山东专用2025届高考数学二轮专题闯关导练一客观题专练解析几何13含解析

PAGE解析几何(13)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2024·山东日照模拟]已知倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则sinθ＝()A．－eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)2．[2024·全国卷Ⅰ]已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝()A．2B．3C．6D．93．[2024·山东名校联考]已知圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝r2截y轴所得的弦长为2eq\r(2)，过点(0,4)且斜率为k的直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(2)，则k的值为()A．－eq\f(1,4)B.eq\f(1,4)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(3,4)4．[2024·山东泰安质量检测]若双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的实轴长为1，则其渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\f(1,2)xD．y＝±2x5．[2024·山东名校联考]已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点F向两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，若四边形OMFN的面积为eq\r(3)，其中O为坐标原点，则该双曲线的焦距为()A．2B.eq\r(3)C．3D．46．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线y＝3x垂直，则双曲线C的离心率为()A.eq\f(\r(7),2)B.eq\f(\r(10),3)C．3D.eq\f(\r(7),2)或eq\f(\r(10),3)7．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，PF的延长线交l于点Q，且eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\o(FQ,\s\up6(→))，|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝8，则直线PQ的方程为()A．x－eq\r(3)y－1＝0B．x－y－1＝0C.eq\r(3)x－y－2eq\r(3)＝0D.eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝08．[2024·全国卷Ⅰ]已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为()A．2x－y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0D．2x＋y＋1＝0二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．[2024·山东青岛检测]已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A．满意条件的圆C的圆心在一条直线上B．满意条件的圆C有且只有一个C．点(2，－1)在满意条件的圆C上D．满意条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4eq\r(2)10．[2024·山东名校联考]与双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1有相同渐近线的双曲线方程是()A.eq\f(x2,18)－eq\f(y2,12)＝1B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,18)＝1C.eq\f(y2,8)－eq\f(x2,12)＝1D.eq\f(y2,12)－eq\f(x2,8)＝111．[2024·山东淄博部分学校联考]已知椭圆Ω：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则下列结论正确的是()A．若a＝2b，则Ω的离心率为eq\f(\r(2),2)B．若Ω的离心率为eq\f(1,2)，则eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)C．若F1，F2分别为Ω的两个焦点，直线l过点F1且与Ω交于点A，B，则△ABF2的周长为4D．若A1，A2分别为Ω的左、右顶点，P为Ω上异于点A1，A2的随意一点，则PA1，PA2的斜率之积为－eq\f(b2,a2)12．[2024·山东威海模拟]设M，N是抛物线y2＝x上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为－eq\f(1,2)，则下列选项不正确的是()A．|OM|＋|ON|≥4eq\r(2)B．以MN为直径的圆的面积大于4πC．直线MN过抛物线y2＝x的焦点D．点O到直线MN的距离不大于2三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2024·浙江卷]已知直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________，b＝________.14．[2024·山东名校联考]已知抛物线C：y2＝4eq\r(2)x的焦点是双曲线E：x2－y2＝a2的右焦点，则双曲线E的标准方程为________．15．[2024·山东日照校际联考]倾斜角为30°的直线l经过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F1，交双曲线于A，B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为________．16．[2024·山东烟台、渮泽联考]已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，点A到直线l的距离为2，则p＝________；若点A，B在l上的投影分别为M，N，则△MFN的内切圆半径为________．(本题第一空2分，其次空3分)解析几何(13)1．答案：D解析：因为θ为直线l的倾斜角，且直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，所以tanθ·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，tanθ＝2，由同角关系得sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，故选D.2．答案：C解析：设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)，由抛物线定义得|AF|＝x0＋eq\f(p,2)，∵点A到y轴距离为9，∴x0＝9，∴9＋eq\f(p,2)＝12，∴p＝6.故选C.3．答案：D解析：由题意知：圆心C(4,2)到直线l的距离d＝eq\f(|4k－2＋4|,\r(k2＋1))＝eq\f(|4k＋2|,\r(k2＋1))＝4.解得k＝eq\f(3,4)，故选D.4．答案：D解析：由题意知2a＝1，得a＝eq\f(1,2)，又b＝1，则eq\f(b,a)＝2，故该双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选D.5．答案：D解析：由双曲线的离心率为2可得eq\f(c2,a2)＝4，又a2＋b2＝c2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3).