湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案

宜昌市协作体高二期中考试数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章~第二章第3节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线和直线的位置关系为（）A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直【答案】A【解析】【分析】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系.直线和直线的斜率分别为，，因为，所以.故选：A2.已知向量，，且，则（）A. B. C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直列方程，由此求得的值.因为，故，即.故选：C3.已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（）A0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用方向向量求出直线斜率即可求出倾斜角.因为直线l的一个方向向量为，所以l的斜率，又，所以，因为，所以.故选：D.4.袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（）A.0.64 B.0.72 C.0.76 D.0.82【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件的概率公式即可求解.设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，所以，，且，所以，，所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76．故选C．5.如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（）A. B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】由向量的线性运算用表示出，再用模长公式计算可得结果.因为，所以，则，所以.故选：B.6.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据投影向量定义求解即可.因为，，所以，，则向量在向量上的投影向量为：.故选：D.7.若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（）A-1 B.2 C.-l或2 D.-2或l【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论思想，结合平行直线的性质以及距离公式，可得答案.①当时，可得，，由，则此时不符合题意；②当时，可得直线的斜率，直线的斜率，由，整理可得，则，解得或，当时，可得，，整理的方程可得，由两平行直线之间的距离，所以此时不符合题意；当时，可得，，整理的方程可得，由两平行直线之间的距离，所以此时符合题意.综上可得.故选：A.8.在正三棱锥P-ABC中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】根据长度关系先证明出两两垂直，然后通过补形法求解出的值，再通过向量法求解出的值，则结果可知.在正三棱锥中，，又，，所以，所以，同理可得，，即两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，则点到平面的距离，所以，故选B.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是能通过给定的长度关系确定出位置关系，同时能利用补形法完成计算，另一方面是能利用向量方法求解出点到面的距离.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线，则（）A.不过原点 B.在x轴上的截距为C.的斜率为 D.与坐标轴围成的三角形的面积为【答案】ACD【解析】【分析】将代入直线方程不成立，可判断A，根据截距定义可判断B，将直线化为斜截式方程，可判断C，化为截距式可得D.因为，所以不过原点，所以A正确；令，得，所以在轴上的截距为，所以B错误；把化为，所以的斜率为，所以C正确；把化为，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为，所以D正确.故选：ACD.10.甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签.其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签.现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（）A. B.C.事件C与D互斥 D.事件A与事件D相互独立【答案】ABD【解析】【分析】根据古典概型可判断A，B选项.，利用互斥事件的定义，相互独立事件的定义及概率乘法公式判断C，D选项，对于A，样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18种可能的结果，则，，A正确；对于B，事件C包含的样本点有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3种可能的结果，则，故B正确；对于C，事件D包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共15种可能的结果，故事件C与D不互斥，C错误：对于D，，由，得A，D相互独立，D正确.故选：ABD.11.如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（）A.，，，四点共面B.与所成角的大小为C.在线段上存在点，使得平面D.在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直，可判断C选项；分别证明与上的所有点到平面的距离为定值，即可判断D选项.以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设，则，所以，解得，故，即，，，四点共面，故A正确；因为，，所以，所以与所成角的大小为，故B错误；假设在线段上存在点，符合题意，设（），则，若平面，则，,因为，，所以，此方程组无解，所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；因为，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，又的面积是定值，所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确；故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______.【答案】##【解析】【分析】利用点到直线距离公式代入计算即可得出结果.将直线化为一般方程可得，由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为.故答案为：13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为________.【答案】【解析】【分析】求得与，都垂直的一个向量，利用可求直线与之间的距离.以为轴，为轴，为轴建立空间直线坐标系，则，，，设与，都垂直的一个向量，则，取，则，，所以与BD1，CD都垂直的一个向量，所以直线与之间的距离为.故答案为：14.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1~9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为偶数，则的概率为________.9a7bcd4e6【答案】##【解析】【分析】将试验的结果表示出来，然后用符合要求的试验数除以试验总数可求得结果.这个试验的等可能结果用下表表示：a113355113355b222222888888c355113355113d888888222222e531531531531共有种等可能的结果，其中的结果有种，所以的概率为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平面直角坐标系中，的顶点，，，关于原点O对称.（1）求边上的高所在直线的一般式方程；（2）已知过点B的直线l平分△ABC的面积，求直线l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得的斜率，从而得到边上高所在直线的斜率，进而求得边上的高所在直线的方程.（2）先判断出直线l经过边AC的中点，进而求得直线的方程.【小问1详解】因为B，C关于原点O对称，所以，，所以边上高所在直线的斜率为，因为，所以BC边上高所在直线的方程为，所以BC边上高所在直线一般式方程为.【小问2详解】因为过点的直线平分的面积，所以直线l经过边AC的中点，又，所以直线l的方程16.如图，在三棱柱中，，，，点满足.（1）用表示；（2）若三棱锥的所有棱长均为，求及.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根据，可表示出；（2）先确定的模长以及两两之间的夹角，然后根据计算出，再根据展开计算求得结果.【小问1详解】因为，所以，所以.【小问2详解】因为三棱锥的所有棱长均为，所以，所以，所以，所以，所以.17.在荾形中，，，将菱形沿着翻折，得到三棱锥如图所示，此时．（1）求证：平面平面；（2）若点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，由已知得到和的长，由勾股定理的逆定理得到，再结合证明平面，由此证明平面平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，分别写出直线的方向向量和平面的法向量，利用空间坐标求出角的正弦值.【小问1详解】证明：因为四边形是菱形，，所以与均为正三角形，取的中点，连结，，则，因为，所以，因为，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；【小问2详解】由（1）可知，，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，因为是的中点，所以，所以，，，设为平面的一个法向量，则令，得，，所以，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．（1）若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；（2）若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；（3）假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由事件的相互独立性的乘法公式和对立事件可求出答案。（2）记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。（3）记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。【小问1详解】记“乙至少有1个回答正确”为事件，所以，即乙至少有1个回答正确的概率是．【小问2详解】记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件所以，即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是．【小问3详解】记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，所以，即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是．19.在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．（1）求经过的直线的点方向式方程；（2）已知平面，平面，平面，若，证明：；（3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）先求直线的方向向量，结合题意即可得直线方程；（2）根据题意可得平面、、的法向量，进而可求交线的方向向量，利用空间向量判