河北省枣强中学2024−2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案

河北省枣强中学2024−2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．在空间直角坐标系中，点A的坐标为，则A到平面xOy的距离为（

）A．1 B．2 C．3 D．2．直线倾斜角的正切值是（

）A． B． C． D．3．若点，则以AB为直径的圆的方程是（

）A． B．C． D．4．已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（

）A．5 B．9 C．4 D．35．若圆与y轴交于A，B两点，则（

）A．2 B．4 C． D．6．已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，7．已知圆上的所有点都在第二象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（

）A．的面积为B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9C．点P的纵坐标为D．内切圆的面积为二、多选题（本大题共4小题）9．在空间直角坐标系中，已知点，其中，若四边形OPQR为菱形，则（

）A． B． C． D．10．已知圆，则下列说法正确的是（

）A．当时，圆与圆有2条公切线B．当时，是圆与圆的一条公切线C．当时，圆与圆相交D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为11．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（）A．直线与平面所成的角等于B．点到面的距离为C．两条异面直线和所成的角为D．三棱柱的体积是12．（多选）已知椭圆，分别为它的左右焦点，点分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值C．有最小值 D．的范围为三、填空题（本大题共4小题）13．若直线的斜率、在轴上的截距分别为，直线经过原点且斜率为3，则、的交点坐标为.14．若平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为.15．已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则AB长度的最小值为.16．已知点，，，动点P满足：，且，则点P的轨迹长度为.四、解答题（本大题共6小题）17．已知的三个顶点是(1)若直线过点，且与AB平行，求直线的一般式方程;(2)求的面积.18．已知过点的动直线与圆相交于不同的两点A，B.(1)求圆的圆心坐标和半径;(2)求线段AB的中点的轨迹的标准方程.19．已知.(1)若，求的值；(2)若且，求的值.20．已知圆，过作直线圆交于点．(1)求证：是定值；(2)若点．求的值．21．已知椭圆的右焦点为，点在上.(1)求的离心率;(2)设恒过点的直线交于A，B两点，且为AB的中点，求及|AB|.22．如图，已知四点均在直径为的球B的球面上，，，，，，直线PO与平面AOC所成的角为，点D在线段PC上运动．(1)证明：(2)设平面BOC与平面KHD的夹角为，求的最大值．

参考答案1．【答案】C【详解】由题意可知：点A到平面xOy的距离为该点竖坐标的绝对值，即为3.故选：C.2．【答案】B【详解】直线，即，所以直线倾斜角的正切值，即直线斜率为.故选：B.3．【答案】D【详解】因为，可知以AB为直径的圆的圆心为，半径，所以圆的方程是.故选：D.4．【答案】C【详解】由已知得，，，设，则，所以，从而或时取最小值为4.故选：C.5．【答案】D【详解】联立得，故A、B坐标为，即.故选：D6．【答案】B【详解】对于A，因，即共面，故A不合题意；对于B,因，，其中任何一个向量都不能用另外两个向量表示，故，，不共面，即B符合题意；对于C，因，即，，共面，故C不合题意；对于D，因，即，，共面，故D不合题意.故选：B.7．【答案】A【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得圆心及其半径，结合圆的性质与第二象限的点的性质计算即可得解.【详解】由化简可得，则该圆圆心为，半径为，由题意可得，解得，故实数的取值范围是.故选：A.8．【答案】D【详解】对A，根据椭圆定义可得，则①，在中，由余弦定理②，由①②可得，所以的面积为，故A错误；对B，设，则，，，则当时，取得最大值为5，故B错误；对C，由A，的面积为，则，解得，故C错误；对D，设内切圆的半径为，因为的面积为，所以，即，解得，所以内切圆的面积为，故D正确.故选：D.9．【答案】ABD【详解】因为的中点为，的中点为，四边形OPQR为菱形，则，可得，则，可得，解得，则或，结合选项可知：ABD正确，C错误.故选：ABD.10．【答案】BD【详解】由可知圆心为，半径为1；由可知圆心为，半径为，两圆圆心距为；对于A，当时，，圆与圆相离，有4条公切线，所以A错误；对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为2，即与圆也相切，所以是圆与圆的一条公切线，即B正确；对于C，当时，，圆与圆相离，即C错误；对于D，当时，，此时两圆相交，圆的一般方程为，与圆的方程相减可得，化简可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D正确.故选：BD11．【答案】AB【分析】采用逐一验证法，根据线面角、点面距、线线角的概念以及柱体体积公式进行计算和判断，可得结果.【详解】正方体的棱长为1，对于选项直线与平面所成的角为，故选项A正确.对于选项如图由平面，平面，所以又,，面所以面，所以点到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确.对于选项如图由//，所以异面直线和所成的角为连接，所以为等边三角形则两条异面直线和所成的角为，故选项C错误.对于选项如图三棱柱的体积是，故选项D错误.故选：AB【点睛】本题考查线面角、点面距、线线角的概念以及柱体体积公式，牢记概念，属基础题.12．【答案】BCD【详解】对于A中，由椭圆，可得，且，可得，所以，所以A错误；对于B中，设Px,y，则，且，可得，则为定值，所以B正确；对于C中，由椭圆的定义，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，所以C正确；对于D中，由点Q在椭圆外，设直线与椭圆相交于，如图所示，则，因为，且，可得，即，所以，所以，所以D正确.故选BCD.

13．【答案】【详解】由题意，直线的方程为，直线的方程为，联立，解得，故直线的交点为.故答案为：.14．【答案】【详解】由题意得，，故点到平面的距离为：.故答案为：.15．【答案】【详解】由题意得直线过定点，圆圆心为，半径为，在圆内，当直线与垂直时，弦长最小，此时，所以AB长度的最小值为.故答案为：.16．【答案】0【详解】因为，所以动点P的轨迹为椭圆，且，则，所以，所以满足的动点P的轨迹方程为.设Px,y，由，得，整理得，即，所以满足的动点P的轨迹在以0,2为圆心，以2为半径的圆上及圆的内部，且不过0,1点.如图，动点P的两种轨迹没有交点，则动点P的轨迹不存在，因此点P的轨迹长度为0.故答案为：0.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知：直线AB的斜率，则直线的斜率，所以直线的方程为，即.（2）由题意可知：，可知，则边的高为，所以的面积.18．【答案】(1)圆心坐标，半径.(2)【详解】（1）因为，即，所以圆的圆心坐标，半径.（2）因为，可知在圆内，设Mx,y，则，因为，则，即，所以轨迹的标准方程为.19．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，，∵，∴，解得.（2）由题意得，，∵且，∴,解得.20．【答案】(1)为定值，证明见解析(2)-1【详解】（1）若直线的斜率不存在，则，则，所以；若直线的斜率存在，设，，消去，得，，又，所以.综上，为定值.（2）易知直线的斜率存在，由（1）知，所以，得，由，得，所以.21．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知：，即，且点在上，则，联立方程，解得，即，所以椭圆的离心率.（2）对于直线，即，可知直线过定点，由（1）可知：椭圆方程为，且，即定点在椭圆内部，直线AB与椭圆必相交，设，，联立，消去y得，则，，可得，解得，此时二次方程为，，，所以.22．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到，再由题意证出平面，进而由平面，所以，再由线面垂直的判定证出即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再求出平面的法向量，解出，换元法令，再结合二次函数在特定区间的最值求得即可.【详解】（1）证明：由题意可知为球的