福建省福州市仓山区匠心恒一培训学校2024-2025学年高三上学期第二次（11月）月考数学试题含答案

2024～2025学年第一学期高三第二次月考数学试卷考试时间：120分钟，满分150分，第I卷（选择题）一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由一元二次不等式化简集合，即可由并运算求解.由得，所以，故选：D2.为虚数单位，，则（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法化简运算，在根据模长公式求解即可得答案.因为，所以，则.故选：B.3.下列函数最小值为4的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数性质，基本不等式确定最小值后判断．选项A，时，，最小值不是4，A错；选项B，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，B正确；选项CD中，当时，函数最小值为0，CD均错．故选：B．4.在中，，则的面积为（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得到结果.由余弦定理得，且，所以，所以．故选：B5.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合函数单调性可得在上恒成立，计算即可得.由题意可得在上恒成立，则有在上恒成立，由在上单调递增，则有，故.故选：C.6.设函数在区间内恰有三个极值点、两个零点，则取值范围是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦函数的性质列不等式求解.时，，，因此由题意，解得．故选：A．7.设函数，其中.若，都有.则的图象与直线的交点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出，再作出图像求解交点个数即可.对，都有，所以是y=f所以，又，所以.所以，在平面直角坐标系中画出与的图象，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，所以如图所示，可知y=fx的图象与直线的交点个数为3，故C故选：C.8.已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】首先根据其为奇函数，从而得，解出值，再根据其周期计算即可.因为在R上的奇函数，所以，解得，所以，因为，所以的周期为6，所以.故选：D.二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（）.A.的最小正周期为B.为偶函数C.在区间内的最小值为1D.的图象关于直线对称【答案】AC【解析】【分析】根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为，根据余弦函数的性质，逐项判定，即可求解.根据函数的部分图象，可得，，可得，，故选项A正确；由得，又，所以，所以，所以，因为定义域为R，且，所以为奇函数，故选项B错误；当，可得，所以，所以，故在区间内的最小值为1，选项C正确；当时，可得，所以函数y=fx的对称中心为，即函数y=fx的图象不关于直线对称，所以D故选：AC.10.在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，，则有两解C.若，则锐角三角形D.若，则为等腰三角形或直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】利用正、余弦定理对每项逐一判断即可得解．对于A，，则，由正弦定理可得，，故A正确；对于B，由正弦定理，，此时无解，故B错误；对于C，，又且，，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故C正确；对于D：，，，，，或，若，，则，所以为等腰三角形或直角三角形，故D正确．故选：ACD．11.已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（）A. B.为偶函数C. D.【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用赋值法即可判断；对于B，利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断；对于C，利用换元法结合的奇偶性即可判断；对于D，先推得的一个周期为6，再依次求得，从而利用的周期性即可判断.对于A，因为，令，则，故，则，故A正确；对于B，因为的定义域为，关于原点对称，令，则，又不恒为0，故，所以为奇函数，故B错误；对于C，因为为偶函数，所以，令，则，故，令，则，故，又为奇函数，故，所以，即，故C正确；对于D，由选项C可知，所以，故的一个周期为6，因为，所以，对于，令，得，则，令，得，则，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于利用赋值法与函数奇偶性的定义推得fx的奇偶性，再结合题设条件推得fx第II卷（非选择题）三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则___________.【答案】【解析】【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可得结果.因为，所以，所以，故答案为：.13.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．【答案】【解析】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f′（x0）（x−x0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．14.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，则__________.【答案】1【解析】【分析】求出函数的图象的对称点，对称直线，周期，求出，求出.因为函数的定义域为为奇函数，为偶函数，所以函数的图象关于点对称，也关于直线对称，所以，，所以，则，所以函数是周期为8的周期函数，当时，，则，，，，，，，，所以，又因为，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出函数的图象的对称点，对称直线，周期.四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最大值．【答案】（1）在上为增函数；在上为减函数；（2）【解析】【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间．（2）求导根据函数的单调性即可求解最值．【小问1详解】的定义域为，当时，，，当，解得：，当，解得：．在上为增函数；在上为减函数；【小问2详解】的定义域为，，当时，令f'x>0，得，令f'x的递增区间为，递减区间为．.16.已知锐角的内角，，，所对的边分别为，，，且．（1）求角；（2）若锐角外接圆的半径为，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角形中角之间的关系及正弦定理的正弦值，进而求出角的大小；（2）由正弦定理可得，的表达式，再由角的范围可得解．【小问1详解】在三角形中，由题意，再由正弦定理可得：，而，锐角三角形中，，所以，即，所以；【小问2详解】由正弦定理可得，所以，故，又，所以，解得，所以，又，所以，所以，所以的取值范围为．17.已知中，角的对边分别是，（1）求角的大小；（2）求的最大值；（3）若，为边上靠近点的三等分点，求的面积．【答案】（1）（2）18（3）【解析】【分析】（1）由正余弦定理边化角，再由两角和的正弦公式化简可求解；（2）由余弦定理，代入已知数据结合重要不等式求解；（3）由题意有，两边平方化简得，在中和中，由余弦定理得化简得，解得，代入②得，可求的面积.【小问1详解】由，而，所以，即，由正弦定理得．故．即，即，而，，故，即．而，故.【小问2详解】由余弦定理得，即，而，所以，所以，当且仅当时等号成立．故的最大值为18.【小问3详解】因为D为边上靠近B点的三等分点，，，有，即，故，两边平方得，即，化简得①，在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得；而，故，即②，由①和②得：，解得，代入②得，所以的面积为.18.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线的斜率；（2）若，讨论的单调性；（3）若，且时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）先依据和的图象过点求出参数值，进而求出函数解析式，接着求出导函数，根据导数几何意义再求出即可得解.（2）根据函数的导函数对参数进行分类讨论得出导函数的正负情况即可得解.（3）恒成立等价于，所以对a进行分类讨论研究函数的导函数情况，从而求得函数的单调性和最小值情况即可得解.【小问1详解】因为，，所以，又因为函数的图象过点，所以，即，故，解得，所以，故，即曲线在点处的切线的斜率为.【小问2详解】因为，所以，所以，当时，，在区间R上单调递增；当时，令，解得，当时，；当时，，所以函数在单调递减，在单调递增.综上：当时，在区间R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问3详解】因为，所以，所以，设，则，所以，时，所以在上单调递增，且；①当时，，即，所以函数在上单调递增，所以当时，，所以符合题意，.②当时，又在上单调递增，且，当时，，，使得，，，即，所以在上单调递减；，，即，所以上单调递增，所以，所以不合题意.综上，实数的取值范围为.【点睛】思路点睛：研究恒成立求参问题通常转化成研究函数最值问题，恒成立等价于，故可用导数工具结合分类讨论法研究函数的单调性，从而求得函数的最小值，判断是否满足即可得解.19.帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…；为的导数）．已知在处的阶帕德近似为．（1）求实数a，b的值；（2）比较与的大小；（3）若有3个不同的零点，求实数m的取值范围．【答案】（1），．（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）求出f'x，f″x，，，根据，列方程组即可求解；（2）令，利用导数研究φx的单调性即可比较大小；（3），hx除1外还有2个零点，设为，，，由导数由函数零点个数求m的范围．【小问1详解】由，，知，，，，由题意，，所以，所以，．【小问2详解】由（1）知，，令，则，所以φx在其定义域内为增函数，又，∴时，；时，，所以时，；时，．【小问3详解】由（1）知，，注意到h1=0，则hx除1外还有2个零点，设为，，令，当时，gx<0在0,+∞上恒成立，则所以hx在0,+当时，hx除1外还有2个零点，设为，，则hx不单调，