，将P点坐标代入圆C方程得，故P