安徽省蚌埠市五河第一中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案

安徽省蚌埠市五河第一中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．2．抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（

）A． B．C．或 D．或3．设、，向量，，且，，则（

）A． B． C． D．4．已知两点到直线的距离相等，则（

）A．2 B． C．2或 D．2或5．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．6．如图在底圆半径和高均为的圆锥中，、是过底圆圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（

）．A． B．1 C． D．7．过圆内一点作直线交圆O于A，B两点，过A，B分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（

）A． B． C． D．8．已知椭圆的左,右焦点分别为,，经过的直线交椭圆于，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（

）A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则C．直线的方向向量，平面的法向量是，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则10．已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为C．点到渐近线的距离为4D．直线与直线的斜率乘积为11．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（

）A．点的横坐标的取值范围是B．的取值范围是C．面积的最大值为D．的取值范围是三、填空题（本大题共3小题）12．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为.13．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则．14．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知平面内三点，，.(1)若直线经过点且与线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围；(2)若直线经过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为2，求直线的方程.16．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.(1)求证：平面PBD；(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；(3)求D到平面APM的距离.17．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．(1)求抛物线的标准方程．(2)直线：与抛物线交于，两点，点，若（为坐标原点），直线是否恒过点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．18．在图甲所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图乙所示的四棱锥.四棱锥的体积为，为边上的动点（不与端点，重合）.(1)若为的中点，求证：；(2)设，试问：是否存在实数，使得锐二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.19．已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：；(3)求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以.若方程的正整数解为，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.

参考答案1．【答案】B【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案.【详解】如图，直线的斜率为；直线的斜率为；当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或.故选B.

2．【答案】D【详解】抛物线的准线方程为，则，或-16．故所求抛物线方程为或．故选：D3．【答案】D【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选D.4．【答案】D【分析】利用点到直线距离公式进行求解即可.【详解】因为两点到直线的距离相等，所以有，或，故选：D5．【答案】A【详解】因为线分别与轴，轴交于两点，所以，所以，由，可得圆的圆心为，半径为，因为点在圆上，所以圆心到直线的距离为，故到直线的距离的范围为，则.故选：A.6．【答案】A【分析】如图所示，过点做，垂足为．求出，在平面内建立直角坐标系如图，求出，，，即得解.【详解】如图所示，过点做，垂足为．∵是母线的中点，圆锥的底面半径和高均为，∴．∴．在平面内建立直角坐标系如图．设抛物线的方程为，为抛物线的焦点．，所以，解得，即，，，该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键是建立直角坐标系，求出，，.7．【答案】A【分析】设出点坐标，求解出以为直径的圆的方程，将圆的方程与圆的方程作差可得公共弦的方程，结合点在上可得点P的坐标满足的方程.【详解】设，则以为直径的圆，即①因为是圆O的切线，所以，所以A，B在圆M上，所以是圆O与圆M的公共弦，又因为圆②，所以由①②得直线的方程为：，又点满足直线方程，所以，即.故选：A.8．【答案】A【详解】因为，所以，如图，在上取一点M，使得，连接，则，则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，所以，设，则，由椭圆定义可知：，即，所以，所以，，，故点A与上顶点重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得，所以椭圆离心率为.

故选A.9．【答案】AB【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．故选：AB10．【答案】BD【分析】综合运用双曲线的简单几何性质及点到直线距离公式、直线的斜率公式求解即可.【详解】由双曲线知，，，对于A，双曲线的离心率为，故A错误；对于B，双曲线的渐近线方程为，即，故B正确；对于C，点到渐近线的距离为，故C错误；对于D，设，则，即，所以，即直线与直线的斜率乘积为，故D正确；故选：BD.11．【答案】BC【详解】设点，依题意，，对于A，，当且仅当时取等号，解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A错误；对于B，，则，显然，因此，B正确；对于C，的面积，当且仅当时取等号，当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得，所以面积的最大值为，C正确；对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D错误.故选：BC12．【答案】【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程.【详解】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为1，故圆的标准方程是.故答案为：13．【答案】【详解】法一：由题意，，，因为，，共面，所以存在实数唯一实数对，使得，即，所以，解得．法二：由，，共面得四点共面，则根据四点共面的充要条件可得，，即．故答案为：.14．【答案】【分析】设，所以存在点使等价于由可求的最小值，求得的范围，从而得到的取值范围.【详解】设，则.显然当靠近右顶点时，，所以存在点使等价于，在中由余弦定理得，即，解得，同理可得，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立.由得，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立的不等式，此时将问题转化为，从而只需求的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质使用基本不等式求解.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为直线的斜率为，直线的斜率为，所以，对应的倾斜角分别为，，结合图形，当直线过点且与线段有交点时，的倾斜角范围为；（2）设直线在x轴，轴上的截距分别为a，，由题意知，，则直线的方程为，由直线经过点，且与x轴，轴围成的三角形的面积为2，得，解得或（舍）.所以直线的方程为，即.16．【答案】(1)证明过程见解析(2)(3)【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1）因为，M为BC的中点，所以，因为四棱锥的底面是矩形，所以，所以，所以，而，即，因为底面ABCD，底面ABCD，所以，而平面PBD，所以平面PBD；（2）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为四棱锥的底面是矩形，所以，建立如下图所示的空间直角坐标系，，因为平面ABCD，所以平面ABCD的法向量为，设平面APM的法向量为，，，于是有，平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为；（3）由（2）可知平面APM的法向量为，，所以D到平面APM的距离为.【方法总结】1.向量法求两个平面的夹角：首先求出两个平面的法向量m，n，再代入公式cosα＝±(其中m，n分别是两个平面的法向量，α是两个平面的夹角)求解.2.求点到平面距离的常用方法：(1)直接法，利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理，作出垂线段，再通过解三角形求出距离．(2)间接法，利用等体积法、特殊值法等转化求解．(3)向量法，求点P到平面α的距离的步骤：①在平面α内取一点A，确定向量eq\o(PA,\s\up6(→))的坐标；②确定平面α的法向量n；③代入公式d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)求解．17．【答案】(1)；(2)直线过定点.【分析】（1）利用代入法，结合抛物线定义进行求解即可；（2）直线方程与抛物线方程联立，根据角相等的性质、斜率公式、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】（1）因为点在抛物线上，且，所以有，因此抛物线的标准方程为；（2）设，，直线方程与抛物线方程联立，得，因为，．因为，所以，所以．则，即．当时，，即；当时，，符合题意，即．综上，直线过定点．【点睛】关键点睛：通过角相等得到两条直线的斜率关系是解题的关键.18．【答案】(1)证明见解析；(2)存在实数.【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线垂直即可；（2）利用空间向量法表示出锐二面角的余弦值，求解实数即可.【详解】（1）因为在四边形中，，，，所以，在四棱锥中，，即，，.又平面，平面，，所以平面，即是四棱锥的高，因此，所以.以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.又为的中点，所以，因此，，所以，所以，即.（2）由（1）知，，，设平面的一个法向量为，则即令，则，所以是平面的一个法向量.因为，所以，，所以，所以.设平面的一个法向量为，则即令，则，，所以是平面的一个法向量，所以，可得，解得或.又，所以，即存在实数，使得锐二面角的余弦值为.19．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)1.【分析】（1）根据双曲线关系和渐近线、实轴相关概念进行列式计算即可求解.（2）分别联立直线与及其渐近线方程求出、、、的坐标或坐标的关系，进而得出线段的中点重合，即可得证.（3）结合题目所给