2024-2025学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE1.3.2函数的极值与导数内容标准学科素养1.了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会敏捷运用；2.驾驭函数极值的判定及求法；3.会依据函数的极值求参数.加强直观探究娴熟数形结合提升数学运算授课提示：对应学生用书第13页[基础相识]学问点一函数的极值eq\a\vs4\al(预习教材P26－29，思索并完成以下问题)在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不肯定是群山之中的最高处，但它却是其旁边全部点的最高点．同样，各个谷底虽然不肯定是群山之中的最低处，但它却是其旁边全部点的最低点．假设如图是群山中各个山峰的一部分图象，视察如图中P点旁边图象从左到右的改变趋势，P点的函数值以及点P位置各有什么特点？实例中P点，Q点的函数值与其旁边的函数值有何关系？提示：点P旁边的函数值都小于点P处的函数值，点Q旁边的函数值都大于点Q处的函数值．学问梳理函数的极值(1)微小值：假如函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a旁边其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a旁边的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的微小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的微小值．(2)极大值：假如函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b旁边其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b旁边的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值和微小值统称为极值．学问点二函数极值的求法学问梳理一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：(1)假如在x0旁边的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)假如在x0旁边的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是微小值．思索：1.极大值是不是肯定大于微小值？提示：极大值是比它旁边的函数值都大的函数值，微小值是比它旁边的函数值都小的函数值，所以极大值与微小值之间无确定的大小关系．2．函数的极值与极值点之间的关系是什么？提示：函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应点的纵坐标．3．导数值为零的点肯定是函数的极值点，这种说法正确吗？提示：不正确，如y＝x3，当x＝0时，y′＝3x2＝0，而函数在x＝0两侧导数符号不改变，即函数单调性不变，故x＝0不是函数的极值点．[自我检测]1．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值，微小值分别为()A.eq\f(4,27)，0 B．0，eq\f(4,27)C．－eq\f(4,27)，0 D．0，－eq\f(4,27)解析：f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2p－q＝0，,1－p－q＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2，,q＝－1，))所以f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝eq\f(1,3)或x＝1，易得当x＝eq\f(1,3)时，f(x)取极大值eq\f(4,27).当x＝1时，f(x)取微小值0.答案：A2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的微小值点，则a＝()A．－9 B．－2C．4 D．2解析：因为f(x)＝x3－12x，所以f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，所以当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以当x＝2时，f(x)有微小值，即函数的微小值点为2，所以a＝2.答案：D3．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，简单得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.答案：－19授课提示：对应学生用书第14页探究一求函数的极值(点)[例1]求下列函数的极值：(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝eq\f(lnx,x).[解析](1)f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.令f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0－0＋0＋f(x)无极值微小值0无极值所以当x＝0时，f(x)有微小值且f(x)微小值＝0，无极大值．(2)函数f(x)＝eq\f(lnx,x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).令f′(x)＝0，解得x＝e.当x改变时，f′(x)与f(x)的改变状况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增eq\f(1,e)单调递减因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝eq\f(1,e)，没有微小值．方法技巧函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来推断f(x)在这个根处取极值的状况．提示：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．跟踪探究1.(1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内微小值点的个数为()A．1 B．2C．3 D．4(2)在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋4x2＋9x－1的极值点，则a5＝()A．－4 B．－3C．3 D．4(3)已知x0为函数f(x)＝x3－12x的微小值点，则x0＝________.解析：(1)由f′(x)＞0时，f(x)单调递增，f′(x)＜0时，f(x)单调递减．可知f(x)在(a，b)内的微小值点只有一个．(2)因为f(x)＝eq\f(1,3)x3＋4x2＋9x－1，所以由f′(x)＝x2＋8x＋9＝0可知a3·a7＝9，a3＋a7＝－8，因为等比数列中aeq\o\al(2,5)＝a3·a7且a5＜0，所以a5＝－3.(3)f′(x)＝3x2－12，所以x＜－2时，f′(x)＞0，－2＜x＜2时，f′(x)＜0，x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2是f(x)的微小值点，又x0为f(x)的微小值点，所以x0＝2.