2024-2025学年高中数学第三章推理与证明1.1归纳推理课后巩固提升含解析北师大版选修1-2

PAGE1.1归纳推理[A组基础巩固]1．视察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满意f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．答案：D2．已知数列{an}满意a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于()A．2n B.eq\f(1,2)n(n＋1)C．2n－1 D．2n－1解析：a0＝1，a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2a1＝2，a3＝a0＋a1＋a2＝2a2＝4，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝2a3＝8，….猜想当n≥1时，an＝2n－1.答案：C3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数的点数可以排成一个正三角形(如下图)．试求第七个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30解析：第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故选B.答案：B4．数列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47 B．65C．63 D．128解析：5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.答案：B5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形态来探讨数．比如：他们探讨过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289 B．1024C．1225 D．1378解析：由图形可得三角形数构成的数列通项an＝eq\f(n,2)(n＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项bn＝n2，若a既是三角形数又是正方形数，则a＋1为偶数，a为奇数，故解除B、D；由eq\f(n,2)(n＋1)＝289＝17×17，知n∉N，所以解除A，而1225＝352＝eq\f(35×35×2,2)＝eq\f(49×50,2)＝1225，满意题意，故选C.答案：C6．f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N＋)，计算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，推想当n≥2时，有________．解析：f(4)＝f(22)>eq\f(2＋2,2)，f(8)＝f(23)>eq\f(3＋2,2)，f(16)＝f(24)>eq\f(4＋2,2)，f(32)＝f(25)>eq\f(5＋2,2).答案：f(2n)>eq\f(n＋2,2)7．视察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________．解析：由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝818．视察下列不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，……照此规律，第五个不等式为________．解析：归纳视察法．视察每行不等式的特点，每行不等式左端最终一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6)9．意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了好玩的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，假如不发生死亡，那么由一对大兔子起先，一年后能有多少对大兔子呢？我们依次给出各个月的大兔子对数，并始终推算下去到无尽的月数，可得数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…这就是斐波那契数列，此数列中，a1＝a2＝1，当n≥3时，归纳出an与an－1间的递推关系式．解析：因为2＝1＋1,3＝1＋2；5＝2＋3,8＝3＋5，…，逐项视察分析每项与其前几项的关系易得：从第三项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)．10．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)；sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2)，通过视察上述两等式的规律，请你写出对随意角度α都成立的一般性的命题，并赐予证明．解析：一般形式：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝eq\f(3,2).证明：左边＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1－cos2α＋120°,2)＋eq\f(1－cos2α＋240°,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2α·cos240°－sin2αsin240°]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2α－eq\f(1,2)cos2α－eq\f(\r(3),2)sin2α－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sin2α]＝eq\f(3,2)＝右边(将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝eq\f(3,2)，sin2(α－240°)＋sin2(α－120°)＋sin2α＝eq\f(3,2)等均正确．)[B组实力提升]1．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现肯定的规律性()解析：每行的各个方格中的白圈个数分别为9,8,7，解除B项、D项．黑圈依据依次向右，右边无圆圈则向下的依次每次移动两格(下幅图中被消去的白圈不计算在移动格子内)，所以符合条件的只有C项．答案：C2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x的值为________．解析：5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，看出x－20＝12,47－x＝15，∴x＝32.答案：323．设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，视察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，……依据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝eq\f(x,2n－1x＋2n).答案：eq\f(x,2n－1x＋2n)4．(1)如图(a)(b)(c)(d)为四个平面图形．数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表(按填好的例子做)．顶点数边数区域数(a)463(b)(c)(d)(2)视察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系．(3)现已知某个平面图形有1005个顶点，且围成了1005个区域，试依据以上关系确定这个图形有多少条边．解析：(1)填表如下：顶点数边数区域数(a)463(b)8125(c)694(d)10156(2)由该表可以看出，所给四个平面图形的顶点数、边数及区域数之间有下述关系：4＋3－6＝1,8＋5－12＝1,6＋4－9＝1,10＋6－15＝1.所以我们可以推断：任何平面图形的顶点数、边数及区域数之间都有下述关系：顶点数＋区域数－边数＝1.(3)由上面所给的关系，可知所求平面图形的边数．边数＝顶点数＋区域数－1＝1005＋1005－1＝2009.5．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④所示，为她们刺绣的最简洁的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多，刺绣越美丽．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并依据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)的值．解析：(1)f(5)＝41.(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……由上述规律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(n＋1)＝f(n)＋4n，f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.(3)当n≥2时，eq\f(1,fn－1)＝eq\f(1,2nn－1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,n－1)－eq\