吉林市普通高中2024−2025学年高二上学期期中调研测试数学试题含答案

吉林市普通高中2024−2025学年高二上学期期中调研测试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．圆与圆的位置关系为（

）A．相离 B．外切 C．相交 D．内切3．若直线与直线平行，则实数（

）A． B．1 C．或1 D．4．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．5．如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（

）

A． B． C． D．6．一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的斜率为（

）A．或 B．或 C．或 D．或7．已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．8．如图1，平面四边形中，，垂足为，如图2，将沿翻折至，使得平面平面，若点为线段上的动点，则点到直线距离的最小值为（

）

A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知椭圆，下列结论正确的是（

）A．椭圆的长轴长是B．椭圆的短半轴长是4C．经过椭圆焦点的最短弦长是D．椭圆的焦点坐标分别是10．如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则（

）

A． B．C． D．11．平面内与两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，它的发现为人类研究土星运行轨迹提供莫大帮助．已知平面内有一卵形线，则（

）A．曲线过原点B．曲线既是中心对称图形又是轴对称图形C．曲线上点的横坐标的取值范围是D．曲线上任意一点到原点距离的取值范围是三、填空题（本大题共3小题）12．点到直线的距离为．13．由直线上的一点向圆引切线,切点分别为，则四边形面积的最小值为.14．在空间直角坐标系中，过点且一个方向向量为的直线方程为，过点且一个法向量为的平面方程为．现已知直线的方程为，则直线的一个方向向量，若平面经过点且同时垂直于平面与平面，则直线到平面的距离为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆经过点，且圆心在直线上．(1)求圆的标准方程；(2)若直线与圆的交点为，求．16．如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．

(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．17．已知椭圆的离心率，点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆的交点为，点为坐标原点，且的面积为，求直线的方程．18．已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为．(1)求曲线的方程；(2)求的取值范围；(3)已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值．19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且分别为的中点．

(1)求证：平面；(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值；(3)在平面内是否存在点，满足？若存在，请求出点的轨迹长度；若不存在，请说明理由．

参考答案1．【答案】C【详解】由题，直线方程可化为，则斜率为，所以倾斜角为，故选:C.2．【答案】D【详解】因为，所以圆心，半径为，圆，化为标准方程为：，所以圆心，半径为，两个圆心间的距离为：，所以两圆内切，故选：D3．【答案】B【详解】因为直线与直线平行，所以，解得.故选：B.4．【答案】C【详解】对于A选项，有，所以共面；对于B选项，有，所以共面；对于C选项，假设共面，则有，即，由此有、、共面，与已知条件矛盾，所以不共面；对于D选项，，所以共面.故选：C5．【答案】B【详解】如图，与椭圆交于点，连结，由题意可知，的边长为，点是的中点，所以，，

，所以.故选：B6．【答案】A【详解】圆的圆心坐标为，半径为1，点关于轴对称点的坐标为，根据题意可得，点在反射光线所在的直线上，设反射光线所在的直线方程为，即，因为反射光线所在直线与圆相切，所以，解得或，故选：A.7．【答案】C【详解】椭圆中，.

如图，由得，∴，∴当取最小值时，最小.由题意得，点A为椭圆右焦点，当点为椭圆的右顶点时，，∴.故选：C.8．【答案】D【详解】因为平面平面，平面，平面平面，，所以平面，平面，则，又，，以点为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系，连接，则P0,0,1，，设，，所以，，设与的夹角为，，则，所以点到直线的距离为，由，则，所以，所以点到直线距离的最小值为.故选：D.

