浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题含答案

2024学年第一学期七彩阳光新高考研究联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．样本数据3，3，4，4，5，5，6，7的第75百分位数是（）A．6.5 B．6 C．5.5 D．52．已知向量，，且，则（）A． B．4 C． D．83．将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，则朝上面的两个点数之积为偶数的概率为（）A． B． C． D．4．在三棱锥中，D，E分别为PA，BC的中点，，，，则（）A． B．C． D．5．已知直线与，若，则，之间的距离是（）A． B． C． D．6．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，则停止答题，晋级下一轮．假设甲选手正确回答出每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则甲选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为（）A．0.256 B．0.128 C．0.064 D．0.02567．人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（）A． B． C． D．8．点P是所在平面外一点，，，，则点到平面距离的最大值是（）A． B．6 C． D．8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．有一组样本数据，，…，，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，则（）A． B． C． D．10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（）A． B．C． D．11．如图，棱长为1的正方体中，则下列说法正确的是（）A．若点P满足，则点到平面的距离等于B．若点满足，则的最小值是C．若点满足，则的最小值是D．若点满足，则的最小值是非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线经过的定点坐标是__________．13．已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为__________．14．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，，分别为的两个焦点，动点P在上（异于的左、右顶点），的重心为G，若直线与的斜率之积为非零常数，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为45°，且经过点．（1）求与两坐标轴围成的三角形面积；（2）若直线，且到的距离为，求的方程．16．（本题满分15分）在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，，为线段AD的中点，为PC上的一点，且．（1）求直线EF与平面所成的角的正弦值；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．17．（本题满分15分）已知椭圆的右顶点和下顶点，过其右焦点的直线交椭圆于B，D两点．（1）求的值；（2）若的角平分线交直线于点，证明：E，A，B三点共线．18．（本题满分17分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆．（1）求圆O与圆C的外公切线的长；（2）过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设．①求的值；②求圆心C到直线AB的距离的取值范围．19．（本题满分17分）在平面内，若点P，Q分别是直线l与圆C上的动点，则称的最小值为直线l与圆C的“线圆距离”，类比到空间中，若点P，Q分别是平面内与球M表面上的动点，则称的最小值为平面与球M的“面球距离”．如图，在直四棱柱中，，，，，点在线段AD上，且，点在线段上．（1）求直线CD与外接圆的“线圆距离”；（2）求平面与三棱锥外接球的“面球距离”；（3）当平面与三棱锥外接球的“面球距离”为零时，求的最大值．2024学年第一学期七彩阳光新高考研究联盟期中联考高二年级数学学科参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-8CADD CBAB解析：因为，选（C）．2．解析：，，．，所以，选（A）．3．解析：总样本点数为36种，符合条件的有27种，所求概率为，选（D）．4．解析：，选（D）．5．解析：首先，取，，选（C）．6．解析：记为“第次正确回答出问题”，则，选（B）．7．解析：，，则，选（A）．8．解析：设AB的中点为，即，，作，由条件知，平面平面，作，则平面，即PH为所求的距离，又因为平面，由等积变换知，当PG最大时，PH达到最大，即，此时，或由对称性可求，选（B）．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ABD 10．ACD 11．BD9．解析：A．，正确；B．新样本数据的顺序与原样本数据相同，即中位数满足，正确；C．根据方差定义，有成立，错误；D．若是，，…，中最大（或最小）值，则对应也是，，…，中最大（或最小）值，所以极差满足，正确；综上，选（ABD）．10．解析：，，，，，设，，则，，A．，正确；B．设，则，错误；C．设为原点，则；正确；D．，正确；综上，选（ACD）．11．解析：A．因为点在线段AC上，平面平面，均垂直并三等分，所求距离为，错误；B．将对角面绕AC翻折与平面重合，此时中，，，正确；C．由得，平面上点的轨迹是阿波罗尼斯圆，空间中则是球面，球心在直线AC上，，半径为，所以的最小值为，错误；D．因为，所在平面上点的轨迹是椭圆，在空间中则是椭球，椭圆中心为AC的中点，焦距为，长轴长为2，短轴长也为，所以的最小值为，正确；综上，选（BD）．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12． 13．65 14．12．解析：直线方程为：，即定点坐标为．13．解析：首先，由，得，则．14．解析：设椭圆的标准方程为，，则代入中，得，又因为，即，即，比较得，，即，，又，得．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）解析：（1）直线的斜率是，．其方程为：，所求三角形面积为：．（2）直线的斜率是，设其方程为，所以，得或，所以的方程为或．16．（本题满分15分）解析：（1）连接AC，因为底面是正方形，侧棱平面，以为原点，DA，DC，DP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，，，平面，，，，取平面的法向量为，又，，，而，，记直线EF与平面所成的角为，则，所以直线EF与平面所成的角的正弦值为．（2）设平面的法向量为，，，，，即，取，易知平面，取平面的法向量为，记平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．17．（本题满分15分）解析：（1）因为，，得，，即，椭圆方程为：，将代入椭圆方程得，所以．（2）设直线EF倾斜角为，则，得，直线EF为：，得，而，所以直线AB斜率为，直线BE斜率为，得，所以E，A，B三点共线．18．（本题满分17分）解析：（1）圆心，半径为2，所以外公切线长为．（2）①设点，则满足，得，所以，而，得，所以．②设点，以OP为直径的圆方程为，即，所以两圆的公共弦AB所在的直线方程为．圆心到直线AB的距离为，又因为点在圆上，即，，所以，设，且，由函数的单调性，得的最小值为，最大值为，所以的取值范围为．19．（本题满分17分）解析：（1）以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立坐标系，在平面上，外接圆的方程为：，直