2024-2025高中数学第一章统计1.8最玄乘估计课时作业含解析北师大版必修3

PAGE课时作业8最小二乘估计|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到线性回来方程y＝bx＋a，那么下面说法不正确的是()A．直线y＝bx＋a必经过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点C．直线y＝bx＋a的斜率为eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)D．直线y＝bx＋a与各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的接近程度eq\i\su(i＝1,n,[)yi－(bxi＋a)]2是该坐标平面上全部直线与这些点的最接近的直线解析：直线y＝bx＋a肯定过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，但不肯定要过样本点．答案：B2．下列有关回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的叙述正确的是()①反映eq\o(y,\s\up6(^))与x之间的函数关系②反映y与x之间的函数关系③表示eq\o(y,\s\up6(^))与x之间的不确定关系④表示最接近y与z之间真实关系的一条直线A．①②B．②③C．③④D．①④解析：eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))表示eq\o(y,\s\up6(^))与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系．但它所反映的关系最接近y与x之间的真实关系．答案：D3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回来方程可能为()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋2B.eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.5x＋2C.eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x－2D.eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.5x－2解析：设回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，由散点图可知变量x，y之间负相关，回来直线在y轴上的截距为正数，所以eq\o(b,\s\up6(^))<0，eq\o(a,\s\up6(^))>0，因此方程可能为eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.5x＋2.答案：B4．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回来方法，求得回来直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发觉对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是()A．直线l1和l2有交点(s，t)B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合解析：设线性回来直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，而eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).所以点(s，t)在回来直线上．所以直线l1和l2有公共点(s，t)．答案：A5．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(元)与居民人均消费水平y(元)统计调查，y与x具有相关关系，线性回来方程为y＝0.66x＋1562，若某城市居民人均消费水平为7675元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为()A．83%B．72%C．67%D．66%解析：将y＝7675代入回来方程，可计算得x≈9262，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7675÷9262≈0.83，即约为83%.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．下列说法：①回来方程适用于一切样本和总体；②回来方程一般都有局限性；③样本取值的范围会影响回来方程的适用范围；④回来方程得到的预料值是预料变量的精确值．正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．解析：样本或总体具有线性相关关系时，才可求回来方程，而且由回来方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此回来方程有肯定的局限性．所以①④错．答案：②③7．某地区近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合y＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预料今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．解析：由题意知，y＝0.8×15＋0.1＝12.1(亿元)，即年支出估计是12.1亿元．答案：12.18．下表供应了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：x3456y2.5t44.5依据上表达供应的数据，求出y关于x的线性回来方程y＝0.35＋0.7x，那么表中t的值为________．解析：因为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5.eq\o(y,\s\up6(－))＝0.35＋0.7eq\o(x,\s\up6(－))＝0.35＋0.7×4.5＝3.5.又eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2.5＋t＋4＋4.5,4)＝eq\f(11＋t,4)，所以3.5＝eq\f(11＋t,4)，所以t＝3.答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)9．依据有关法律规定，香烟盒上必需印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟和健康之间有因果关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是因为吸烟引起的吗？你认为“健康问题不肯定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法正确吗？解析：吸烟和健康之间存在肯定的相关关系，但不是每一个吸烟者的健康问题都是因为吸烟引起的．“健康问题不肯定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”是不正确的．10．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)，与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表x3456789y66697381899091已知eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)＝280，eq\i\su(i＝1,n,y)eq\o\al(2,i)＝45209，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi＝3487.(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))；(2)求回来方程．解析：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)×(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)＝eq\f(559,7).(2)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(3487－7×6×\f(559,7),280－7×36)＝eq\f(19,4)，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(559,7)－eq\f(19,4)×6＝eq\f(719,14)，∴所求回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(19,4)x＋eq\f(719,14).|实力提升|(20分钟，40分)11．已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设依据上表数据所得线性回来直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).若某同学依据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是()A.eq\o(b,\s\up6(^))>b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′B.eq\o(b,\s\up6(^))>b′，eq\o(a,\s\up6(^))<a′C.eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′D.eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))<a′解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，从而b′＝2，a′＝－2.而利用线性回来方程的公式与已知表格中的数据，可求得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6,x)\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(58－6×\f(7,2)×\f(13,6),91－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2)＝eq\f(5,7)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7)×eq\f(7,2)＝－eq\f(1,3)，所以eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′.答案：C12．某公司的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据(由资料显示y与x呈线性相关关系)：x24568y3040605070依据上表供应的数据得到回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝6.5，预料销售额为115万元时约需________万元广告费．解析：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(2＋4＋5＋6＋8)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(30＋40＋60＋50＋70)＝50，由eq\o(b,\s\up6(^))＝6.5知，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))·eq\o(x,\s\up6(－))＝50－6.5×5＝17.5，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝17.5＋6.5x，当eq\o(y,\s\up6(^))＝115时，解得x＝15.答案：1513．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y关于t的回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^)).(2)用所求回来方程预料该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．附：回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,t)iyi－n\o(t,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,t)\o\al(2,i)－n\o(t,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－)).解析：(1)列表计算如下：itiyiteq\o\al(2,i)tiyi11515226412337921448163255102550∑153655120这里n＝5，eq\o(t,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)，eq\i\su(i＝1,n,t)i＝eq\f(15,5)＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(36,5)＝7.2.又eq\i\su(i＝1,n,t)eq\o\al(2,i)－neq\o(t,\s\up6(－))2＝55－5×32＝10，eq\i\su(i＝1,n,t)iyi－neq\o(t,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝120－5×3×7.2＝12，从而eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(12,10)＝1.2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2t＋3.6.(2)将t＝6代入回来方程可预料该地区2015年的人民币储蓄存款为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．14．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.(1)由折线图看出，可用线性回来模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明．(2)建立y关于t的回来方程(系数精确到0.01)，预料2024年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝40.17，参考公式：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\o(t,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\o(t,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\o(t,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)ti－\o(t,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－)).解析：(1)由折线图中的数据和附注中参考数据得eq\o(t,\s\up6(－))＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\o(t,\s\up6(