河南省安阳市龙安高级中学2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

河南省安阳市龙安高级中学2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．22．在棱长为的正方体中，满足，，则二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．如图，在边长为1的正方体中，若点是侧面的中心，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则（

）A． B． C． D．4．在正三棱柱中，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．在正方体中，直线与平面所成的角为（

）.

A． B． C． D．7．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，8．米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器，早在先秦时期就有．如图，是米斗中的一种，可盛10升米（1升）．已知该米斗的盛米部分为正四棱台，上口宽为，下口宽，且，若该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为，则（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（

）A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则C．直线的方向向量，平面的法向量是，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则10．在平行六面体中，若所在直线的方向向量为，则所在直线的方向向量可能为（

）A． B．C． D．11．已知四面体平面，垂足为，垂足为，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则平面C．若，则D．若，则四面体体积的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知，则直线和所成角的余弦值为.13．已知是空间的一个基底，若，若，则.14．在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时，.四、解答题（本大题共5小题）15．已知向量，.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值.16．如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，F为CD的中点，，以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)写出B，D，P，F四点的坐标；(2)求.17．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：；(2)求异面直线EF与所成角的余弦值.18．已知空间三点，设(1)求；(2)若向量与互相垂直，求实数k的值.19．如图，在四棱锥中，平面，，，，为中点，_________．从①；②平面这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完成解答．

(1)求的长度；(2)在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由

参考答案1．【答案】C【详解】向量若，则，．故选：C．2．【答案】A【详解】

分别以射线，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，由，，所以，，，A10,0,3，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以，由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为，故选：A.3．【答案】D【详解】由题意得为的中点，所以，故．故选：D4．【答案】B【详解】根据题意得，所以，等边中，，因此，．故选：B．5．【答案】C【详解】对于A，可相交，故错误；对于B，两直线可异面，平行，也可以相交，故错误；对于C，垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；对于D，两平面可相交，故错误；故选：C.6．【答案】B【详解】

如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，所以，设平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则，令，即，所以，所以.故选：B7．【答案】B【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断.【详解】对于A选项，因为设，即，可解得，所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；对于B选项，因为设，无解，所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确；对于C选项，因为设，可解得，所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；对于D选项，因为设，可解得，所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.故选B.8．【答案】B【详解】设该米斗的高为，解得．易知上口的对角线的长度为，下口的对角线长度为，所以侧棱与下底面所成角的正切值为，解得．故选：B9．【答案】AB【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．故选：AB10．【答案】BC【详解】由已知可得，故它们的方向向量共线，对于B选项，，满足题意；对于C选项，，满足题意；由于A、D选项不满足题意．故选：BC.11．【答案】BCD【详解】对于A与B：因为平面，平面，所以若又平面，所以平面，又因为平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又

平面，所以平面，又平面，所以，即与不垂直，故A不正确，B正确；对C：，因为则≌则≌，，所以，故C正确；对于D，在中，，则，，所以，又当且仅当时，有最大值所以四面体体积的最大值为，故D正确.故选：BCD12．【答案】【详解】由题意知，则，故答案为：.13．【答案】3【详解】，，因为，所以存在实数，使，所以，所以，所以，得，，所以.故答案为：3.14．【答案】【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，设，则，，因为，所以，即，解得，所以.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以，所以；（2）因为，，则，，所以，，，设向量与夹角为，所以，所以向量与夹角的余弦值为.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形，且，F为CD的中点，所以，又，；（2）.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：如图，以D为原点，以射线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则，E0,0,1，，，，，，所以，，所以，所以，故．（2）因为，所以．因为，且，所以．18．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得；（2）先求出和，再利用向量垂直的充要条件列出方程，代入化简计算即得k值.【详解】（1）由题意，，则；（2）由（1）可得因向量与互相垂直，则得：，解得，或.19．【答案】(1)选择见解析，(2)存在，【详解】（1）选①，连接，因为平面，又面，所以，又，，得到，所以，得到，所以，过点作直线，则平面，又，以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，又为的中点，得到，所以；选②，因为平面，又面面，面，所以，又因为平面，又面，所以，又，，得到，所以，得到，所以，过点作直线，则平面，以为坐标原点，以，，所