河南省南阳市2024−2025学年高二上学期期中适应性考试数学试题含答案

河南省南阳市2024−2025学年高二上学期期中适应性考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知直线，直线．若，则（

）A．－3 B．－2 C．2 D．2或－33．已知椭圆的短轴长为4，则（

）A．2 B．4 C．8 D．164．如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，宽6m，高1m，根据图中的坐标系．可得这条抛物线的准线方程为（

）A． B．C． D．5．已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（

）A． B．4 C．5 D．66．已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．7．已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为（

）A． B．C． D．8．已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知双曲线，下列选项正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的实轴长为8C．双曲线的焦距为D．双曲线的离心率为10．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（

）A． B．C． D．11．在平面直角坐标系中，的顶点，，且，记的顶点的轨迹为，则下列说法正确的是（

）A．轨迹的方程为B．面积的最大值为3C．边上的高的最大值为D．若为直角三角形，则直线被轨迹截得的弦长的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．双曲线的虚轴长为，以的左焦点为圆心，1为半径的圆的标准方程为.13．若点在圆的外部，则正实数的取值范围是.14．抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点（在第一象限内），为上一动点，则周长的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆经过，，三点．(1)求圆的标准方程；(2)判断圆与圆的位置关系．16．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点．(1)求双曲线的方程；(2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．17．已知圆（为常数）．(1)当时，求直线被圆截得的弦长．(2)证明：圆经过两个定点．(3)设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程．18．已知不在轴下方的动点到点的距离比到轴的距离长，记动点的轨迹为．(1)求轨迹的方程．(2)已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，切线分别为，．直线，相交于点．若，求．19．已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线.(1)判断曲线为何种圆锥曲线.(2)若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？(3)设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点.（i）若，求；（ii）若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点.

参考答案1．【答案】C【详解】由，得倾斜角为．故选：C.2．【答案】A【详解】因为，所以，解得或．当时，，，，重合；当时，，，符合题意．故．故选：A.3．【答案】B【详解】由的短轴长为4，得，即，则，若，则，显然矛盾；若，则．经验证，当时，椭圆的短轴长为4，故选：B4．【答案】B【详解】设这条抛物线的方程为，由图可知点的坐标为，所以，得，故这条抛物线的准线方程为．故选：B.5．【答案】B【详解】记圆心到直线的距离为，则．因为，所以当直线与垂直，即时，PQ的值最小，故．故选：B.6．【答案】D【详解】设椭圆上的点为，则点到直线的距离为，其中，由，故椭圆上的点到直线的距离的最大值为．故选：D.7．【答案】C【详解】

设关于的对称点为，则解得，即，所以，故的最小值为．故选：C.8．【答案】D【详解】由，得，所以为双曲线的右支，为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则，所以．所以，当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为．故选：D.9．【答案】BD【详解】因为，，焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为，实轴长为8，故A错误，B正确；因为，所以双曲线的焦距为，离心率为，故C错误，D正确．故选：BD.10．【答案】ABD【详解】当直线的截距为0时，直线的方程为，即.当直线的截距不为0时，设直线的方程为，所以，解得或，当时，直线的方程为，当时，直线的方程为.故选：ABD.11．【答案】BD【详解】因为，所以由正弦定理得．设，则，整理得，因为顶点不能与，重合，所以顶点的轨迹方程为，且，故A错误．当的坐标为时，，所以B正确．当与圆相切时，到的距离最大，如图1，作于点，因为，所以，所以边上的高的最大值为，故C错误．如图2，当时，，此时直线被圆截得的弦长为；当时，由得，不妨设，显然当在处时，直线被圆截得的弦长更长，此时直线的方程为，圆心到直线的距离，所以弦长为．故D正确.故选：BD12．【答案】；.【详解】由，得，则，，故，所以双曲线的虚轴长为，左焦点的坐标为，则所求圆的标准方程为．故答案为：；13．【答案】【详解】由题意可得，解得，故正实数的取值范围是.故答案为：.14．【答案】【详解】设准线交轴于点，过作直线的垂线，垂足为A，连接，由题知，焦点，，．因为直线的斜率为，所以为正三角形，所以，，所以．记关于直线的对称点为，则．当，，三点共线时，，所以周长的最小值为．故答案为：15．【答案】(1)(2)圆与圆相交【详解】（1）设圆的方程为，则，解得，故圆的方程为，标准方程为；（2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为4，设两圆圆心之间的距离为，则，因为，所以圆与圆相交．16．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为．（2）设Ax则，两式相减，得，整理得．因为线段的中点坐标为，所以，所以直线的斜率，故直线的方程为，即．经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为.17．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）当时，圆，此时，圆的圆心为，半径．则圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为；（2）由，得，令，因为为常数所以得，由解得或，所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为；（3）（方法一）设的中点为，不妨设，则点的坐标为．因为，所以，所以，解得，所以圆的标准方程为．（方法二）不妨设，因为，所以，解得，所以圆的标准方程为．18．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得点到点的距离与到直线的距离相等，故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以轨迹的方程为；（2）设，，联立方程组，得，，则，，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，得．由，解得，所以切线的方程为，同理可得，直线的方程为，由，解得，即点，因为，，，且，所以，即，即有，化简得，因此或，故有.19．【答案】(1)椭圆(2)且(3)（i）；（ii）证明见解析【详解】（1）设，由，得，当时，，即，所以曲线为椭圆.（