因为F(c,0)到渐近线y＝±eq\f(b,a)x的距离d＝|FM|＝|FN|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，所以|OM|＝|ON|＝eq\r(c2－b2)＝a，故S四边形OMFN＝2S△OMF＝2×eq\f(1,2)ab＝eq\r(3)，得ab＝eq\r(3).又eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以a＝1，b＝eq\r(3)，得c＝2，故该双曲线的焦距为2c＝4.故选D.6．答案：B解析：由题意知－eq\f(b,a)×3＝－1∴a＝3b∴c＝eq\r(10)b∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),3)，故选B.7．答案：D解析：依据eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\o(FQ,\s\up6(→))，|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝8，得F是PQ的中点，且|PF|＝4，过P作PM⊥l于点M，则由抛物线的定义，得|PM|＝|PF|＝4，所以∠QPM＝60°，即直线PQ的倾斜角为60°，设直线l交x轴于点N，依据FN∥PM及F是PQ的中点，得|FN|＝eq\f(1,2)|PM|＝2.又|FN|＝p，所以p＝2，即F(1,0)，因此直线PQ的方程为eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0，故选D.8．答案：D解析：如图，由题可知，AB⊥PM，|PM|·|AB|＝2S四边形APBM＝2(S△PAM＋S△PBM)＝2(|PA|＋|PB|)，∵|PA|＝|PB|，∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4eq\r(|PM|2－|AM|2)＝4eq\r(|PM|2－4)，当|PM|最小时，|PM|·|AB|最小，易知|PM|min＝eq\f(5,\r(4＋1))＝eq\r(5)，此时|PA|＝1，AB∥l，设直线AB的方程为y＝－2x＋b(b≠－2)，圆心M到直线AB的距离为d＝eq\f(|3－b|,\r(5))，|AB|＝eq\f(4|PA|,|PM|)＝eq\f(4,\r(5))，∴d2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2＝|MA|2，即eq\f(3－b2,5)＋eq\f(4,5)＝4，解得b＝－1或b＝7(舍)．综上，直线AB的方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.故选D.9．答案：ACD解析：因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a>0)，故圆心在y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满意条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知满意(x－1)2＋(y＋1)2＝1，故C正确；它们的圆心距为eq\r(5－12＋－5＋12)＝4eq\r(2)，D正确．故选ACD.10．答案：AC解析：易知双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),\r(3))x.对于选项A，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),\r(3))x，符合题意；对于选项B，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),\r(2))x，不符合题意；对于选项C，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),\r(3))x，符合题意；对于选项D，双曲线的渐近线方程是y＝±eq\f(\r(3),\r(2))x，不符合题意．故选AC.11．答案：BCD解析：若a＝2b，则c＝eq\r(3)b，e＝eq\f(\r(3),2)，选项A不正确；若e＝eq\f(1,2)，则a＝2c，b＝eq\r(3)c，eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)，选项B正确；依据椭圆的定义易知选项C正确；设P(x0，y0)，则eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，易知A1(－a,0)，A2(a,0)，所以PA1，PA2的斜率之积为eq\f(y0,x0＋a)·eq\f(y0,x0－a)＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－a2)＝eq\f(b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),a2))),x\o\al(2,0)－a2)＝－eq\f(b2,a2)，选项D正确．故选BCD.12．答案：ABC解析：当直线MN的斜率不存在时，设M(x0，y0)，则N(x0，－y0)，由斜率之积为－eq\f(1,2)可得eq\f(y0,x0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y0,x0)))＝－eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0))＝－eq\f(1,y\o\al(2,0))＝－eq\f(1,2)，即yeq\o\al(2,0)＝2.∴直线MN的方程为x＝2，此时|OM|＋|ON|＝2eq\r(6)，以M，N为直径的圆的面积为2π，抛物线的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，故A，B，C错误；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，消去x，可得ky2－y＋m＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝eq\f(1,k)，y1y2＝eq\f(m,k)，故x1x2＝eq\f(m2,k2)，∴kOM·kON＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(k,m)＝－eq\f(1,2)，即m＝－2k.∴直线MN的方程为y＝kx－2k＝k(x－2)，∴直线MN过定点(2,0)，∴点O到直线MN的距离不大于2，故D正确，故选ABC.13．答案：eq\f(\r(3),3)－eq\f(2\r(3),3)解析：解法一：因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以eq\f(|b|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋b|,\r(1＋k2))＝1，得k＝eq\f(\r(3),3)，b＝－eq\f(2\r(3),3).解法二：因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以直线y＝kx＋b必过两圆心连线的中点(2,0)，所以2k＋b＝0.设直线y＝kx＋b的倾斜角为θ，则sinθ＝eq\f(1,2)，又k>0，所以θ＝eq\f(π,6)，所以k＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，b＝－2k＝－eq\f(2\r(3),3).14．答案：x2－y2＝1解析：由题意知抛物线C：y2＝4eq\r(2)x的焦点坐标为(eq\r(2)，0)，所以双曲线E：x2－y2＝a2的右焦点为(eq\r(2)，0)，即c＝eq\r(2)，所以a2＋a2＝2，解得a2＝1，所以双曲线E的标准方程为x2－y2＝1.15．答案：y＝±x解析：如图，令点B在第一象限，记点M为线段AB的中点，则MF2为线段AB的垂直平分线，连接AF2，BF2，则可得|AF2|＝|BF2|.因为直线l的倾斜角为30°，所以∠MF1F2＝30°，所以|MF2|＝2