信号与系统-总结

第一章信号与系统§1.1绪言§1.2信号的描述和分类§1.3信号的基本运算§1.4阶跃函数和冲激函数§1.5系统的特性与分类§1.6系统的描述和分析方法1.1绪言

信息(information):

信号(signal):通常把消息中有意义的内容称为信息。信号是信息的载体。通过信号传递信息。为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号。

系统(system):信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。

一般而言，系统是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。1.2信号信号的分类

连续信号和离散信号：定义域是否连续

确定信号和随机信号：是否可用确定的时间函数表示

周期信号和非周期信号：求周期信号的周期（习题1.5）

实信号和复信号：实信号是物理上可以实现的信号

能量信号和功率信号：

若信号f(t)的能量有界，即E<∞,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时P=0

若信号f(t)的功率有界，即P<∞,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时E=∞1.2信号例：判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t

（2）f2(t)=cos2t+sinπt

两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。例:

判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)

（2）f2(k)=sin(2k)1.3信号的基本运算

信号的加法和乘法：同一瞬时两信号对应值相加（相乘）

信号的时间变换：（习题1.6，可带入特殊值验证对错）1.信号的反转2.信号的平移3.信号的展缩（尺度变换）将f

(t)→f

(–t),

f

(k)→f

(–k).

从图形上看是将f(·)以纵坐标为轴反转180o。将f

(t)→f

(t–t0),

f

(k)→f

(k–k0)

.若t0(或k0)>0，则将f(·)右移；否则左移。将f

(t)→f

(at).若a>1，则波形沿横坐标压缩；若0<a<1，则扩展。混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注意一切变换都是相对t

而言。1.3信号的基本运算例:已知f(t)如图所示，画出f(-2t-4)。

解答压缩，得f

(2t–4)反转，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)1.4阶跃函数和冲激函数单位阶跃函数与延迟单位阶跃函数阶跃函数的性质（1）可以方便地表示某些信号（2）用阶跃函数表示信号的作用区间（3）积分f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)1.4阶跃函数和冲激函数单位冲激函数

函数值只在t=0时不为零；

积分面积为1；t=0时，δ→∞，为无界函数。冲激函数与阶跃函数的关系引入冲激函数后，间断点的导数也存在求导1.4阶跃函数和冲激函数冲激函数的性质（习题1.10）

取样性

冲激偶

尺度变换

f(t)δ'(t)=f(0)δ'(t)–f'(0)δ

(t)δ(–t)=δ(t)为偶函数，δ'(–t)=–δ'(t)为奇函数1.4阶跃函数和冲激函数单位(样值)序列δ(k)取样性质：f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)单位阶跃序列

(k)ε(k)与δ(k)的关系δ(k)=ε(k)–ε(k–1)或1.4阶跃函数和冲激函数0例:例:例:1.5系统的特性与分类连续系统与离散系统：分别用微分方程与差分方程来描述动态系统与即时系统：动态系统也称为记忆系统线性系统与非线性系统：齐次性和可加性动态系统是线性系统的条件：

可分解性、零状态线性、零输入线性时不变系统与时变系统：移位不变性LTI连续系统的微分特性和积分特性因果系统与非因果系统：输出不超前于输入稳定系统与不稳定系统：输入有界，输出也有界习题：1.231.241.251.261.5系统的特性与分类判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?例：判断下列系统是否为线性系统？（1）y

(t)=3x(0)+2f

(t)+x(0)f

(t)+1

（2）y

(t)=2x(0)+|f

(t)|

解：（1）

yzs(t)=2f

(t)+1，yzi(t)=3x(0)+1显然，y

(t)≠yzs(t)＋yzi(t)不满足可分解性，故为非线性（2）

yzs(t)=|f

(t)|，yzi(t)=2x(0)

y

(t)=yzs(t)+yzi(t)满足可分解性；由于T[{a

f

(t)},{0}]=|af

(t)|≠a

yzs(t)不满足零状态线性。故为非线性系统。1.5系统的特性与分类例：判断下列系统是否为时不变系统？（1）yzs(t)=tf

(t)

（2）yzs(t)=f

(–t)解:(1)

令g

(t)=f(t–td)，T[{0}，g

(t)]=tg

(t)=tf

(t–td)而yzs(t–td)=(t–td)f

(t–td)显然T[{0}，f(t–td)]≠yzs(t–td)故该系统为时变系统。(2)

令g

(t)=f(t–td),

T[{0}，g

(t)]=g

(–t)=f(–t–td)而yzs(t–td)=f

[–(t–td)]，显然

T[{0}，f(t–td)]≠yzs(t–td)故该系统为时变系统。1.6系统的描述和分析方法

连续系统解析描述：微分方程离散系统解析描述：差分方程系统的框图描述1.6系统的描述和分析方法例：已知框图，写出系统的微分方程。设辅助变量x(t)如图x"(t)=f(t)–2x'(t)–3x(t),即x"(t)+2x'(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x'(t)+3x(t)根据前面，逆过程，得y"(t)+2y'(t)+3y(t)=4f'(t)+3f(t)第二章连续系统的时域分析§2.1LTI连续系统的响应§2.2冲激响应和阶跃响应§2.3卷积积分§2.4卷积积分的性质2.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解：完全解=齐次解+特解。

奇次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。课本：表2-1、表2-2完全解：由初始值定出齐次解中的待定常数Ci。

齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；

特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。2.1LTI连续系统的响应关于0-与0+值当微分方程右端含有冲激函数时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。否则不会跃变。零输入响应和零状态响应

y(t)=yzi(t)+yzs(t),也可以分别用经典法求解。注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值yzi(j)(0+),yzs(j)(0+)(j=0，1，2，···，n-1)的计算。

y(j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-)

y(j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)对于零输入响应，由于激励为零，故有

yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-)对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有

yzs(j)(0-)=0习题2.42.2冲激响应和阶跃响应冲激响应：由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称，记为h(t)。

h(t)=T[{0},δ(t)]例:当特征根均为单根时由于

(t)及其导数在t≥0+

时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。

(2)与n,

m相对大小有关(1)与特征根有关习题2.72.2冲激响应和阶跃响应g(t)=T[ε(t)，{0}]线性时不变系统满足微、积分特性阶跃响应2.3卷积积分已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为

f(t)=f1(t)﹡f2(t)注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t的函数。2.3卷积积分卷积的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元：t换为τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反转平移：由f2(τ)反转→f2(–τ)右移t→f2(t–τ)（3）乘积：f1(τ)f2(t–τ)（4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。注意：t为参变量。2.4卷积积分的性质卷积的代数运算：交换律、分配率、结合律系统并联，框图表示：

系统级联，框图表示：

2.4卷积积分的性质与冲激函数或阶跃函数的卷积f(t)*δ(t

–t0)=f(t–t0)f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)1.f(t)＊δ(t)=δ(t)＊f(t)=f(t)2.f(t)＊δ'(t)=f

'(t)3.f(t)＊ε(t)ε(t)＊ε(t)=tε(t)2.4卷积积分的性质卷积的微积分性质1.2.3.在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，

f1(t)*f2(t)=f1(1)(t)*f2(–1)(t)卷积的时移性质若f(t)=f1(t)＊f2(t)，则f1(t–t1)＊f2(t–t2)=f1(t

–t1–t2)＊f2(t)=f1(t)＊f2(t

–t1–t2)=f(t

–t1–t2)2.4卷积积分的性质例：f1(t),f2(t)如图，求f1(t)*f2(t)解：

f1(t)=2ε

(t)–2ε

(t–1)

f2(t)=ε

(t+1)–ε

(t–1)f1(t)﹡f2(t)=2ε

(t)﹡ε

(t+1)–2ε

(t)﹡ε

(t–1)–2ε

(t–1)﹡ε

(t+1)+2ε

(t–1)﹡ε

(t–1)由于ε

(t)﹡ε

(t)=tε

(t)据时移特性，有f1(t)﹡f2(t)=2(t+1)ε

(t+1)–2(t–1)ε

(t–1)–2tε

(t)+2(t–2)ε

(t–2)第三章离散系统的时域分析§3.1LTI离散系统的响应§3.2单位序列响应和阶跃响应§3.3卷积和§3.4反卷积3.3卷积和

已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为

f(k)=f1(k)﹡f2(k)注意：求和是在虚设的变量i下进行的，i为求和变量，k

为参变量。结果仍为k的函数。3.3卷积和卷积的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元：k换为i→得f1(i)，f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转→f2(–i)右移k→f2(k–i)（3）乘积：f1(i)f2(k–i)（4）求和：i从–∞到∞对乘积项求和。注意：k为参变量。不进位乘法求卷积f(k)=所有两序列序号之和为k

的那些样本乘积之和。如k=2时f(2)=···+f1(–1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)+···3.3卷积和卷积和的性质(1)满足乘法的三律：(1)交换律,(2)分配律,(3)结合律.(2)f(k)﹡δ(k)=f(k)，f(k)﹡δ(k–k0)=f(k–k0)(3)f(k)﹡ε(k)=(4)f1(k–k1)﹡

f2(k–k2)=f1(k–k1–k2)﹡f2(k)(5)

[f1(k)﹡f2(k)]=

f1(k)﹡f2(k)=f1(k)﹡

f2(k)ε(k)*ε(k)=(k+1)ε(k)3.3卷积和例：

复合系统中h1(k)=ε(k)，h2(k)=ε(k–5)，求复合系统的单位序列响应h

(k)。解：根据h(k)的定义，有h(k)=[δ(k)﹡h1(k)–δ(k)﹡h2(k)]﹡h1(k)=[h1(k)–h2(k)]﹡h1(k)=h1(k)﹡h1(k)–h2(k)﹡

h1(k)=ε(k)﹡ε(k)–ε(k–5)﹡ε(k)=(k+1)ε(k)–(k+1–5)ε(k–5)=(k+1)ε(k)–(k–4)ε(k–5)第四章傅里叶变换和系统的频域分析4.2傅里叶级数an

,bn称为傅里叶系数

，an

是n的偶函数，bn是n的奇函数。式中，A0=a0可见：An是n的偶函数，

n是n的奇函数。

an=Ancos

n，bn=–Ansin

n，n=1,2,···周期信号的分解4.2傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数1.f(t)为偶函数——对称纵坐标展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数——对称于原点展开为正弦级数。3.f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)4．f(t)为偶谐函数——f(t)=f(t±T/2)a0=a2=···=b2=b4=···=04.

f(t)为偶谐函数——f(t)=f(t±T/2)a1=a3=···=b1=b3=···=0只含奇次谐波分量。只含偶次谐波分量。4.2傅里叶级数傅