9．【答案】AC【详解】因为椭圆方程为，所以，，则，所以椭圆的长轴长为，短轴长为，经过椭圆焦点的最短弦长为，焦点坐标为，，所以A正确，B错误，C正确，D错误.故选：AC.10．【答案】ACD【详解】由题意可知，.对于A，，故A正确、B不正确；对于C，故C正确;对于D，，故D正确．故选：ACD.11．【答案】BCD【详解】A.把代入不成立，选项A错误.B.把代入得，，曲线关于轴对称；把代入得，，曲线关于轴对称；把代入得，，曲线关于原点中心对称.曲线既是中心对称图形又是轴对称图形，选项B正确.C.∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴曲线上点的横坐标的取值范围是，选项C正确.D.设曲线上任意一点，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，选项D正确.故选：BCD.12．【答案】【详解】运用点到直线距离公式,得到.故答案为：1.13．【答案】【解析】根据切线的性质可确定所求四边形面积为，可知当所求面积最小时，，利用点到直线距离公式可求得，进而得到所求面积的最小值.【详解】由题意知，圆的圆心，半径两切线关于对称

四边形面积为当时，最小，此时四边形面积的最小值为故答案为：14．【答案】（此空答案不唯一，均可）【详解】由题意可知，直线的方程，即，则其一个方向向量，且过点，又平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且平面同时垂直于平面与平面，设平面的法向量为，则，解得，取，则，所以平面的法向量为，又平面经过点，则，所以直线到平面的距离为.故答案为：；15．【答案】(1)(2)【详解】（1）（法一）设圆的标准方程为，则圆心为．由题意可得解得,圆的标准方程为．（法二）由题意可得中点为，线段的垂直平分线为，即，圆心在直线上，联立解得即圆心为，圆的半径圆的标准方程为．（法三）设圆的一般方程为，则圆心为．由题意可得解得,圆的一般方程为，即圆的标准方程为．（法四）设圆心，整理，得圆心．圆的标准方程为．（2）由（1）知，圆心到直线的距离为圆的半径．16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）（法一）在三棱柱平面，平面平面，平面平面，平面，为中点，，平面平面，平面

（法二）以为原点，分别以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以．

（2）依题意，是平面的一个法向量，，设平面的一个法向量为n=x,y,z则．则，即，取，则，平面的一个法向量为设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为．17．【答案】(1)(2)或或或【小题1】离心率，即，，椭圆的方程为．将代入得，所以的标准方程为．【小题2】

（法一）设Ax联立消去，得．则，化简得，由韦达定理得，，解得或或1或．直线的方程为或或或．（法二）设Ax联立消去，得．，化简得，由韦达定理得，由弦长公式可得，原点到直线的距离为．，解得或或1或．直线的方程为或或或．18．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）连接，则．设点圆的圆心，半径为4，，

点的轨迹是以为焦点的椭圆，长轴长，焦距，曲线的方程为．（2）（法一）分以下两种情况讨论：①若直线与轴重合，则；②若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点Ax1,y1联立，消去，得，则，由韦达定理得，由弦长公式可得，，则．综上所述，的取值范围是．（2）（法二）分以下两种情况讨论：①当直线的斜率不存在时，，不妨设；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx−1，设点Ax1联立，消去，得，则，由韦达定理得，由弦长公式可得．综上所述，的取值范围是．（2）（法三）分以下两种情况讨论：①若直线与轴重合，则②若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点，，联立，消去，得，则，由韦达定理得，，，则．综上所述，的取值范围是．（3）（法一）分以下两种情况讨论：①若直线与轴重合，点都在轴上，②若直线不与轴重合，由（2）知，直线的方程为，点Ax1,y1，综上所述：．（3）（法二）分以下两种情况讨论：①若直线与轴垂直，直线与直线关于轴对称，；②若直线不与轴垂直，由（2）知，直线的方程为y=kx−1，设点Ax1综上所述：．19．【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在；【详解】（1）

（法一）如图：连接，中，为等边三角形．为中点，，且，底面为菱形，所以，为等边三角形．为中点，，且，，平面，平面，

（法二）如图：连接，中，为等边三角形，为中点，，且，底面为菱形，，为中点，，在中，由余弦定理得：，即，平面平面（2）

由（1）知：，如图：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．，分别为的中点，，，，，设平面的一个法向量为，则．则，所以，取，则，平面的一个法向量为．平面的一个法向量为，则，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则．即直线与平面所成角的正弦值为．（3）（3）（法一）存在点，使．理由如下：点在以线段中点为球心，2为半径的球面上．，设平面的一个法向量为，则．则