答案：(1)A(2)B(3)2探究二与参数有关的极值问题[例2]函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax－1有极值点，求a的取值范围．[解析]f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a＞0，解得a＜1.故a的取值范围为(－∞延长探究1.若函数的极大值点是－1，求a的值．解析：f′(x)＝x2－2x＋a，由题意f′(－1)＝1＋2＋a＝0，解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，阅历证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值．2．若函数f(x)有一正一负两个极值点，求a的取值范围．解析：由题意，方程x2－2x＋a＝0有一正一负两个根，设为x1，x2，则x1x2＝a＜0，故a的取值范围是(－∞，0)．方法技巧已知函数的极值状况求参数时应留意两点(1)待定系数法：常依据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值为0不肯定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必需验证．跟踪探究2.已知函数f(x)＝eq\f(ax－a,ex)(a∈R，a≠0)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝eq\f(－x＋1,ex)，f′(x)＝eq\f(x－2,ex).由f′(x)＝0，得x＝2.当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：x(－∞，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)微小值所以函数f(x)的微小值为f(2)＝－eq\f(1,e2)，函数f(x)无极大值．(2)F′(x)＝f′(x)＝eq\f(aex－ax－aex,e2x)＝eq\f(－ax－2,ex).①当a＜0时，F(x)，F′(x)的改变状况如下表：x(－∞，2)2(2，＋∞)F′(x)－0＋F(x)微小值若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝eq\f(a,e2)＋1＞0，解得a＞－e2，所以此时－e2＜a＜0；②当a＞0时，F(x)，F′(x)的改变状况如下表：x(－∞，2)2(2，＋∞)F′(x)＋0－F(x)极大值当x＞2时，F(x)＝eq\f(ax－1,ex)＋1＞1，当x＜2时，令F(x)＝eq\f(ax－1,ex)＋1＜0，即a(x－1)＋ex＜0，由于a(x－1)＋ex＜a(x－1)＋e2，令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－eq\f(e2,a)，即x≤1－eq\f(e2,a)时，F(x)＜0，所以F(x)总存在零点，综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．探究三利用函数极值解决函数零点问题[例3]已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝eq\f(1,3)f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．[解析]由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，可得f′(x)＝3x2－12x＋9，eq\f(1,3)f′(x)＋5x＋m＝eq\f(1,3)(3x2－12x＋9)＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m.则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，令g′(x)＝0，得x＝eq\f(2,3)或x＝4.当x改变时，g(x)，g′(x)的改变状况如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，4))4(4，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值微小值由函数g(x)的极大值为geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(68,27)－m，微小值为g(4)＝－16－m.由y＝f(x)的图象与y＝eq\f(1,3)f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同交点，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝\f(68,27)－m＞0，,g4＝－16－m＜0，))解得－16＜m＜eq\f(68,27).即实数m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－16，\f(68,27))).方法技巧利用导数可以推断函数的单调性，探讨函数的极值状况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上推断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为探讨方程根的个数问题供应了便利．跟踪探究3.若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．解析：令g(x)＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，则g′(x)＝eq\f(2,x＋2)－2x－1＝－eq\f(2x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2))),x＋2)(x＞－2)．当x改变时，g′(x)，g(x)的改变状况如下表：x(－2,0)0(0，＋∞)g′(x)＋0－g(x)极大值由表可知，函数在x＝0处取得极大值，极大值为g(0)＝2ln2＋b.结合图象(图略)可知，要使g(x)＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1≤0，,g0＞0，,g1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b≤0，,2ln2＋b＞0，,2ln3－2＋b≤0，))所以－2ln2＜b≤2－2ln3.故实数b的取值范围是(－2ln2,2－ln3].授课提示：对应学生用书第15页[课后小结](1)求函数极值的步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0得方程的根；④利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号；⑤确定函数的极值，假如f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．(2)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，留意两点①依据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；②因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必需验证充分性．(3)探讨方程根的问题可以转化为探讨相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象